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Forum "Stetigkeit" - 1/x stetig auf R\{0} zeigen
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1/x stetig auf R\{0} zeigen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:20 So 14.03.2010
Autor: steppenhahn

Aufgabe
Zeige, dass die Funktion $f(x) [mm] =\frac{1}{x}$ [/mm] stetig auf [mm] \IR\textbackslash\{0\} [/mm] ist.

Hallo!

Ich weiß, dass man diese Aufgabe sehr leicht mit der Folgendefinition von Stetigkeit lösen könnte.
Ich möchte es aber mit der [mm] \varepsilon-\delta-Variante [/mm] versuchen.

[mm] $\left|f(x)-f(x_{0})\right| [/mm] = [mm] \left|\frac{1}{x}-\frac{1}{x_{0}}\right| [/mm] = [mm] \frac{|x-x_{0}|}{|x|*|x_{0}|}$ [/mm]

Nun schätze ich $|x|$ ab:

$|x| = [mm] |x_{0} [/mm] - [mm] (x_{0}-x)| \ge |x_{0}| [/mm] - [mm] |x-x_{0}|$, [/mm]

also obige Ungleichung weitergeführt:

[mm] $\le \frac{|x-x_{0}|}{(|x_{0}| - |x-x_{0}|)*|x_{0}|} \le \frac{\delta}{(|x_{0}| - \delta)*|x_{0}|}$ [/mm]

(Ich ziehe im Nenner mehr ab, dieser wird also kleiner).

Damit komme ich auf die Gleichung für [mm] \delta: [/mm]

[mm] $\frac{\delta}{(|x_{0}| - \delta)*|x_{0}|} [/mm] = [mm] \varepsilon$ [/mm]

[mm] $\Rightarrow \delta [/mm] = [mm] \varepsilon*(|x_{0}| [/mm] - [mm] \delta)*|x_{0}|$ [/mm]

[mm] $\Rightarrow \delta [/mm] = [mm] \varepsilon*|x_{0}|^{2} [/mm] - [mm] \delta*\varepsilon*|x_{0}|$ [/mm]

[mm] $\Rightarrow \delta*(1+\varepsilon*|x_{0}|) [/mm] = [mm] \varepsilon*|x_{0}|^{2}$ [/mm]

[mm] $\Rightarrow \delta= \frac{\varepsilon*|x_{0}|^{2}}{1+\varepsilon*|x_{0}|}$ [/mm]

Wenn ich das jetzt wiederum oben in dem Beweis also [mm] \delta [/mm] setzen würde, käme ich zum gewünschten Ergebnis. Das [mm] \delta [/mm] kann immer gewählt werden, da der Nenner > 1 ist.


1. Frage: Stimmt das :-) ?
2. Frage: Das scheint mir sehr kompliziert zu sein, für so eine einfache Funktion wie 1/x. Geht das mit der [mm] \varepsilon-\delta-Variante [/mm] noch einfacher?

Grüße und danke für Eure Hilfe,
Stefan

        
Bezug
1/x stetig auf R\{0} zeigen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:53 So 14.03.2010
Autor: rainerS

Hallo Stefan!

> Zeige, dass die Funktion [mm]f(x) =\frac{1}{x}[/mm] stetig auf
> [mm]\IR\textbackslash\{0\}[/mm] ist.
>  Hallo!
>  
> Ich weiß, dass man diese Aufgabe sehr leicht mit der
> Folgendefinition von Stetigkeit lösen könnte.
>  Ich möchte es aber mit der [mm]\varepsilon-\delta-Variante[/mm]
> versuchen.
>  
> [mm]\left|f(x)-f(x_{0})\right| = \left|\frac{1}{x}-\frac{1}{x_{0}}\right| = \frac{|x-x_{0}|}{|x|*|x_{0}|}[/mm]
>  
> Nun schätze ich [mm]|x|[/mm] ab:
>  
> [mm]|x| = |x_{0} - (x_{0}-x)| \ge |x_{0}| - |x-x_{0}|[/mm],

Du meinst diese Ungleichung:

[mm] |x| = |x_{0} - (x_{0}-x)| \ge \Bigl||x_{0}| - |x-x_{0}|\Bigr|[/mm],

Das Problem bei deiner Abschätzung ist, dass die rechte Seite $<0$ werden kann und dann nichts mehr bringt für die Abschätzung von [mm] $\bruch{1}{|x|}$. [/mm] Das ist dann der Fall, wenn entweder x auf der anderen Seite der 0 liegt oder $|x| > 2 [mm] |x_{0}|$. [/mm]

Also musst du zusätzlich annehmen, dass [mm] $|x-x_0| <|x_0|$, [/mm] also [mm] $\delta <|x_0|$. [/mm] Das darfst du tun, weil die Stetigkeit eine lokale Eigenschaft ist.

