1x1 Matrix partiell stetig? < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:03 Di 12.05.2009 | | Autor: | Newbie89 |
| Aufgabe | | Ist diese Matrix partiell stetig diffbar? |
Guten Tag Leute,
ich habe eine Aufgabe bekommen, die im folgenden so aussieht:
[mm] f(\vec{x},\vec{y}) [/mm] = [mm] \vec{x}^{T} [/mm] A [mm] \vec{y}
[/mm]
Wobei A eine reelle n [mm] \times [/mm] m - Matrix ist.
Meine Feststellung ist, dass egal, was für n- bzw. m-Werte eingesetzt werden, es kommt immer eine 1 [mm] \times [/mm] 1 Matrix heraus.
Aber was hat es für eine Bedeutung hinsichtlich der Stetigkeit, Differenzierbarkeit und partielle Diffbarkeit?
Gruß Fabian
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:20 Di 12.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
ne [mm] 1\times1 [/mm] Matrix ist doch ne Zahl, meinst du das.
kannst du die Aufgabe genauer schreiben?
Gruss leduart
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:22 Di 12.05.2009 | | Autor: | Newbie89 |
Die Aufgabenstellung lautet:
Sei A eine reelle n [mm] \times [/mm] m-Matrix, also A [mm] \in \IR^{n \times m} [/mm] . Betrachten Sie die Abbildung f: [mm] \IR^{n} \to \IR^{m}, [/mm] die durch
[mm] f(\vec{x},\vec{y}) [/mm] = [mm] \vec{x}^{T} [/mm] A [mm] \vec{y} [/mm] definiert wird.
Untersuchen Sie f auf Stetigkeit, (totale) Differenzierbarkeit und partielle Differenzierbarkeit. Ist f stetig partiell differenzierbar?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:18 Di 12.05.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Die Aufgabenstellung lautet:
>
> Sei A eine reelle n [mm]\times[/mm] m-Matrix, also A [mm]\in \IR^{n \times m}[/mm]
> . Betrachten Sie die Abbildung f: [mm]\IR^{n} \to \IR^{m},[/mm] die
> durch
>
> [mm]f(\vec{x},\vec{y})[/mm] = [mm]\vec{x}^{T}[/mm] A [mm]\vec{y}[/mm] definiert wird.
>
> Untersuchen Sie f auf Stetigkeit, (totale)
> Differenzierbarkeit und partielle Differenzierbarkeit. Ist
> f stetig partiell differenzierbar?
da stimmt immer noch etwas nicht. Denn mit
[mm] $$f(\vec{x},\vec{y})=\vec{x}^{T}A \vec{y}$$
[/mm]
sollte [mm] $\vec{x} \in \IR^{n}$ [/mm] und [mm] $\vec{y} \in \IR^m$ [/mm] sein, also wäre [mm] $f\,$ [/mm] eine Abbildung [mm] $$\IR^n \times \IR^m \to \IR\,.$$
[/mm]
Dann könnte natürlich auch $f: [mm] \IR^{n+m} \to \IR$ [/mm] auffassen und sich dann mit der Differenzierbarkeit beschäftigen. Oder geht es um Differenzierbarkeit bzg. [mm] $\vec{x}$?
[/mm]
Was jedenfalls gilt, und das wirst Du sicher bestätigen können:
[mm] $$\vec{x}A\vec{y}=\sum_{j=1}^m \sum_{k=1}^n a_{k,j}x_k y_j\,,$$
[/mm]
wenn [mm] $A=(a_{k,j})_{\substack{k=1,\,\ldots,\,n\\j=1,\,\ldots,\,m}}\,.$
[/mm]
Also: Es ist $f: [mm] \IR^n \times \IR^m \to \IR\,,$ [/mm] und sicher nicht $f: [mm] \IR^n \to \IR^m\,.$
[/mm]
Vll. geht es doch um
$$f: [mm] \IR^n \to \IR^m$$
[/mm]
mit [mm] $f(\vec{x}):=\vec{x}^TA$?
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:22 Di 12.05.2009 | | Autor: | Newbie89 |
da stimmt immer noch etwas nicht. Denn mit
[mm] $$f(\vec{x},\vec{y})=\vec{x}^{T}A \vec{y}$$
[/mm]
sollte [mm] $\vec{x} \in \IR^{n}$ [/mm] und [mm] $\vec{y} \in \IR^m$ [/mm] sein, also wäre [mm] $f\,$ [/mm] eine Abbildung [mm] $$\IR^n \times \IR^m \to \IR\,.$$ [/mm]
Genau das war mein Fehler, habe vergessen und nicht dabei bedacht, dass die Abbildung nach [mm] \IR [/mm] definiert wurde.
Aber wie mache ich das weiter bzgl. der Aufgabenstellung?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:25 Mi 13.05.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> da stimmt immer noch etwas nicht. Denn mit
> [mm]f(\vec{x},\vec{y})=\vec{x}^{T}A \vec{y}[/mm]
> sollte [mm]$\vec{x} \in \IR^{n}$[/mm]
> und [mm]$\vec{y} \in \IR^m$[/mm] sein, also wäre [mm]$f\,$[/mm] eine
> Abbildung [mm]\IR^n \times \IR^m \to \IR\,.[/mm]
>
> Genau das war mein Fehler, habe vergessen und nicht dabei
> bedacht, dass die Abbildung nach [mm]\IR[/mm] definiert wurde.
>
> Aber wie mache ich das weiter bzgl. der Aufgabenstellung?
wenn ich die Aufgabe nicht fehlinterpretiere, so kannst Du
[mm] $$f(x_1,\,\ldots,\,x_n,y_1,\,\ldots,\,y_m)=\vec{x}A\vec{y}=\sum_{j=1}^m \sum_{k=1}^n a_{k,j}x_k y_j\,, [/mm] $$
schreiben und nun vielleicht zunächst die Jacobimatrix von [mm] $f\,$ [/mm] berechnen (was hier speziell der transponierte Gradient von [mm] $f\,$ [/mm] ist).
Gruß,
Marcel
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