1=-1 Falsche Aussage < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:36 Mo 14.05.2012 | | Autor: | Lonpos |
| Aufgabe | | [mm] 1=\wurzel{(-1)*(-1)}=\wurzel{(-1)}\wurzel{(-1)}=-i*-i=-1 [/mm] |
Ein Freund hat mich heute gefragt, wie ich diese Gleichung richtig stellen würde (für den richtigen Zweig des Logarithmus).
Seine Idee war die folgende: Der Fehler muss im ersten Gleichheitszeichen liegen:
[mm] \wurzel{(-1)*(-1)}=e^{\bruch{1}{2}log((-1)*(-1))}
[/mm]
Ich hätte jetzt jedoch argumentiert, dass das gar nicht geht, denn log((-1)*(-1)) existiert nicht.
Im Komplexen gilt für die Eigenschaft des Log:
[mm] Log(wz)=log(w)+log(z)+2\pi*in [/mm] für [mm] n\in\{-1,0,1\} [/mm] und [mm] w\in\IC^{-}
[/mm]
also kann w nicht -1 sein, darum muss für die Richtigstellung der Gleichung anders vorgegangen werden.
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Hallo, das zweite Gleichheitszeichen muß [mm] \not= [/mm] lauten, laut der Wuzeldefinition darfst du nicht die Regel benutzen, die für nichtnegative reelle Zahlen Gültigkeit hat, Steffi
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> [mm]1=\wurzel{(-1)*(-1)}=\wurzel{(-1)}\wurzel{(-1)}=-i*-i=-1[/mm]
> Ein Freund hat mich heute gefragt, wie ich diese Gleichung
> richtig stellen würde (für den richtigen Zweig des
> Logarithmus).
>
> Seine Idee war die folgende: Der Fehler muss im ersten
> Gleichheitszeichen liegen:
>
> [mm]\wurzel{(-1)*(-1)}=e^{\bruch{1}{2}log((-1)*(-1))}[/mm]
>
> Ich hätte jetzt jedoch argumentiert, dass das gar nicht
> geht, denn log((-1)*(-1)) existiert nicht.
>
> Im Komplexen gilt für die Eigenschaft des Log:
>
> [mm]Log(wz)=log(w)+log(z)+2\pi*in[/mm] für [mm]n\in\{-1,0,1\}[/mm] und
> [mm]w\in\IC^{-}[/mm]
>
> also kann w nicht -1 sein, darum muss für die
> Richtigstellung der Gleichung anders vorgegangen werden.
Betrachten wir die einzelnen Schritte separat:
$ [mm] 1=\wurzel{(-1)\cdot{}(-1)}$ [/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
das ist zweifellos richtig - doch der "Logik" dieses angeb-
lichen "Beweises" würde es fast eher entsprechen, wenn
da stünde: $ [mm] -1=\wurzel{(-1)\cdot{}(-1)}$ [/mm]
$ [mm] \wurzel{(-1)\cdot{}(-1)}=\wurzel{(-1)}\wurzel{(-1)}$ [/mm] ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Die Quadratwurzel aus -1 ist nicht (eindeutig) definiert;
deshalb ist diese Umformung zumindest problematisch.
$ [mm] \wurzel{(-1)}\wurzel{(-1)}=(-i)\cdot{}(-i)$
[/mm]
Hier fragt man sich noch, wieso du [mm] \wurzel{-1}=-i [/mm] setzt
(und nicht etwa [mm] \wurzel{-1}=i) [/mm] ...
$ [mm] (-i)\cdot{}(-i)=-1 [/mm] $
das ist dann wieder goldrichtig ...
Falls du die Gleichungskette "richtig stellen" möchtest,
dann geht es jedenfalls nicht, dass am Anfang 1 steht
und am Schluss -1 .
LG Al-Chw.
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Im Komplexen sind manche Funktionen nicht mehr eindeutig, wie du ja von der Log.-Funktion weißt. Dazu gehört auch die Wurzel.
Im reellen gilt: [mm] \wurzel{a}= [/mm] diejenige POSITIVE reelle Zahl, deren Quadrat a ist. Deshalb ist [mm] \wurzel{25}\ne [/mm] -5, obwohl [mm] (-5)^2=25 [/mm] ist. Deshalb ist [mm] \wurzel[3]{-8}\ne [/mm] -2, obwohl [mm] (-2)^3=8 [/mm] ist, denn -2 ist nicht positiv. Die Lösung von [mm] x^3=-8 [/mm] heißt deshalb nicht [mm] \wurzel[3]{-8}, [/mm] sondern [mm] -\wurzel[3]{8}.
[/mm]
[mm] \wurzel{-1} [/mm] ist dementsprechend gar nicht definiert. Allerdings sind [mm] i^2=-1 [/mm] und [mm] (-i)^2=-1 [/mm] Lösungen der Gleichung [mm] x^2=-1, [/mm] aber weder i noch -i sind positive reelle Zahlen. Wir haben hier also etwas Ähnliches wie bei [mm] \wurzel[3]{-8}.
[/mm]
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Dasselbe viel einfacher:
1 = 1
[mm] 1^2 [/mm] = [mm] (-1)^2 |\wurzel{}
[/mm]
1 = -1
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