www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Englisch
  Status Grammatik
  Status Lektüre
  Status Korrekturlesen
  Status Übersetzung
  Status Sonstiges (Englisch)

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - 1. Fundamentalform
1. Fundamentalform < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

1. Fundamentalform: Verständnis
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:12 So 30.01.2011
Autor: musesician

Aufgabe
Definition:
Sei [mm] $f:U\to\IR [/mm] $ ein Flächenstück und [mm] $(x^{1},x^{2}) \in [/mm] U$. Die Abbildung
$I: [mm] \IR^{2} [/mm] x [mm] \IR^{2} \to \IR$ [/mm] mit $ [mm] I_{(x^{1},x^{2})}(u,v) [/mm] = [mm] <(df)_{(x^{1},x^{2})}(u),(df)_{(x^{1},x^{2})}(v)>$ [/mm] heißt die erste Fundamentalform von f.

Also ich beherrsche bisher nur die Matrixschreibweise der 1. Fundamentalform:
$I = [mm] \pmat{ g_{11} & g_{12} \\ g_{21} & g_{22} }$ [/mm]
mit [mm] $g_{ij} [/mm] = [mm] <\frac{\delta f}{\delta x^{i}},\frac{\delta f}{\delta x^{j}}>$ [/mm] wobei [mm] $\frac{\delta f}{\delta x^{i}} [/mm] $ die Ableitung von f nach der i-ten Komponente ist (In unserem Fall hat f immer nur zwei Komponenten).
Außerdem gilt [mm] $g_{12}=g_{21}$. [/mm]

Meine Frage ist, wie [mm] $I_{(x^{1},x^{2})}(u,v)$ [/mm] (siehe Definition) aussieht.
Ich verstehe nicht, was [mm] $(df)_{(x^{1},x^{2})}(u)$ [/mm] bzw. [mm] $(df)_{(x^{1},x^{2})}(v)$ [/mm] ist.
Ist $(df)$ nicht die normale Ableitungsmatrix von f in Richtung [mm] $x^{1}$ [/mm] (1. Spalte) und Richtung [mm] $x^{2}$ [/mm] (2. Spalte)?

Als Erklärungsbeispiel haben wir hier eine Rotationsfläche genommen mit:
$c: I [mm] \to \IR^{2}$ [/mm] mit [mm] $c^{1}(t) \not= [/mm] 0 [mm] \; \forall \; [/mm] t [mm] \in [/mm] I$
Die zugehörige Rotationsfläche ist:
$f: [mm] Ix\IR^{2} \to \R^{3}$ [/mm] mit $ [mm] f(x^{1},x^{2}) [/mm] = [mm] (c^{1}(x^{1}) [/mm] * [mm] cos(x^{2}),c^{1}(x^{1}) [/mm] * sin [mm] (x^{2}), c^{2}(x^{2}))$. [/mm]

Wie würde bei diesem Beispiel die 1. Fundamentalform in Skalarschreibweise (siehe Definition aussehen).
Sie müsste dann folgende Gleichung erfüllen:
[mm] $g_{ij} [/mm] = I [mm] (e_{i},e_{j})$ [/mm] mit [mm] $e_{1} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0}$ [/mm] und [mm] $e_{2}=\vektor{0 \\ 1}$. [/mm] Das wäre dann die Überführung von Skalar- in Matrixschreibweise.

Dieses Verständnis ist wichtig für die 2. Fundamentalform (siehe mein anderer Post von heute mit Stichwort: "Geodäte, Fundamentalform").

Ich lerne grad für eine Klausur am Donnerstag, also es sind keine konkreten Aufgaben, sondern nur Verständnisfragen.

        
Bezug
1. Fundamentalform: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:32 So 30.01.2011
Autor: Berieux

Hi!

>  Also ich beherrsche bisher nur die Matrixschreibweise der
> 1. Fundamentalform:
>  [mm]I = \pmat{ g_{11} & g_{12} \\ g_{21} & g_{22} }[/mm]
>  mit
> [mm]g_{ij} = <\frac{\delta f}{\delta x^{i}},\frac{\delta f}{\delta x^{j}}>[/mm]
> wobei [mm]\frac{\delta f}{\delta x^{i}}[/mm] die Ableitung von f
> nach der i-ten Komponente ist (In unserem Fall hat f immer
> nur zwei Komponenten).
>  Außerdem gilt [mm]g_{12}=g_{21}[/mm].
>  
> Meine Frage ist, wie [mm]I_{(x^{1},x^{2})}(u,v)[/mm] (siehe
> Definition) aussieht.

Das ist das von der Tangentialebene nach [mm] \IR^2 [/mm] zurückgeholte Skalarprodukt. Da ihr die 1. Fundamentalform unmittelbar über eine Immersion definiert, ist dann dein I einfach die Darstellungsmatrix des Skalarprodukts bezüglich der Standardbasis, so wie man das aus der linearen Algebra kennt.

