1. Abzählbarkeitsaxiom verletz < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:57 Sa 21.07.2012 | | Autor: | clemenum |
| Aufgabe | | Sei [mm] $\mathbb{R}^{\mathbb{R}} [/mm] := [mm] \{f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\} [/mm] $. Man begründe formal, warum dieser Raum - ausgestattet mit der Topologie der punktweisen Konvergenz $T$ - nicht metriesierbar sein kann. |
Im Wesentlichen besteht mein Problem hier im folgenden:
Ich kann mir nämlich nur ein bisschen etwas unter der Menge der offenen Mengen von [mm] $\mathbb{R}^{\mathbb{R}} [/mm] $ vorstellen. Vor allem, was bedeutet hier "Offenheit" ? Ist das vielleicht irgendein System von reellwertigen Funktionen, die punktweise konvergieren? Ja, aber, die Offenheit diesbezüglich ist mir leider unklar. Oder spricht man nur per definitionem davon? Wenn ja, wieso dann dieser Begriff?
Kannst du mir vielleicht eine offene Menge von dort nennen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:10 Sa 21.07.2012 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]\mathbb{R}^{\mathbb{R}} := \{f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\} [/mm].
> Man begründe formal, warum dieser Raum - ausgestattet mit
> der Topologie der punktweisen Konvergenz [mm]T[/mm] - nicht
> metriesierbar sein kann.
> Im Wesentlichen besteht mein Problem hier im folgenden:
> Ich kann mir nämlich nur ein bisschen etwas unter der
> Menge der offenen Mengen von [mm]\mathbb{R}^{\mathbb{R}}[/mm]
> vorstellen. Vor allem, was bedeutet hier "Offenheit" ? Ist
> das vielleicht irgendein System von reellwertigen
> Funktionen, die punktweise konvergieren? Ja, aber, die
> Offenheit diesbezüglich ist mir leider unklar. Oder
> spricht man nur per definitionem davon? Wenn ja, wieso dann
> dieser Begriff?
>
> Kannst du mir vielleicht eine offene Menge von dort nennen?
>
Die Topologie der punktweisen Konvergenz ist gerade die Produkttopologie auf [mm] \mathbb{R}^{\mathbb{R}}
[/mm]
FRED
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