2-Form, duale Basis < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Man zeige, dass jede 2-Form [mm] $\omega^2\in\bigwedge^2(V^{\ast})$ [/mm] sich in der Gestalt
[mm] $\omega^2=\sigma_1\wedge\sigma_2+\dotso+\sigma_{2r-1}\wedge\sigma_{2r}$
[/mm]
für eine gewisse Basis [mm] $\sigma_1,\dotso,\sigma_n$ [/mm] von [mm] $V^{\ast}$ [/mm] darstellen lässt.
Weiterhin beweise man, dass die Zahl $r$ von der Wahl der Basis unabhängig ist und durch die Bedingung
[mm] $(\omega^2)^r\neq [/mm] 0, [mm] (\omega^2)^{r+1}=0$
[/mm]
charakterisiert wird. |
Hallo,
ich beschäftige mich derzeit mit dieser Aufgabe und habe dazu ein paar Fragen.
Die 2-Form [mm] $\omega^2$ [/mm] ist eine multilineare, antisymmetrische Abbildung
[mm] $\omega^2:V\times V\to\mathbb{K}$
[/mm]
Wenn man eine beliebige Basis [mm] $e_1,\dotso, e_n$ [/mm] im n-Dimensionalen Vektorraum fixiert, ist eine k-Form [mm] $\omega^k$ [/mm] eindeutig durch ihre Werte auf allen k-Tupeln der Gestalt [mm] $e_{i_1},\dotso, e_{i_k}$ [/mm] mit einem geordnetem k-Indextupel [mm] I=(i_1<\dotso
Was bedeutet das?
Einfach, dass ich eine k-Form als linear Kombination dieser k-Tupel darstellen kann?
Was bedeutet die Schreibweise [mm] $I=(i_1<\dotso< i_k)$ [/mm] einfach, dass die Indizes linear geordnet sind? Warum ist das wichtig. Natürlich muss man die Indizes unterscheiden können, aber hat es einen tieferen Sinn?
Im zweiten Teil der Aufgabe soll ich beweisen, dass r von der Wahl der Basisvektoren unabhängig ist.
r soll dabei die größte Zahl sein, welche [mm] $(\omega^2)^r\neq [/mm] 0$ erfüllt.
Gehe ich recht in der Annahme, dass in diesem Fall r=1 gilt.
Denn [mm] $(\omega^2)^r$ [/mm] soll nicht Null sein. Also nicht die Nullabbildung.
Dies wäre der Fall wenn 2r>2 ist. Also wäre dann r=1.
Damit würde sich dann mein "erstes" Problem der Aufgabe ja nur auf
[mm] $\omega^2=\sigma_1\wedge\sigma_2$ [/mm] beschränken.
Und dabei geht es darum zu zeigen, dass sich die 2-Form als Linearkombination darstellen lässt, oder was wäre hier zu tun?
Vielen Dank im voraus.
mfg
Edit:
Leider scheint es einen Fehler in der Darstellung zu geben, allerdings kann ich diesen Fehler nicht auffinden... :(
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:49 Mi 29.07.2015 | | Autor: | huddel |
Hi implizieteFunktion (cooler Name btw.)
das mit der Darstellung habe ich auch... sau nervig. Aber ich glaube wir beherschen alle genügend latex :D
oder du schiebst es in einen latexeditor
Ich glaube wir fangen ganz vorne an:
Ich denke, dass $ [mm] V^\ast [/mm] $ der Raum aller linearen Abbildungen [mm] $L\colon [/mm] V [mm] \to\mathbb{K}$ [/mm] ist ist klar. Darüber hinaus dürfte auch klar sein, was eine Multilineare Abbildung [mm] $M\colonV\times\dotso \times [/mm] V [mm] \to \mathbb{K}$ [/mm] ist.
Wichtig wäre nun die Frage: Was bedeutet antisymetrisch (auch alternierend)?
ich denke die "Definition" mit [mm] $\forall v^\ast_1,\dotso,v^\ast_k \in V^\ast\cdot$ $\omega= v^\ast_1\wedge\dotso \wedge v^\ast_i\wedge \dotso \wedge v^\ast_j\wedge \dotso \wedge v^\ast_k [/mm] = [mm] -v^\ast_1\wedge\dotso \wedge v^\ast_j\wedge \dotso \wedge v^\ast_i\wedge \dotso \wedge v^\ast_k$ [/mm] dürfte auch geläufig und klar sein.
Was folgt daraus für [mm] $\bar\omega [/mm] = [mm] v^\ast_1\wedge\dotso \wedge v^\ast_i\wedge \dotso \wedge v^\ast_i\wedge \dotso \wedge v^\ast_k$ [/mm] wo zwei indizes die gleichen sind?
damit dürfte dann auch klar sein, warum die Indexmenge geordnet sein muss und keine Indizes zwei mal auftauchen dürfen.
lies die gegebene Aussage zu der eindeutigen Bestimmtheit noch einmal genau durch. Es heißt, dass die k-Form durch IHRE WERTE AUF ALLEN k-Tuppeln...