Dann funktioniert deine Argumentation wie gehabt:

> also obige Ungleichung weitergeführt:
>  
> [mm]\le \frac{|x-x_{0}|}{(|x_{0}| - |x-x_{0}|)*|x_{0}|} \le \frac{\delta}{(|x_{0}| - \delta)*|x_{0}|}[/mm]
>  
> (Ich ziehe im Nenner mehr ab, dieser wird also kleiner).

Das funktioniert nur, wenn die Differenzen im Nenner $>0$ sind.

> Damit komme ich auf die Gleichung für [mm]\delta:[/mm]
>  
> [mm]\frac{\delta}{(|x_{0}| - \delta)*|x_{0}|} = \varepsilon[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow \delta = \varepsilon*(|x_{0}| - \delta)*|x_{0}|[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow \delta = \varepsilon*|x_{0}|^{2} - \delta*\varepsilon*|x_{0}|[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow \delta*(1+\varepsilon*|x_{0}|) = \varepsilon*|x_{0}|^{2}[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow \delta= \frac{\varepsilon*|x_{0}|^{2}}{1+\varepsilon*|x_{0}|}[/mm]
>  
> Wenn ich das jetzt wiederum oben in dem Beweis also [mm]\delta[/mm]
> setzen würde, käme ich zum gewünschten Ergebnis. Das
> [mm]\delta[/mm] kann immer gewählt werden, da der Nenner > 1 ist.
>  
>
> 1. Frage: Stimmt das :-) ?

Du musst noch die Ausgangsbedingung [mm] $\delta <|x_0|$ [/mm] hinzunehmen, also

[mm] \delta = \max\(\frac{\varepsilon*|x_{0}|^{2}}{1+\varepsilon*|x_{0}|},x_0\) [/mm]

>  2. Frage: Das scheint mir sehr kompliziert zu sein, für
> so eine einfache Funktion wie 1/x. Geht das mit der
> [mm]\varepsilon-\delta-Variante[/mm] noch einfacher?

Ich würde mich von vorneherein auf [mm] $\delta [/mm] < [mm] |x_0|/2$ [/mm] einschränken. Damit ist $|x| > [mm] |x_0|/2$ [/mm] und

[mm] \left|f(x)-f(x_{0})\right| = \left|\frac{1}{x}-\frac{1}{x_{0}}\right| = \frac{|x-x_{0}|}{|x|*|x_{0}|} < \bruch{2}{x_0^2} |x-x_{0}| [/mm],

also

[mm] \delta = \max\left(\bruch{|x_0|}{2}, \bruch{x_0^2}{2} \varepsilon\right) [/mm].

  Viele Grüße
    Rainer



Bezug
                
Bezug
1/x stetig auf R\{0} zeigen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:32 Mi 17.03.2010
Autor: steppenhahn

Hallo Rainer,

danke für deine Antwort!
Ich bin aber noch nicht ganz zufrieden :-)


> > Nun schätze ich [mm]|x|[/mm] ab:
>  >  
> > [mm]|x| = |x_{0} - (x_{0}-x)| \ge |x_{0}| - |x-x_{0}|[/mm],
>  
> Du meinst diese Ungleichung:
>  
> [mm]|x| = |x_{0} - (x_{0}-x)| \ge \Bigl||x_{0}| - |x-x_{0}|\Bigr|[/mm],
>  
> Das Problem bei deiner Abschätzung ist, dass die rechte
> Seite [mm]<0[/mm] werden kann und dann nichts mehr bringt für die
> Abschätzung von [mm]\bruch{1}{|x|}[/mm]. Das ist dann der Fall,
> wenn entweder x auf der anderen Seite der 0 liegt oder [mm]|x| > 2 |x_{0}|[/mm].

