1. und 2. Ableitung bilden < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | ln x +4x = x² + 4,5 |
Hallo,
habe wahrscheinlich einen Fehler in der 1. und 2. Ableitung, da mein Newtonsches Näherungsverfahren leider nicht aufgeht. Die Werte weichen zu stark ab.
mfg Amenophis
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:47 Mo 01.01.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Hmm, dann gib doch mal die Funkion und die Ableitungen an, dann wird dir geholfen.
Von einer Gleichung kann man nämlich keine Ableitung bilden
Und was suchst du? Extrema, Wendestellen...
Also: Poste die komplette Aufgabe inklusive eigener Ansätze:
Marius
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | Nulstellen laut Lösung:
ln x = x²-4x +4,5 ; x0= 1,8 ; x0 = 2,8 (Startbedingung) |
Das ist auch mein Problem,
für diese Gleichung gibt es 2 Nullstellen, die als Startbedingung im Newtonschen Näherungsverfahren verwendet werden.
Aber für dieses Verfahren beötige ich die 1.und 2. Ableitung.
Wie bekommt man aus dieser Gleichung eine Funktion?
mfg
|
|
|
| |
|
Mit dem Newtonschen Näherungsverfahren löst man nicht direkt eine beliebige Gleichung, sondern findet Nullstellen einer Funktion.
Daher musst du dein Problem erst so umstellen, dass du eine Funktion erhältst, deren Nullstelle du suchst. Hier bietet sich an:
f(x) = ln x - [mm] x^{2}+ [/mm] 4x - 4,5.
Deine Gleichung ist gelöst genau dann, wenn f(x) = 0 ist.
Die 1. Ableitung ist nun f'(x) = 1/x - 2x + 4.
Du startest mit dem Anfangswert als 1. Näherungslösung und berechnest daraus den nächsten - besseren - Näherungswert, indem du
[mm] x_{neu}= [/mm] x - f(x)/f'(x) berechnest.
Diesen neuen Wert schreibst du auf (im TR in einen Speicher packen und immer wieder aufrufen, um Tipparbeit zu sparen, Tasten STO und RCL) und setzt ihn nun wieder in die selbe Formel ein. Schon nach 3 - 4 Schritten ändert sich der Wert nicht mehr, die Lösung ist auf TR-Genauigkeit gefunden.
Die 2. Ableitung wird hier gar nicht gebraucht!
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | f(x)= x² -4x -ln x +4,5
f'(x)= 2x -4 -1/x |
Hm,
so hab ich es auch gemacht mit dem Unterschied, dass ich die linke Seite der Gleichung nach rechts umgestellt habe. Sollte doch kein Unterschied sein?
mfg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:35 Mo 01.01.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> f(x)= x² -4x -ln x +4,5
> f'(x)= 2x -4 -1/x
> Hm,
> so hab ich es auch gemacht mit dem Unterschied, dass ich
> die linke Seite der Gleichung nach rechts umgestellt habe.
> Sollte doch kein Unterschied sein?
Nein, das macht natürlich keinen Unterschied! f(x) und -f(x) haben dieselben Nulstellen.
was ist jetzt noch deine Schwierigkeit?
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Danke für ie Antwort,
habs selber schon gelöst. Leider machts einen Unterschied wenn man die Gleichung nich nach rechts umstellt, da die Näherungswerte dann negativ werden.
Musste feststellen dass in der Übungsaufgabe ein kleiner Fehler war, der erste Näherungswerte wurde nach der 3. Stelle nach dem Komma gerundet also 10hoch-3.
Stand leider nicht mit bei. Ohne Rundung der nach der Kommastelle läuft der Wert in die flasche Richtung.
|
|
|
| |
|
Deine Lösung ist völlig richtig. Vermutlich machst du Fehler bei der TR-Tipperei: Setze den Zähler und den Nenner des Bruches jeweils in Klammern! Die beiden Lösungen liegen tatsächlich bei 1,7527 und 2,703148.
Hier ein Programm in BASIC (LOG ist in BASIC der LN, du musst also die LN-Taste nehmen) mit den ersten Näherungen; schon im 3. Schritt ist der Endwert erreicht:
10 X=2.8
20 X=X-(LOG(X)-X*X+4*X-4.5)/(1/X-2*X+4)
30 PRINT X
40 GOTO 20 (Sprung zur Zeile mit Nr. 20)
2.711188
2.703214
2.703148
2.703148
2.703148
2.703148
usw.
|
|
|
| |
|
danke für die Antwort,
es ist kein TR-Fehler leider wurde bei meiner Übungsaufgabe die 3.Stelle nach dem Komma aufgerundet auf 1,75 - ich habe aber nach TR mit 1,749999 weitergerechent.
Funktioniert nicht, nur wenn man mit 1,75 als ersten Näherungswert weiterrechnet ist man nahc dem 3.oder 4. mal am Ende.
Es stand leider nicht in der Übungsaufgabe Rundung nach 10hoch-3
|
|
|
|
