2-dim Module < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:25 Mo 02.11.2015 | | Autor: | nobodon |
| Aufgabe | | Sei [mm] V [/mm] ein 2 dimensionaler Vektorraum über irgendeine Körper [mm] K [/mm]. Seien [mm] (\phi_j)_{j \in J} [/mm] K-lineare Abbildungen (von [mm] V [/mm] nach [mm] V [/mm]). Falls es mindestens 5 Untervektorräume gibt, die unter allen [mm] \phi_j [/mm] invariant sind, so ist schon jeder beliebiger Untervektorraum invariant unter allen [mm] \phi_j [/mm]. |
Ich hab keinen wirklichen Ansatz für diese Aufgabe, außer anzunehmen, dass meine 3 von den 5 invariaten Untervektorräume Dimension 1 haben(die anderen zwei sind ganz V und der Nullvektorraum). Nehme ich nun einen beliebigen Untervektorraum [mm] W [/mm] her, mit sagen wir einer Basis [mm] w [/mm], dann musst man irgendwie zeigen:
[mm] \phi_j (w) \in W [/mm], wobei man [mm] w [/mm] als Linearkombination der invarianten Untervektorräume darstellen kann.
Kann mir einer helfen?
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:49 Mo 02.11.2015 | | Autor: | tobit09 |
Hallo nobodon!
Ist euch schon bekannt, dass die Summe der Eigenräume zu den verschiedenen Eigenwerten direkt ist? Oder sind diese Begriffe noch unbekannt?
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:53 Mo 02.11.2015 | | Autor: | nobodon |
könntest du dies etwas erläutern welche eigenwerte? zu welcher matrix?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:03 Mo 02.11.2015 | | Autor: | tobit09 |
Meine Idee war, die Eigenräume der Endomorphismen [mm] $\phi_j$ [/mm] zu betrachten.
Ihr kennt aber nur Eigenwerte und Eigenräume von Matrizen und nicht von Endomorphismen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:25 Mo 02.11.2015 | | Autor: | nobodon |
doch, aber ich weiß nicht wie mich das weiterbringt. Ich weiß jetzt dass die 3 invarianten 1-dim. Unterräume durch [mm] U_1 = <\lambda v> [/mm] gegeben ist (analog [mm]U_2,U_3 [/mm]), wobei [mm] \lambda [/mm] Eigenwert von jeder linearen Abbildung [mm] \phi_j [/mm]
(mit [mm]U_i [/mm] bezeichne ich die 1 dim invarianten Untervektorräume)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:44 Mo 02.11.2015 | | Autor: | tobit09 |
> doch,
Das ist gut (das wollte ich zunächst geklärt wissen, ehe ich mir hier umsonst Arbeit in eine ungeeignete Richtung mache).
Etwas lästig ist, dass gleich eine ganze Familie von Endomorphismen [mm] $\phi_j$ [/mm] gegeben ist.
Überlege dir daher, dass es genügt folgendes zu zeigen:
(*) Für jeden Endomorphismus [mm] $\phi\colon V\to [/mm] V$ eines zweidimensionalen K-Vektorraumes $V$, der mindestens 5 [mm] $\phi$-invariante [/mm] Unterräume hat, sind schon alle Unterräume [mm] $\phi$-invariant.
[/mm]
Meine folgenden Hinweise beziehen sich auf den Nachweis von (*).
> aber ich weiß nicht wie mich das weiterbringt. Ich
> weiß jetzt dass die 3 invarianten 1-dim. Unterräume durch
> [mm]U_1 = <\lambda v> [/mm] gegeben ist (analog [mm]U_2,U_3 [/mm]), wobei
> [mm]\lambda [/mm] Eigenwert von jeder linearen Abbildung [mm]\phi_j [/mm]
>
> (mit [mm]U_i[/mm] bezeichne ich die 1 dim invarianten
> Untervektorräume)
Der Ansatz ist gut.
Überlege dir, dass [mm] $U_i\subseteq V_{\lambda_i}$ [/mm] für gewisse [mm] $\lambda_i\in [/mm] K$ gilt, wobei [mm] $V_{\lambda_i}$ [/mm] den Eigenraum von [mm] $\phi$ [/mm] zum Eigenwert [mm] $\lambda_i$ [/mm] bezeichne.
