1 Ebene 1 Gerade und 2 Kugeln < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:05 Di 19.05.2009 | | Autor: | kushkush |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Gegeben sei die Gerade a durch die Punkte P(1/0/1) und Q(1/2/-1) sowie die Ebene E durch die Punkte A(-1/1/-2), B(1/-3/-2) und C (2/5/3)
a) Bestimme die auf der Geraden a liegenden Mittelpunkte der Kugelm mit Radius 3, welche die Ebene berühren. |
Hi,
die Gerade \overrightarrow{r}:\vektor{1\\0\\1}+t\cdot \vektor{0\\2\\-2}
die Ebene E: -2x-y+2z+3=0
der Radius muss 3 ergeben, also :
$\frac{\vmat{-2x-y+2z+3}}{\sqrt{-2^{2}-1^{2}+2^{2}}=3$
und dann stecke ich fest, da ich 3 Variabeln und 1 Gleichung habe... woher bekomme ich die anderen 2 ?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt und bin für jede Antwort dankbar.
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> Hi,
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> die Gerade [mm]\overrightarrow{r}:\vektor{1\\0\\1}+t\cdot \vektor{0\\2\\-2}[/mm]
>
> die Ebene E: -2x-y+2z+3=0
Alles ok ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") bis hierher!
> der Radius muss 3 ergeben, also :
>
> [mm]\frac{\vmat{-2x-y+2z+3}}{\sqrt{-2^{2}-1^{2}+2^{2}}=3[/mm]
Dieser Ansatz ist glaub ich nicht so fruchtbar. Die Idee ist folgende: Wie du richtig erkannt hast, führen wir eine Abstandsberechnung Ebene-Punkt durch, es gilt die Formel
$d = [mm] |(\vec{OR}-\vec{OX})\circ \vec{n_{0}}|$
[/mm]
wobei
[mm] \vec{OR} [/mm] = Ortsvektor des Punktes R,
[mm] \vec{OX} [/mm] = Ein Ortsvektor der Ebene,
[mm] \vec{n_{0}} [/mm] = normierter Normalenvektor der Ebene.
Der "Trick" ist nun folgender. Unsere Ebene ist natürlich die von oben, welche du schon ausgerechnet hast. Als Punkt setzen wir jedoch nicht einen ein, sondern gleich alle, welche auf der Geraden a liegen. Indem wir nämlich die Gerade a umschreiben in
[mm] $a:\overrightarrow{r}:\vektor{1\\0\\1}+t\cdot \vektor{0\\2\\-2} [/mm] = [mm] \vektor{1\\2t\\1-2t} [/mm] = [mm] \vec{OR}$
[/mm]
erhalten wir die Menge aller Punkte, welche auf der Geraden a liegen, abhängig von nur einem Parameter t. Nun setzt du alles in die obige Abstandsgleichung ein, d ist ja bekanntermaßen 3 und guckst für welche t die Gleichung erfüllt ist.
Viele Grüße, Stefan.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:26 Di 19.05.2009 | | Autor: | kushkush |
Hi steppenhahn und weduwe,
danke für eure Hilfe....
ich habe erhalten
[mm] |\frac{10}{3}t+1|=3
[/mm]
das stimmt allerdings laut Lösungen nicht; der Prof benützt aber auch 2x+y-2z-3=0 als Ebene (halt meine [mm] $\cdot [/mm] -1$)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:24 Di 19.05.2009 | | Autor: | weduwe |
> Hi steppenhahn und weduwe,
>
> danke für eure Hilfe....
>
> ich habe erhalten
>
> [mm]|\frac{10}{3}t+1|=3[/mm]
>
> das stimmt allerdings laut Lösungen nicht; der Prof benützt
> aber auch 2x+y-2z-3=0 als Ebene (halt meine [mm]\cdot -1[/mm])
ich weiß ja nicht wie und was du gerechnet hast.
ich erhalte mit
[mm]g: \vec{x}=\vektor{1\\0\\1}+t\vektor{0\\1\\-1}[/mm]
[mm]E_1: -2x-y+2z-6=0\to t_1=-2\to M_1(1/-2/3)[/mm]
[mm]E_2: -2x-y+2z+12=0\to t_2=4\to M_2(1/4/-3)[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:02 Di 11.05.2010 | | Autor: | kushkush |
hallo steppenhahn und weduwe und danke euch!
Ich habe versucht diese Aufgabe nochmals nach steppenhahn auszurechnen und zwar wie folgt:
Ebene : $2x+y-2z-3=0$
Gerade [mm] \overrightarrow{a} [/mm] : [mm] \vektor{1\\0\\1}+t\vektor{0\\2\\-2}
[/mm]
dann habe ich einen Ortsvektor der Ebene ausgerechnet [mm] \vektor{2\\1\\-2}\cdot\vektor{x\\y\\z}=3 [/mm] und [mm] \vektor{2\\1\\1} [/mm] genommen.
dann setze ich ein:
[mm] |$(\vektor{1\\2t\\1-2t}-\vektor{2\\1\\1})\cdot \vektor{2\\1\\-1}\cdot \frac{1}{3} [/mm] |= 3$
dann löse ich das nach t auf, und da es eine Betragsgleichung ist erhalte ich
[mm] $|t|=\pm [/mm] 2$
was aber laut Lösungen nicht stimmt!
Was mache ich falsch und wie macht mans richtig?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt und bin für jede Antwort dankbar.
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Hallo,
> hallo steppenhahn und weduwe und danke euch!
>
> Ich habe versucht diese Aufgabe nochmals nach steppenhahn
> auszurechnen und zwar wie folgt:
>
>
> Ebene : [mm]2x+y-2z-3=0[/mm]
>
> Gerade [mm]\overrightarrow{a}[/mm] :
> [mm]\vektor{1\\0\\1}+t\vektor{0\\2\\-2}[/mm]
>
> dann habe ich einen Ortsvektor der Ebene ausgerechnet
> [mm]\vektor{2\\1\\-2}\cdot\vektor{x\\y\\z}=3[/mm] und
> [mm]\vektor{2\\1\\1}[/mm] genommen.
>
>
> dann setze ich ein:
>
> |[mm](\vektor{1\\2t\\1-2t}-\vektor{2\\1\\1})\cdot \vektor{2\\1\\-1}\cdot \frac{1}{3} |= 3[/mm]
Du verwendest in deinem Post mindestens zwei verschiedene Normalenvektoren der Ebene.
Wahrscheinlich sind das alles nur Tippfehler, aber er lautet (-2|-1|2) und der normierte Normalenvektor somit 1/3*(-2|-1|2).
> dann löse ich das nach t auf, und da es eine
> Betragsgleichung ist erhalte ich
>
> [mm]|t|=\pm 2[/mm]
Ich erhalte als Betragsgleichung $|2t-1| = 3$ --> t = -1, t = 2.
Wo genau dein Rechenfehler liegt, kann ich dir natürlich nicht sagen...
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:35 Di 11.05.2010 | | Autor: | kushkush |
ja, komme auch auf dasselbe, hatte die Betragsgleichung falsch aufgelöst!
Danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:31 Di 19.05.2009 | | Autor: | weduwe |
mit der HNF kannst du die zu E parallelen ebenen im abstand d =3 bestimmen, diese schneidest du nun mit g:
[mm] \frac{-2x-y+2z+3}{3}=\pm [/mm] 3
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