> Also musst du zusätzlich annehmen, dass [mm]|x-x_0| <|x_0|[/mm],
> also [mm]\delta <|x_0|[/mm]. Das darfst du tun, weil die Stetigkeit
> eine lokale Eigenschaft ist.

Ich verstehe, warum ich das annehmen muss.
Ich verstehe nicht die Begründung "Weil Stetigkeit eine lokale Eigenschaft ist"
Kannst du mir das erklären?
Im Übrigen:

Wenn ich am Ende auf [mm] $\delta= \frac{\varepsilon*|x_{0}|^{2}}{1+\varepsilon*|x_{0}|}$ [/mm] komme, ist doch sowieso:

$|x| = [mm] |x_{0} [/mm] - [mm] (x_{0}-x)| \ge |x_{0}| [/mm] - [mm] |x-x_{0}| \ge |x_{0}|-\delta [/mm]  = [mm] |x_{0}| [/mm] - [mm] \frac{\varepsilon*|x_{0}|^{2}}{1+\varepsilon*|x_{0}|} [/mm] = [mm] \frac{|x_{0}|}{1+\varepsilon*|x_{0}|} [/mm] > 0$,

also dürfte es doch gar keine Probleme geben?

--------

> Du musst noch die Ausgangsbedingung [mm]\delta <|x_0|[/mm]
> hinzunehmen, also
>  
> [mm]\delta = \max\(\frac{\varepsilon*|x_{0}|^{2}}{1+\varepsilon*|x_{0}|},x_0\)[/mm]

Ich verstehe nicht, warum dadurch [mm] \delta [/mm] < [mm] |x_{0}| [/mm] gewährleistet ist. Der erste Term im "max" könnte doch größer sein?

> >  2. Frage: Das scheint mir sehr kompliziert zu sein, für

> > so eine einfache Funktion wie 1/x. Geht das mit der
> > [mm]\varepsilon-\delta-Variante[/mm] noch einfacher?
>  
> Ich würde mich von vorneherein auf [mm]\delta < |x_0|/2[/mm]
> einschränken. Damit ist [mm]|x| > |x_0|/2[/mm] und

Ich verstehe nicht, wieso ich diese Einschränkung machen darf.


> [mm]\left|f(x)-f(x_{0})\right| = \left|\frac{1}{x}-\frac{1}{x_{0}}\right| = \frac{|x-x_{0}|}{|x|*|x_{0}|} < \bruch{2}{x_0^2} |x-x_{0}| [/mm],
>  
> also
>  
> [mm]\delta = \max\left(\bruch{|x_0|}{2}, \bruch{x_0^2}{2} \varepsilon\right) [/mm].


Danke für Eure Hilfe!

Grüße,
Stefan

Bezug
                        
Bezug
1/x stetig auf R\{0} zeigen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:01 Mi 17.03.2010
Autor: rainerS

Hallo Stefan!

> Hallo Rainer,
>  
> danke für deine Antwort!
>  Ich bin aber noch nicht ganz zufrieden :-)
>  
>
> > > Nun schätze ich [mm]|x|[/mm] ab:
>  >  >  
> > > [mm]|x| = |x_{0} - (x_{0}-x)| \ge |x_{0}| - |x-x_{0}|[/mm],
>  >  
> > Du meinst diese Ungleichung:
>  >  
> > [mm]|x| = |x_{0} - (x_{0}-x)| \ge \Bigl||x_{0}| - |x-x_{0}|\Bigr|[/mm],
>  
> >  

> > Das Problem bei deiner Abschätzung ist, dass die rechte
> > Seite [mm]<0[/mm] werden kann und dann nichts mehr bringt für die
> > Abschätzung von [mm]\bruch{1}{|x|}[/mm]. Das ist dann der Fall,
> > wenn entweder x auf der anderen Seite der 0 liegt oder [mm]|x| > 2 |x_{0}|[/mm].
>
> > Also musst du zusätzlich annehmen, dass [mm]|x-x_0| <|x_0|[/mm],
> > also [mm]\delta <|x_0|[/mm]. Das darfst du tun, weil die Stetigkeit
> > eine lokale Eigenschaft ist.
>  
> Ich verstehe, warum ich das annehmen muss.
>  Ich verstehe nicht die Begründung "Weil Stetigkeit eine
> lokale Eigenschaft ist"
>  Kannst du mir das erklären?