>  Ich verstehe nicht, was [mm](df)_{(x^{1},x^{2})}(u)[/mm] bzw.
> [mm](df)_{(x^{1},x^{2})}(v)[/mm] ist.

Das ist das gewöhnliche Differential von f im [mm] Punkt(x_1, x_2) [/mm] angewandt auf einen Vektor v (bzw. u) aus dem [mm] \IR^2 [/mm] [mm] df(x_1,x_2) [/mm] ist ein Vektorraumisomorphismus von [mm]\IR^2 [/mm] nach [mm] T_{f(x_1,x_2)}f(U) [/mm]

>  Ist [mm](df)[/mm] nicht die normale Ableitungsmatrix von f in
> Richtung [mm]x^{1}[/mm] (1. Spalte) und Richtung [mm]x^{2}[/mm] (2. Spalte)?
>  
> Als Erklärungsbeispiel haben wir hier eine
> Rotationsfläche genommen mit:
>  [mm]c: I \to \IR^{2}[/mm] mit [mm]c^{1}(t) \not= 0 \; \forall \; t \in I[/mm]
> Die zugehörige Rotationsfläche ist:
>  [mm]f: Ix\IR^{2} \to \R^{3}[/mm] mit [mm]f(x^{1},x^{2}) = (c^{1}(x^{1}) * cos(x^{2}),c^{1}(x^{1}) * sin (x^{2}), c^{2}(x^{2}))[/mm].
>  
> Wie würde bei diesem Beispiel die 1. Fundamentalform in
> Skalarschreibweise (siehe Definition aussehen).

Die Frage verstehe ich nicht. Wenn du df berechnet hast, kannst du dann zu zwei Vektoren u,v I(u,v) berechnen.

>  Sie müsste dann folgende Gleichung erfüllen:
>  [mm]g_{ij} = I (e_{i},e_{j})[/mm] mit [mm]e_{1} = \vektor{1 \\ 0}[/mm] und
> [mm]e_{2}=\vektor{0 \\ 1}[/mm].

Genau das ist auch offensichtlich erfüllt, wegen [mm] df(x_1, x_2)(e_i) = \bruch{\partial f}{\partial x^{i}} [/mm].
Was man mit der ersten Fundamentalform haben will, ist ein Skalarprodukt auf den Tangentialräumen. Eine Basis des Tangentialraums im Punkt p bilden die [mm] \bruch{\partial f}{\partial x^{i}}(f^{-1}(p)) [/mm]. Da jeder reelle Vektorraum der Dimension 2 zum [mm] \IR^2 [/mm] isomorph ist, kann man die ganze Geschichte durch f in den [mm] \IR^2 [/mm] zurückholen. Die Bilder der Standardbasis unter dem Isomorphismus [mm] df(x_1,x_2) [/mm] sind die Basisvektoren [mm] \bruch{\partial f}{\partial x^{i}}(f^{-1}(p)) [/mm] der Tangentialebene.

> Das wäre dann die Überführung von
> Skalar- in Matrixschreibweise.
>  
> Dieses Verständnis ist wichtig für die 2. Fundamentalform
> (siehe mein anderer Post von heute mit Stichwort:
> "Geodäte, Fundamentalform").
>  
> Ich lerne grad für eine Klausur am Donnerstag, also es
> sind keine konkreten Aufgaben, sondern nur
> Verständnisfragen.

Beste Grüße,
Berieux

Bezug
                
Bezug
1. Fundamentalform: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:54 So 30.01.2011
Autor: musesician

Ok ich glaube ich habe ein wenig mehr verstanden...
Es gilt ja bei dem Beispiel der Rotationsfläche:
[mm] $(df)_{(x^{1},x^{2})} [/mm] = [mm] \pmat{ c^{1}'(x^{1})*cos(x^{2}) & -c^{1}(x^{1})*sin(x^{2}) \\ c^{1}'(x^{1})*sin(x^{2}) & c^{1}(x^{1})*cos(x^{2}) \\ c^{2}'(x^{1}) & 0 }$ [/mm]

und somit [mm] $(df)_{(x^{1},x^{2})}(u) [/mm] = [mm] \pmat{ c^{1}'(x^{1})*cos(x^{2}) & -c^{1}(x^{1})*sin(x^{2}) \\ c^{1}'(x^{1})*sin(x^{2}) & c^{1}(x^{1})*cos(x^{2}) \\ c^{2}'(x^{1}) & 0 } [/mm] * [mm] \vektor{u^{1} \\ u^{2}}$ [/mm]

