2.Ableitung < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:54 So 14.12.2008 | | Autor: | Yujean |
N'abend!
Meine Frage ist, für was dir 2. Ableitung gut ist?
also z.B von
f(x)=x³-6x²
f'(x)=3x²-12x
f''(x)=6x-12
also für was braucht man die 2. Ableitung?
Vielen Dank
Yujean
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:09 So 14.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Yujean!
Mit der 2. Ableitung kann man die Wendestellen von Funktionen bestimmen. Denn die Nullstellen der 2. Ableitung können Wendestellen sein (notwendiges Kriterium).
Zudem verwendet man auch für den Nachweis von Extrema (Minima bzw. Maxima) die 2. Ableitung.
Je nach Vorzeichen dieser 2. Ableitung kann man zeigen, um welche Art Extremum es sich handelt (sogenanntes "hinreichendes Kriterium").
Es gilt ja:
[mm] $$f'(x_0) [/mm] \ = \ 0 \ \ [mm] \text{und} [/mm] \ \ [mm] f''(x_0) [/mm] \ > \ 0 \ \ \ [mm] \Rightarrow [/mm] \ \ \ [mm] x_0 [/mm] \ [mm] \text{ist (relatives) Minimum}$$
[/mm]
[mm] $$f'(x_0) [/mm] \ = \ 0 \ \ [mm] \text{und} [/mm] \ \ [mm] f''(x_0) [/mm] \ < \ 0 \ \ \ [mm] \Rightarrow [/mm] \ \ \ [mm] x_0 [/mm] \ [mm] \text{ist (relatives) Maximum}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:17 So 14.12.2008 | | Autor: | Yujean |
OK!Danke
bei der 2. ableitung ist die Nullstelle doch x=2, aber wenn man sich jetzt den graphen anguckt, dann ist da nicht der Wendepunkt! Der Wendepunkt liegt bei 4!
Kann die 2. Ableitung auch was mit der Steigung zutun haben?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:33 So 14.12.2008 | | Autor: | hase-hh |
moin,
ich vermute du weisst nicht, was ein wendepunkt ist.
ein wendepunkt ist kein extrempunkt.
ein wendepunkt kann man definieren, als den punkt, an dem eine linkskurve in eine rechtskurve übergeht bzw. eine rechtskurve in eine linkskurve.
bei x=4 existiert ein lokales minimum,
bei x=2 existiert ein wendepunkt.
in gewisserweise hat die 2. ableitung auch etwas mit der steigung der funktion zu tun.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:39 So 14.12.2008 | | Autor: | Yujean |
Bei mir hat der Graph einen Berührpunkt(0|0) und eine NUllstelle(6|0) der Wendepunkt liegt bei mir bei (4|-32)!
sehr verwirrend =P
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:54 So 14.12.2008 | | Autor: | Yujean |
also in diesem fall ist dort eine rechtskurve, dann kommt der wendepunkt bei x=2 und dann wird die rechtskurve zu einer linkskurve?
Müsste richtig sein oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:52 So 14.12.2008 | | Autor: | moody |
> also in diesem fall ist dort eine rechtskurve, dann kommt
> der wendepunkt bei x=2 und dann wird die rechtskurve zu
> einer linkskurve?
>
> Müsste richtig sein oder?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Es handelt sich um eine Rechts/Links Wendestelle sagt man.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:49 So 14.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Yujean!
Sieh mal hier ... da sieht man doch deutlich, dass der Wendepunkt bei $W \ [mm] \left( \ 2 \ | \ -16 \ \right)$ [/mm] liegt:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß
Loddar
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:09 So 14.12.2008 | | Autor: | Yujean |
Ok Leute! Danke für eure Hilfe ich habe jetzt verstanden für was die 2.Ableitung gut ist =P
Ich hatte leider vorher noch nie etwas von Wendepunkten gehört! Das war wohl mein Problem!
Also vielen Dank
Yujean
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:21 So 14.12.2008 | | Autor: | Blech |
> also für was braucht man die 2. Ableitung?
Die 1. Ableitung ist die Steigung, d.h. wieviel sich die Funktion ändert, wenn ich einen verschwindend kleinen Schritt nach rechts mache.
Die 2. Ableitung ist die 1. Ableitung der 1. Ableitung, also wieviel sich die Steigung der urspr. Funktion ändert, wenn ich einen kleinen Schritt nach rechts mache.
Man sagt oft, die 1. Ableitung ist die Steigung, die 2. Ableitung ist die Krümmung der Funktion.
Du mußt nur mit dem Begriff "Krümmung" aufpassen, weil es nicht das ist, was man intuitiv wohl erwarten würde. Eine Parabel hat eine konstante 2. Ableitung, obwohl man auf den ersten Blick wohl nicht sagen würde, daß eine Parabel überall gleich gekrümmt ist. Aber bezogen auf die Steigung der Parabel ist sie's:
Gehe ich bei der Normalparabel um 1 nach rechts, ist die Steigung immer um 2 größer.
[mm] ($f(x)=x^2$: [/mm] f'(-1)=-2, f'(0)=0, f'(1)=2, f'(1000)=2000, f'(1001)=2002)
ciao
Stefan
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