Das heißt, dass die Ergebnisse, die rauskommen, wenn man alle k-Tuppel "da rein schmeißt" die k-Form eindeutig bestimmen.
Am intuitievsten finde ich lässt es sich dadurch verstehen, dass, wenn du eine Basis [mm] $v_1,\dotso,v_n\in [/mm] V$ von $V$ hast, dass du die Basis von [mm] $\sigma_1,\dotso,\sigma_n$ [/mm] so wählst, dass [mm] $\sigma_i(v_j) [/mm] = [mm] \delta_{ij}$ [/mm] (also das Kronecker-Delta) ist (hier ist noch zu Beweisen, dass das eine Basis bildet).
Das mit dem r hat du richtig erkannt.
Im grunde hast du zu zeigen, dass du immer eine Basis wählen kannst, so dass du mit der vorgegebenen Darstellung eine gewünschte 2-Form darzustellen kannst.
Ich muss sagen, ich finde diese Aufgabe nich besonders Verständnisfördernd. Aber vllt. ist das nur meine Meinung...
Ich hoffe ich habe nun alle Klarheiten Beseitigt :)
LG
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> Was bedeutet antisymetrisch (auch alternierend)?
Einfach gesagt, dass sich für eine Permutation der Vektoren das Vorzeichen wechselt. Bzw, dass man in solchen Fällen das Signum der Permutation bestimmen müsste.
> Was folgt daraus für [...] wo zwei indizes die gleichen sind?
Das es nicht mehr eindeutig ist, weil ich der Permutation kein Vorzeichen mehr zuordnen kann.
Oder einfach nicht definiert. Wenn man sich die Produktdarstellung des Signums ansieht, würde man eine Null im Nenner erhalten.
> damit dürfte dann auch klar sein, warum die Indexmenge geordnet sein muss und keine Indizes zwei mal auftauchen dürfen.
In der Tat.
Aber kann man nicht auch einfach doppelte Indizes ausschließen.
Ich fände das irgendwie leichter einzusehen als eine lineare Ordnung zu fordern.
Hat letzteres einen Vorteil?
Wobei ich natürlich davon ausgehe, dass ich vorherige Frage richtig beantwortet habe.
> lies die gegebene Aussage zu der eindeutigen Bestimmtheit noch einmal genau durch.
Ich bin mir leider immer noch nicht sicher, ob ich es richtig verstehe.
Verstehe ich es richtig, dass die k-Form unter verschiedenen Permutationen der Vektoren auch verschiedene Werte annimmt? Oder ist dieser Wert der k-Form eindeutig?
Edit: Mir fällt gerade auf, dass diese Frage dumm ist. Wegen der antisymmetrie erhält man natürlich unter Permutationen auch verschiedene Werte. Sie unterscheiden sich im Vorzeichen.
Ansonsten sind sie aber bis auf das Vorzeichen eindeutig.
Sind k-Formen eigentlich nichts anderes als die Determinante?
Mit den gewünschten Eigenschaften, also mulilinear und antisymmetrisch sollte [mm] $\omega^k:V^k\to\mathbb{K}$ [/mm] zumindest eine Determinantenfunktion sein.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 So 02.08.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:14 Di 04.08.2015 | | Autor: | huddel |
Sorry, ich bin übers Wochenende selten im Forum unterwegs, daher die verspätete Antwort. Ich hoffe du kannst trotzdem noch etwas damit anfangen:
Wenn zwei Vektoren gleich sind muss die k-Form noch definiert sein, sonst wäre sie nicht mehr auf dem ganzen Raum definiert und somit keine Multilinearform. Machen wir es etwas eindeutiger und fragen:
Was folgt aus $ [mm] \omega^k(v_1,\dotso,v_i,\dotso,v_i,\dotso,v_k)=-\omega^k(v_1,\dotso,v_i,\dotso,v_i,\dotso,v_k) [/mm] $?
Den Trick solltet ihr schon hundert mal angewendet haben :)
Warum doppelte indizes ausschließen nicht ausreicht wird dann denke ich auch klar.
Es gibt keine Dummen fragen. Solang man den Verhalt noch nicht verstanden hat, kann man es nicht wissen und du hast deine Frage sogar selbst beantwortet :)
Zur Determinante: Nah dran
Für die eindeutigkeit der Determinante braucht man 3 Eigenschaften. Die Determinante ist als die eindeutige alternierende, NORMIERTE Multilinearform definiert. Da ist dann wieder ein haufen Zeug zu zeigen, aber das lassen wir jetzt mal :D
Wichtig ist nur, dass die Normiertheit für die Eindeutigkeit notwendig ist.