Dann können [mm] $\lambda_1,\lambda_2$ [/mm] und [mm] $\lambda_3$ [/mm] nicht alle verschieden sein (denn [mm] $\phi$ [/mm] kann maximal [mm] $dim_K(V)=2$ [/mm] Eigenwerte haben).
Sei etwa [mm] $\lambda_1=\lambda_2=:\lambda$.
[/mm]
Folgere aus [mm] $U_1,U_2\subseteq V_{\lambda}$ [/mm] mit einem Dimensionsargument, dass bereits [mm] $V_\lambda=V$ [/mm] gelten muss.
Also gilt [mm] $\phi(v)=\lambda [/mm] v$ für alle [mm] $v\in [/mm] V$.
Folgere daraus, dass jeder Untervektorraum von V [mm] $\phi$-invariant [/mm] ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:06 Mo 02.11.2015 | | Autor: | nobodon |
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> Etwas lästig ist, dass gleich eine ganze Familie von
> Endomorphismen [mm]\phi_j[/mm] gegeben ist.
> Überlege dir daher, dass es genügt folgendes zu zeigen:
>
> (*) Für jeden Endomorphismus [mm]\phi\colon V\to V[/mm] eines
> zweidimensionalen K-Vektorraumes [mm]V[/mm], der mindestens 5
> [mm]\phi[/mm]-invariante Unterräume hat, sind schon alle
> Unterräume [mm]\phi[/mm]-invariant.
>
> Meine folgenden Hinweise beziehen sich auf den Nachweis von
> (*).
>
>
> Überlege dir, dass [mm]U_i\subseteq V_{\lambda_i}[/mm] für gewisse
> [mm]\lambda_i\in K[/mm] gilt, wobei [mm]V_{\lambda_i}[/mm] den Eigenraum von
> [mm]\phi[/mm] zum Eigenwert [mm]\lambda_i[/mm] bezeichne.
>
> Dann können [mm]\lambda_1,\lambda_2[/mm] und [mm]\lambda_3[/mm] nicht alle
> verschieden sein (denn [mm]\phi[/mm] kann maximal [mm]dim_K(V)=2[/mm]
> Eigenwerte haben).
> Sei etwa [mm]\lambda_1=\lambda_2=:\lambda[/mm].
>
> Folgere aus [mm]U_1,U_2\subseteq V_{\lambda}[/mm] mit einem
> Dimensionsargument, dass bereits [mm]V_\lambda=V[/mm] gelten muss.
Da wir insgeheim annhemen dass [mm] U_1,U_2 [/mm] nicht eine Teilmenge vom anderen Untervektorraum ist (keine lineare Abhängigkeit), ist [mm] [/mm] 2 dimensional, daher auch [mm] V_\lambda[/mm]
und somit gleich dem ganzen VR.
> Also gilt [mm]\phi(v)=\lambda v[/mm] für alle [mm]v\in V[/mm].
>
> Folgere daraus, dass jeder Untervektorraum von V
> [mm]\phi[/mm]-invariant ist.
Für einen UnterVR [mm] W [/mm] gilt [mm]\phi(w)=\lambda w[/mm] für alle [mm]w\in W[/mm], aber[mm]\lambda w \in W[/mm].
Okay nun haben wir dass für einen beliebigen Endo [mm]\phi_j[/mm] gezeigt, daher gilt dies für alle Endos.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:30 Mo 02.11.2015 | | Autor: | statler |
Hallo!
> Kann mir einer helfen?
Ich weiß, daß es dämlich (aber logisch korrekt) ist: Die Antwort ist ja.
Jetzt im Ernst: Man hat dir doch schon eine Spur gelegt. Überleg dir, wie ein Endomorphismus eines 1dimensionalen VRs aussieht. Wenn du 3 verschiedene VR hast, ist der Basisvektor des einen eine Linearkombination der beiden anderen Basisvektoren. Und daraus kannst du folgern, wie der Endomorphismus bzw. die zugehörige Matrix aussehen muß.
Gruß aus HH
Dieter
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