Für die Stetigkeit in einem Punkt [mm] $x_0$ [/mm] kommt es nur auf das Verhalten der Funktion in einer hinreichend kleinen [mm] $\delta$-Umgebung [/mm] von [mm] $x_0$ [/mm] an. Das [mm] $\delta$ [/mm] darf dabei eine beliebig kleine Zahl $>0$ sein. Das Verhalten der Funktion außerhalb ist egal.

>  Im Übrigen:
>  
> Wenn ich am Ende auf [mm]\delta= \frac{\varepsilon*|x_{0}|^{2}}{1+\varepsilon*|x_{0}|}[/mm]
> komme, ist doch sowieso:
>  
> [mm]|x| = |x_{0} - (x_{0}-x)| \ge |x_{0}| - |x-x_{0}| \ge |x_{0}|-\delta = |x_{0}| - \frac{\varepsilon*|x_{0}|^{2}}{1+\varepsilon*|x_{0}|} = \frac{|x_{0}|}{1+\varepsilon*|x_{0}|} > 0[/mm],
>  
> also dürfte es doch gar keine Probleme geben?

Das ist richtig.  Aber die Methode, mit der du dorthinkommst, funktioniert nur für [mm] $|x_0| [/mm] > |x [mm] -x_0|$. [/mm]

>  
> --------
>
> > Du musst noch die Ausgangsbedingung [mm]\delta <|x_0|[/mm]
> > hinzunehmen, also
>  >  
> > [mm]\delta = \max\(\frac{\varepsilon*|x_{0}|^{2}}{1+\varepsilon*|x_{0}|},x_0\)[/mm]
>  
> Ich verstehe nicht, warum dadurch [mm]\delta[/mm] < [mm]|x_{0}|[/mm]
> gewährleistet ist. Der erste Term im "max" könnte doch
> größer sein?

Sorry, ich wollte min schreiben, nicht max...

>  
> > >  2. Frage: Das scheint mir sehr kompliziert zu sein, für

> > > so eine einfache Funktion wie 1/x. Geht das mit der
> > > [mm]\varepsilon-\delta-Variante[/mm] noch einfacher?
>  >  
> > Ich würde mich von vorneherein auf [mm]\delta < |x_0|/2[/mm]
> > einschränken. Damit ist [mm]|x| > |x_0|/2[/mm] und
>  
> Ich verstehe nicht, wieso ich diese Einschränkung machen
> darf.

Wenn du ein [mm] $\delta$ [/mm] findest, so darfst du immer einen kleineren Wert wählen. Das ist dieselbe Aussage wie oben, dass es nur um das Verhalten in einer beliebig kleinen, aber endlichen [mm] $\delta$-Umgebung [/mm] geht. Angenommen, es wäre für eine [mm] $\delta_1>0$ [/mm]

[mm] |f(x)-f(x_0)| < \varepsilon [/mm] für alle x mit [mm] $|x-x_0|<\delta_1$, [/mm]

dann gilt natürlich für jedes [mm] $\delta_2>0$ [/mm] mit [mm] $\delta_2<\delta_1$, [/mm] dass

[mm] |f(x)-f(x_0)| < \varepsilon [/mm] für alle x mit [mm] $|x-x_0|<\delta_2$. [/mm]

Daher darfst du dich von vorneherein auf eine bestimmte [mm] $\delta$-Umgebung [/mm] beschränken.

> > [mm]\left|f(x)-f(x_{0})\right| = \left|\frac{1}{x}-\frac{1}{x_{0}}\right| = \frac{|x-x_{0}|}{|x|*|x_{0}|} < \bruch{2}{x_0^2} |x-x_{0}| [/mm],
>  
> >  

> > also
>  >  
> > [mm]\delta = \max\left(\bruch{|x_0|}{2}, \bruch{x_0^2}{2} \varepsilon\right) [/mm].

Und hier sollte es natürlich auf min heißen, nicht max!

  Viele Grüße
    Rainer

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