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Forum "Mathematik-Wettbewerbe" - 1982 teilt (222...222) (1980 2en)
1982 teilt (222...222) (1980 2en) < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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1982 teilt (222...222) (1980 2en): Übungsaufgabe
Status: (Übungsaufgabe) Übungsaufgabe Status 
Datum: 23:16 Mo 23.08.2004
Autor: Stefan

Kurz und knapp:

Zu zeigen ist:

$1982 [mm] \, \vert \, 222\cdots [/mm] 222$

mit $1980$ $2$en.


Tipp: Nach einer kleinen Rechnung lässt Fermat schön grüßen... ;-)

        
Bezug
1982 teilt (222...222) (1980 2en): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:12 Di 24.08.2004
Autor: AT-Colt

Hallo Stefan,

kann man diese Aufgabe als gelöst betrachten, wenn man das Ergebnis angeben kann? Ich denke doch ja, wir haben nämlich ein äquivalentes Problem mit

$991|111...111$ (1980 1en), damit können wir schonmal die Einerstelle des Ergebnisses angeben, die ist nämlich 1, damit wissen wir, dass in das Restergebnis die Form [mm] $x_1 [/mm] + 991$ hat, wobei gilt [mm] $10|x_1$. [/mm]
Die zweite Stelle des Ergebnisses ist wieder eine 1 und wir haben bereits 9 Stellen aus dem ersten Überlauf, die Zehnerstelle des Ergebnisses muss also 2 sein, woraus sich [mm] ergibt:$x_2 [/mm] + 19820 + 991 = 111...111$, mit [mm] $100|x_2$ [/mm]

Mit diesem Verfahren könnte man ermitteln, ob die Gleichung stimmt, da man jedem [mm] $10^i$ [/mm] von [mm] $\summe_{i=0}^{1979}(a_i*10î)$ [/mm] ein eindeutiges [mm] $a_i$ [/mm] zuordnen muss, damit das Ergebnis auf dem Weg bleibt.

Leider fehlt mir Lust, Zeit und Inspiration, den Nachweis auf diese Art zu bringen ^^;

Ich bin auf das Ergebnis mit Fermat gespannt, leider kann ich selbst mit dem Tipp nichts anfangen o.O

greetz

AT-Colt

Bezug
                
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1982 teilt (222...222) (1980 2en): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:40 Di 24.08.2004
Autor: Hanno

Hiho.
Ich habe natürlich zwanghaft versucht, irgendwo den Fermat anzuwenden, aber ausser der Tatsache, dass 991 eine Primzahl ist, und man somit auf einer Zerlegung ala
[mm]\summe_{i=0}^{1979}{10^i}=n^{991-1}-1[/mm]
hoffen könnte, doch sehe ich hier (noch) keinen Ausweg.

Gruß,
Hanno

Bezug
                        
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1982 teilt (222...222) (1980 2en): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:27 Di 24.08.2004
Autor: Stefan

Lieber AT-Colt, lieber Hanno!

Ihr habt richtig erkannt, dass es genügt das Folgende zu zeigen:

$991 [mm] \, \vert \, \underbrace{11\cdots 1}_{1980}$. [/mm]

Nun gebe ich einen weiteren Tipp:

[mm] $\underbrace{11\cdots 1}_{1980} [/mm] = [mm] \frac{10^{1980}-1}{9}$. [/mm]

Jetzt kann man nochmal im Zähler faktorisieren. Und dann schreit Fermat ganz, ganz laut: Hier!

Liebe Grüße
Stefan

Bezug
                                
Bezug
1982 teilt (222...222) (1980 2en): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:22 Di 24.08.2004
Autor: Hanno

Hi Stefan ;)
Hmm, mannoooo, dass wir da nich selber drauf gekommen sind. Dann isses ja nur noch ein Klaks ;)
[mm]\frac{10^{1980}-1}{9}[/mm]
[mm]=\frac{(10^{991-1}-1)(10^{991-1}+1)}{9}[/mm]
Laut Fermat ist der Zähler durch 991 teilbar. Folglich ist [mm]10^{991-1}-1[/mm] durch 991 teilbar.
Damit ist $ [mm] \underbrace{11\cdots 1}_{1980} [/mm] $ durch 991 teilbar woraus die Behauptung folgt.

*immernochärgert* ;)

Gruß,
Hanno

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