1-dim. Lebesgue-Maß < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:39 Mo 07.12.2009 | | Autor: | kevin-m. |
| Aufgabe | | Seien $U,V [mm] \subset \mathbb [/mm] R$ offene Mengen, [mm] $\phi:U \to [/mm] V$ sei ein [mm] $C^1$-Diffeomorphismus. [/mm] Dann gilt für alle Borelmengen $A [mm] \in \mathcal B_0(U): [/mm] \ [mm] \mathcal L^1(\phi(A))=\int_A |\phi'(x)|d\mathcal L^1 [/mm] $ |
Hallo,
bei dieser Aufgabe habe ich den Verdacht, dass man den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung anwenden muss.
Ist es in Ordnung, zuerst anzunehmen, dass $A$ ein Intervall ist, wobei der Fall [mm] $\phi'(a) [/mm] > [mm] 0\quad \forall [/mm] \ a [mm] \in [/mm] A$ und der Fall [mm] $\phi'(a) [/mm] < [mm] 0\quad \forall [/mm] \ a [mm] \in [/mm] A$ gesondert betrachtet werden sollten?
[mm] ($\phi(a)=0$ [/mm] kann ja nicht vorkommen, da [mm] $\phi$ [/mm] ein [mm] $C^1$-Diffeomorphismus [/mm] ist.)
Der Fall [mm] $U=\mathbb [/mm] R$ müsste dann auch noch betrachtet werden.
Falls [mm] $\phi'(a) [/mm] > [mm] 0\quad \forall [/mm] \ a [mm] \in [/mm] A$ , gilt:
[mm] $\int_A |\phi'(x)|d\mathcal L^1 [/mm] = [mm] \int_A \phi'(x) d\mathcal L^1 [/mm] $
Nun muss ich das aber irgendwie umformen...
Im Grunde würde ich einfach mal [mm] $\int_A \phi'(x) d\mathcal L^1$ [/mm] definieren als eine Stammfunktion von $ [mm] \phi'(x) [/mm] $ und die Stammfunktion der Ableitung von [mm] $\phi(x)$ [/mm] müsste demnach wieder gleich [mm] $\phi(x)$ [/mm] sein. Aber eigentlich sollte nicht [mm] $\phi(A)$, [/mm] sondern [mm] $\mathcal L^1(\phi(A))$ [/mm] herauskommen.
Also muss wohl irgendwo ein Fehler stecken. Ich kann die Idee der Anwendung des Hauptsatzes irgendwie nicht umsetzen....
Es wäre nett von euch, wenn ihr mir bei dieser Aufgabe helfen würdet.
Viele Grüße
Kevin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:44 Di 08.12.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Kevin!
> Seien [mm]U,V \subset \mathbb R[/mm] offene Mengen, [mm]\phi:U \to V[/mm] sei
> ein [mm]C^1[/mm]-Diffeomorphismus. Dann gilt für alle Borelmengen [mm]A \in \mathcal B_0(U): \ \mathcal L^1(\phi(A))=\int_A |\phi'(x)|d\mathcal L^1[/mm]
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> Hallo,
>
> bei dieser Aufgabe habe ich den Verdacht, dass man den
> Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung anwenden
> muss.
>
> Ist es in Ordnung, zuerst anzunehmen, dass [mm]A[/mm] ein Intervall
> ist, wobei der Fall [mm]\phi'(a) > 0\quad \forall \ a \in A[/mm] und
> der Fall [mm]\phi'(a) < 0\quad \forall \ a \in A[/mm] gesondert
> betrachtet werden sollten?
Das ist OK, nur musst du später auf beliebige Borelmengen verallgemeinern.
> ([mm]\phi(a)=0[/mm] kann ja nicht vorkommen, da [mm]\phi[/mm] ein
> [mm]C^1[/mm]-Diffeomorphismus ist.)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Der Fall [mm]U=\mathbb R[/mm] müsste dann auch noch betrachtet
> werden.
> Falls [mm]\phi'(a) > 0\quad \forall \ a \in A[/mm] , gilt:
>
> [mm]\int_A |\phi'(x)|d\mathcal L^1 = \int_A \phi'(x) d\mathcal L^1[/mm]
>
> Nun muss ich das aber irgendwie umformen...
