1,A5,S5 einziger NT von S5 < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo!
Erst hatte ich folgende Teilaufgabe:
Sei G Gruppe, A und N Normalteiler der Gruppe. Außerdem sei A einfach. Dann gilt entweder [mm] A\subset [/mm] N oder [mm] $A\cap [/mm] N = [mm] \{1\}$.
[/mm]
Das habe ich schon bewiesen und man soll es jetzt unter der Kenntnis, dass [mm] A_5 [/mm] einfach ist, nachweisen dass [mm] A_5 [/mm] der einzige echte Normalteiler von S5 ist.
Dafür habe ich (natürlich) $G = [mm] S_5$, [/mm] $A = [mm] A_5$ [/mm] gewählt und nun angenommen, es gäbe einen weiteren Normalteiler N von [mm] $S_5$. [/mm] Aus der ersten Teilaufgabe erhalte ich dann
[mm] $A_5 \subset [/mm] N$ oder [mm] $A_5 \cap [/mm] N = [mm] \{1\}$.
[/mm]
Aus [mm] $A_5 \subset [/mm] N$ erhalte ich $N = [mm] A_5$ [/mm] oder $N = [mm] S_5$, [/mm] denn nach dem Satz von Lagrange gibt es keine anderen Gruppen "zwischen" [mm] A_5 [/mm] und [mm] S_5.
[/mm]
Im Fall [mm] $A_5 \cap [/mm] N = [mm] \{1\}$ [/mm] folgt, dass $N$ also nur aus ungeraden Permutationen und der Identität besteht. Wieso muss hier $N = [mm] \{1\}$ [/mm] folgen, da komm ich noch nicht drauf und bitte um Hilfe 
Viele Grüße,
Stefan
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Frage verloren gegangen ?
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Hallo,
> Frage verloren gegangen ?
nein, aus Versehen Enter im Titelfeld gedrückt ...
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:12 Fr 18.03.2011 | | Autor: | Lippel |
Hallo Stefan,
> Im Fall [mm]A_5 \cap N = \{1\}[/mm] folgt, dass [mm]N[/mm] also nur aus
> ungeraden Permutationen und der Identität besteht. Wieso
> muss hier [mm]N = \{1\}[/mm] folgen, da komm ich noch nicht drauf
> und bitte um Hilfe
Bin mir nicht ganz sicher, aber könnte man nicht so argumentieren:
Das Produkt zweier ungerader Permutationen ist gerade, daher kann [mm] $N\:$ [/mm] bereits nur Permutationen der Ordnung 2 enthalten, also Permutationen, die sich als Produkt disjunkter Transpositionen darstellen lassen. Da die Anzahl der Transpositionen darüber hinaus gerade sein muss (sonst wäre das Signum ja +1), kann [mm] $N\:$ [/mm] nur von der Form $N = [mm] \{id, (i j)\}, [/mm] i [mm] \not=j$ [/mm] sein (3 Transpositionen können ja nicht mehr disjunkt sein). Für $k [mm] \not= [/mm] i,j$ ist jedoch $(i k)(i j)(i k) = (k j) [mm] \not \in [/mm] N$. Damit wäre [mm] $N\:$ [/mm] kein Normalteiler. Also muss [mm] $N\:$ [/mm] trivial sein.
LG Lippel
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Hallo Lippel,
danke für deine Antwort
> Hallo Stefan,
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> > Im Fall [mm]A_5 \cap N = \{1\}[/mm] folgt, dass [mm]N[/mm] also nur aus
> > ungeraden Permutationen und der Identität besteht. Wieso
> > muss hier [mm]N = \{1\}[/mm] folgen, da komm ich noch nicht drauf
> > und bitte um Hilfe
>
> Bin mir nicht ganz sicher, aber könnte man nicht so
> argumentieren:
>
> Das Produkt zweier ungerader Permutationen ist gerade,
> daher kann [mm]N\:[/mm] bereits nur Permutationen der Ordnung 2
> enthalten, also Permutationen, die sich als Produkt
> disjunkter Transpositionen darstellen lassen. Da die Anzahl
> der Transpositionen darüber hinaus gerade sein muss (sonst
> wäre das Signum ja +1), kann [mm]N\:[/mm] nur von der Form [mm]N = \{id, (i j)\}, i \not=j[/mm]
> sein (3 Transpositionen können ja nicht mehr disjunkt
> sein).
Ich verstehe nicht ganz, warum nicht N alle Transpositionen beinhalten darf?
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So nebenbei: Musst du zufällig auch am Dienstag nochmal ran ?
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:13 Fr 18.03.2011 | | Autor: | Lippel |
Nabend Stefan,
> Ich verstehe nicht ganz, warum nicht N alle Transpositionen
> beinhalten darf?
Sobald [mm] $N\:$ [/mm] zwei Transpositionen enthält, enthält [mm] $N\:$ [/mm] so auch das Produkt dieser beiden, welches aber eine gerade Permutation ist. Damit wäre der Schnitt mit der [mm] $A_5$ [/mm] nicht mehr trivial.
> So nebenbei: Musst du zufällig auch am Dienstag nochmal
> ran ?
Ja, es wird ein riesen Spaß! Vor allem wenn wieder so viel Gruppenkram drankommt.
LG Lippel
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Guten Abend...
> > Ich verstehe nicht ganz, warum nicht N alle Transpositionen
> > beinhalten darf?
>
> Sobald [mm]N\:[/mm] zwei Transpositionen enthält, enthält [mm]N\:[/mm] so
> auch das Produkt dieser beiden, welches aber eine gerade
> Permutation ist. Damit wäre der Schnitt mit der [mm]A_5[/mm] nicht
> mehr trivial.
Du hast recht... ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> > So nebenbei: Musst du zufällig auch am Dienstag nochmal
> > ran ?
>
> Ja, es wird ein riesen Spaß! Vor allem wenn wieder so viel
> Gruppenkram drankommt.
Ich will keine Aufgaben mit Rumrechnen haben. Diese mit den ganzen Quadraten und p,r,s, das war der Horror.
Stefan
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