LG
Marlon
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> Was folgt aus $ [mm] \omega^k(v_1,\dotso,v_i,\dotso,v_i,\dotso,v_k)=-\omega^k(v_1,\dotso,v_i,\dotso,v_i,\dotso,v_k) [/mm] $?
Das $ [mm] \omega^k(v_1,\dotso,v_i,\dotso,v_i,\dotso,v_k)=-\omega^k(v_1,\dotso,v_i,\dotso,v_i,\dotso,v_k)=0 [/mm] $
> Den Trick solltet ihr schon hundert mal angewendet haben :)
Erinnert mich irgendwie an den "Trick" aus der linearen Algebra I, mit der linearen Unabhängigkeit.
Hast du vielleicht ein konkretes Beispiel für eine beliebige k-Form?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:41 Do 06.08.2015 | | Autor: | huddel |
*kram kram kram* da muss ich wieder tief in die Trickkiste greifen :D
Nein geht eigentlich. Hier das absolute standardbeispiel, wo es, wahrscheinlich, auch am meisten genutzt wird:
kurzer Ausflug: sei [mm] $f\colon U\subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ [/mm] differenzierbar, so ist das totale Differential am Punkt [mm] $p\in [/mm] U$ (ich hoffer der Begriff ist halbwegs geläufig) von $f$ eine Abbildung [mm] $d_pf\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ [/mm] (das gilt natürlich auch für beliebige affine Räume und Ihre Richtungsräume, aber wir bleiben mal beim speziellen Fall).
Mit anderen Worten eine Multilineare Abbildung.
Wir nehmen als unser grundraum [mm] $X=\mathbb{R}^n$ [/mm] und wir betrachten die Koordinatenfunktionen [mm] $x_i\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ [/mm] und davon die totalen Ableitungen [mm] $dx_i \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$. [/mm] Was diese nun machen, kannst du mal versuchen selbst raus zu finden. Einfach mal ein Paar Vektoren einsetzen und gucken, was passiert (kleiner Tip: guck dir nochmal meine erste Antwort an, da hab ich die in anderer Weise schon einmal erwähnt) :D
Nun lässt sich jede p-Form auf [mm] $U\subset \mathbb{R}^n$ $\omega \in \Omega^p_{\mathbb{R}^n}(U)$ [/mm] in eindeutiger folgender weiße schreiben:
[mm] $\omega [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^p a_i dx_{i_1}\wedge...\wedge dx_{i_p}$
[/mm]
wobei [mm] $a_i\colon [/mm] U [mm] \to \mathbb{R}$ [/mm] reele Funktionen sind und [mm] $i_1 [/mm] < ... [mm]
Hier muss man sich noch klar machen, dass die p-Form noch von einem Punkt im Raum abhängt, da die [mm] $a_i$s [/mm] ja auch noch was wollen :D
Nun ein wenig konkreter:
Wir nehmen $n=3$ und nennen die [mm] $x_i$ [/mm] etwas um in [mm] $x_1=x, x_2=y, x_3=z$
[/mm]
nun bauen wir uns einfach mal lustig irgendwelche 2- bzw. 3-Formen zusammen:
[mm] $\omega_1 [/mm] := [mm] dx\wedge [/mm] dy$
[mm] $\omega_2 [/mm] := 2dy [mm] \wedge [/mm] 3dx = $?
sei [mm] $f:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$, [/mm] $f(x,y,z) = x [mm] e^{y z}$ [/mm] dann ist
[mm] $\omega_3 [/mm] := fdx [mm] \wedge [/mm] dy$
[mm] $\omega_4 [/mm] := [mm] dx\wedge [/mm] dy + dx [mm] \wedge [/mm] dz$
[mm] $\omega_5 [/mm] := [mm] dx\wedge [/mm] dy [mm] \wedge [/mm] dz$
Jetzt kannst du damit mal etwas rumrechnen und gucken, was so passiert. Um die Anschauung zu fördern ist es interessant sich [mm] $\omega_1$ [/mm] (im [mm] $\mathbb{R}^2$ [/mm] und im [mm] $\mathbb{R}^3$. [/mm] Ja da machen die verschiedene Dinge :P ) und [mm] $\omega_5$ [/mm] genauer an zu schauen und sich klar zu machen, was die genau berechnen.
Oder besser gesagt darfst du mir hier den Zusammenhang zur Determinante noch erklären ;)
Ich hoffe die Beispiele sind ok und fördern das Verständnis noch etwas :)
LG
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Danke für die ausführliche Antwort.
Ich werde mir es näher ansehen und dann deine Fragen so gut es geht beantworten.
Dazu brauch ich aber etwas Zeit. :)
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