> Im Grunde würde ich einfach mal [mm]\int_A \phi'(x) d\mathcal L^1[/mm]
> definieren als eine Stammfunktion von [mm]\phi'(x)[/mm] und die
> Stammfunktion der Ableitung von [mm]\phi(x)[/mm] müsste demnach
> wieder gleich [mm]\phi(x)[/mm] sein. Aber eigentlich sollte nicht
> [mm]\phi(A)[/mm], sondern [mm]\mathcal L^1(\phi(A))[/mm] herauskommen.
Aber was sagt denn der Hauptsatz aus, wenn [mm]\phi(x)[/mm] die Stammfunktion ist und über ein Intervall $[a,b]$ integriert wird. Da kommt doch eine Zahl, nämlich [mm] $\phi(b)-\phi(a)$ [/mm] heraus und nicht die Menge [mm] $\phi(A)$!
[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:53 Di 08.12.2009 | | Autor: | kevin-m. |
Hallo Rainer,
danke für deine Antwort.
> Aber was sagt denn der Hauptsatz aus, wenn [mm]\phi(x)[/mm] die
> Stammfunktion ist und über ein Intervall [mm][a,b][/mm] integriert
> wird. Da kommt doch eine Zahl, nämlich [mm]\phi(b)-\phi(a)[/mm]
> heraus und nicht die Menge [mm]\phi(A)[/mm]!
Ja, stimmt. Eigentlich müsste man den Hauptsatz ja gut in Erinnerung haben...
[mm] $\phi(b)-\phi(a)$ [/mm] entspricht ja gerade dem 1-dimensionalen Lebesgue-Maß von A. Wenn ich das analog für den Fall [mm] $\phi'(a)<0$ [/mm] für alle $a [mm] \in [/mm] A$ mache, dann habe ich die Behauptung für Intervalle [mm] $\subset \mathbb [/mm] R$ bereits gezeigt. Aber noch nicht für beliebige Borelmengen. Das können ja irgendwelche Vereinigungen, Durchschnitte, Komplementbildungen etc. sein - also da bin ich echt planlos, was das angeht.
Wie kann man die Behauptung für alle Borelmengen zeigen, falls man es schon für Intervalle gemacht hat?
Vielleicht [mm] $\sigma$-Additivität [/mm] zeigen oder so?
Beste Grüße,
Kevin
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:15 Mi 09.12.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Kevin!
> Hallo Rainer,
>
> danke für deine Antwort.
>
> > Aber was sagt denn der Hauptsatz aus, wenn [mm]\phi(x)[/mm] die
> > Stammfunktion ist und über ein Intervall [mm][a,b][/mm] integriert
> > wird. Da kommt doch eine Zahl, nämlich [mm]\phi(b)-\phi(a)[/mm]
> > heraus und nicht die Menge [mm]\phi(A)[/mm]!
>
> Ja, stimmt. Eigentlich müsste man den Hauptsatz ja gut in
> Erinnerung haben...
>
> [mm]\phi(b)-\phi(a)[/mm] entspricht ja gerade dem 1-dimensionalen
> Lebesgue-Maß von A. Wenn ich das analog für den Fall
> [mm]\phi'(a)<0[/mm] für alle [mm]a \in A[/mm] mache, dann habe ich die
> Behauptung für Intervalle [mm]\subset \mathbb R[/mm] bereits
> gezeigt. Aber noch nicht für beliebige Borelmengen. Das
> können ja irgendwelche Vereinigungen, Durchschnitte,
> Komplementbildungen etc. sein - also da bin ich echt
> planlos, was das angeht.
>
> Wie kann man die Behauptung für alle Borelmengen zeigen,
> falls man es schon für Intervalle gemacht hat?
>
> Vielleicht [mm]\sigma[/mm]-Additivität zeigen oder so?
Genau, und die Eigenschaft für's Komplement: wenn die Behauptung für die Borelmenge $A$ gilt, so muss sie auch für das Komplement [mm] $A^c [/mm] = U [mm] \backslash [/mm] A$ gelten:
[mm] \mathcal L^1(\phi(A^c))=\integral_{A^c} |\phi'(x)|d\mathcal L^1 [/mm].
Viele Grüße
Rainer
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