1/(x^3+x^2+x-3) Integral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:37 Mo 10.05.2010 | | Autor: | matheja |
| Aufgabe | Hi,
bei folgender Aufgabe, komm ich nicht auf einen Ansatz.
Vielleicht könnt ihr helfen |
Zu bestimmen ist folgendes Integral:
[mm] \integral_{}^{}{ \bruch{1}{x^{3}+x^{2}+x-3 dx}}
[/mm]
Wie gesagt ein Ansatz würde helfen.
Partialbruchzerlegung kann man ja nicht anwenden, weil der untere Term keine Nullstellen hat.
Danke für Hilfe
matheja
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:40 Mo 10.05.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo matheja!
Das kann nicht stimmen. Ein Polynom 3. Grades hat immer mindestens eine reelle Nullstelle.
Und hier gibt es mit [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 1$ auch einen schönen glatten Wert.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:46 Mo 10.05.2010 | | Autor: | matheja |
| Aufgabe | hi,
noch eine kleine Frage.
Ich habe nun Partialbruchzerlegung angewendet und ein Ergebnis bekommen, dass mit dem Mathematica-Ergebnis nicht übereinstimmt.
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1/6* [mm] ln(x-1)-1/12*\integral_{}^{}{(x+1)/x^2+2x+3,dx}
[/mm]
Ich hab dann den Integralterm mit 1/2 erweitert:
[mm] 1/2*\integral_{}^{}{(2x+2)/x^2+2x+3,dx}
[/mm]
nun gilt, der obere bruchterm entspricht der ableitung des unteren Bruchterm
also folgt => [mm] 1/2*ln(x^2+2x+3)
[/mm]
mathematica gibt arctan term heraus?
wo liegt der Fehler?
Vielen Dank für Hilfe
matheja
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Hallo matheja,
du könntest ruhig ein wenig mehr Rechnung spendieren ...
> hi,
>
> noch eine kleine Frage.
> Ich habe nun Partialbruchzerlegung angewendet und ein
> Ergebnis bekommen, dass mit dem Mathematica-Ergebnis nicht
> übereinstimmt.
Wie sieht denn die PBZ genau aus?
Ich erhalte da [mm] $\frac{1}{6}\cdot{}\frac{1}{x-1}+\frac{1}{6}\cdot{}\frac{-x-3}{x^2+2x+3}$
[/mm]
>
> 1/6* [mm]ln(x-1)-1/12*\integral_{}^{}{(x+1)/x^2+2x+3,dx}[/mm]
Klammern setzen!!
Nun, der erste Teil stimmt!
bleibt: [mm] $-\frac{1}{6}\int{\frac{x+3}{x^2+2x+3} \ dx}$
[/mm]
>
> Ich hab dann den Integralterm mit 1/2 erweitert:
Besser mit 2:
[mm] $\ldots=-\frac{1}{12}\int{\frac{2x+6}{x^2+2x+3} \ dx}=-\frac{1}{12}\int{\frac{2x+2+4}{x^2+2x+3} \ dx}$
[/mm]
[mm] $=-\frac{1}{12}\int{\frac{2x+2}{x^2+2x+3} \ dx}-\frac{1}{12}\int{\frac{4}{x^2+2x+3} \ dx}$
[/mm]
Das erstere Integral ist ein logarithmisches, das gibt [mm] $-\frac{1}{12}\ln(x^2+2x+3)$
[/mm]
Das letztere ist für den Arcustangensteil verantwortlich.
Erinnere dich, dass [mm] $\int{\frac{1}{1+z^2} \ dz}=\arctan(z)$
[/mm]
[mm] $-\frac{1}{12}\int{\frac{4}{x^2+2x+3} \ dx}=-\frac{1}{3}\int{\frac{1}{(x+1)^2+(\sqrt{2})^2} \ dx}$
[/mm]
Kommst du damit auf eine passende Substitution im Hinblick auf das Arcustangensintegral, das ich oben hingeschrieben habe ...
>
> [mm]1/2*\integral_{}^{}{(2x+2)/x^2+2x+3,dx}[/mm]
>
> nun gilt, der obere bruchterm entspricht der ableitung des
> unteren Bruchterm
>
> also folgt => [mm]1/2*ln(x^2+2x+3)[/mm]
>
> mathematica gibt arctan term heraus?
> wo liegt der Fehler?
>
>
> Vielen Dank für Hilfe
>
>
> matheja
>
Gruß
schachuzipus
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