Analog erhalte ich für [mm] $(df)_{(x^{1},x^{2})}(v)$: $\vektor{c^{1}'(x^{1})*cos(x^{2})*v^{1}-c^{1}(x^{1})*sin(x^{2})*v^{2} \\ c^{1}'(x^{1})*sin(x^{2})*v^{1}+c^{1}(x^{1})*cos(x^{2})*v^{2} \\ c^{2}'(x^{1})*v^{1}}$ [/mm]

Und für [mm] $I_({x^{1},x^{2})}(u,v) [/mm] = [mm] <(df)_{(x^{1},x^{2})}(u),(df)_{(x^{1},x^{2})}(v)> [/mm] = [mm] (c^{1'^{2}}(x^{1})+c^{2'^{2}}(x^{1})) [/mm] * [mm] u^{1}v^{1} [/mm] + [mm] c^{1^{2}}(x^{1}) [/mm] * [mm] u^{2}v^{2}$ [/mm]

Was ich auch schreiben kann als:
[mm] $I_({x^{1},x^{2})}(u,v) [/mm] = [mm] g_{11} [/mm] * [mm] u^{1}v^{1} [/mm] + [mm] g_{22} [/mm] * [mm] u^{2}v^{2}$. [/mm]
Der Term [mm] $2*g_{21}*u^{1}v^{2}$ [/mm] fällt hier weg, da [mm] $g_{21}=g_{12}=0$. [/mm]

Also gilt allgemein:
[mm] $I_({x^{1},x^{2})}(u,v) [/mm] = [mm] g_{11} [/mm] * [mm] u^{1}v^{1} [/mm] + [mm] 2*g_{12}*u^{1}v^{2} [/mm] + [mm] g_{22} [/mm] * [mm] u^{2}v^{2}$ [/mm]
Sehe ich das richtig so?

Bezug
                        
Bezug
1. Fundamentalform: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:34 So 30.01.2011
Autor: Berieux

Hi!

> Ok ich glaube ich habe ein wenig mehr verstanden...
>  Es gilt ja bei dem Beispiel der Rotationsfläche:
>  [mm](df)_{(x^{1},x^{2})} = \pmat{ c^{1}'(x^{1})*cos(x^{2}) & -c^{1}(x^{1})*sin(x^{2}) \\ c^{1}'(x^{1})*sin(x^{2}) & c^{1}(x^{1})*cos(x^{2}) \\ c^{2}'(x^{1}) & 0 }[/mm]
>  
> und somit [mm](df)_{(x^{1},x^{2})}(u) = \pmat{ c^{1}'(x^{1})*cos(x^{2}) & -c^{1}(x^{1})*sin(x^{2}) \\ c^{1}'(x^{1})*sin(x^{2}) & c^{1}(x^{1})*cos(x^{2}) \\ c^{2}'(x^{1}) & 0 } * \vektor{u^{1} \\ u^{2}}[/mm]
>  
> Analog erhalte ich für [mm](df)_{(x^{1},x^{2})}(v)[/mm]:
> [mm]\vektor{c^{1}'(x^{1})*cos(x^{2})*v^{1}-c^{1}(x^{1})*sin(x^{2})*v^{2} \\ c^{1}'(x^{1})*sin(x^{2})*v^{1}+c^{1}(x^{1})*cos(x^{2})*v^{2} \\ c^{2}'(x^{1})*v^{1}}[/mm]
>  
> Und für [mm]I_({x^{1},x^{2})}(u,v) = <(df)_{(x^{1},x^{2})}(u),(df)_{(x^{1},x^{2})}(v)> = (c^{1'^{2}}(x^{1})+c^{2'^{2}}(x^{1})) * u^{1}v^{1} + c^{1^{2}}(x^{1}) * u^{2}v^{2}[/mm]
>  
> Was ich auch schreiben kann als:
>  [mm]I_({x^{1},x^{2})}(u,v) = g_{11} * u^{1}v^{1} + g_{22} * u^{2}v^{2}[/mm].
>  
> Der Term [mm]2*g_{21}*u^{1}v^{2}[/mm] fällt hier weg, da
> [mm]g_{21}=g_{12}=0[/mm].
>  
> Also gilt allgemein:
> [mm]I_({x^{1},x^{2})}(u,v) = g_{11} * u^{1}v^{1} + 2*g_{12}*u^{1}v^{2} + g_{22} * u^{2}v^{2}[/mm]
>  
> Sehe ich das richtig so?

Naja..du hast natürlich
[mm]I_({x^{1},x^{2})}(u,v) = g_{11} * u^{1}v^{1} + g_{12}*u^{1}v^{2} + g_{21}u^2v^1 + g_{22} * u^{2}v^{2}[/mm]

Der Rest sieht ok aus.

Grüße,
Berieux


Bezug
        
Bezug
1. Fundamentalform: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:26 Mo 31.01.2011
Autor: musesician

Danke für die Hilfe!
Bin momentan dabei mein Skript nochmal durchzugehen und das wichtigste rauszuschreiben für die Klausur.

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.englischraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]