2. & 3. Ableitung-gebr.rat.F < Rationale Funktionen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:05 Mi 16.09.2009 | | Autor: | m4rio |
hallo,
ich meinem letzten Post habe ich mit Hilfestellung die Funktion [mm] \(f(x)= \bruch{2x^3-6x^2+4x-6}{x^2+1}
[/mm]
zu [mm] \(f'(x)= \bruch{2x^4+2x^2+4}{(x^2+1)^2} [/mm] umgeformt.
Es ging darum auf wendepunkte zu überprüfen. Von der Kurvendisskusion mit ganzrationalen Funktionen ist mir bekannt, dass man dafür die 2. & 3. Ableitung benötigt.
läuft es mit meiner ersten Ableitung nun auch nach dem Schema [mm] \bruch{u'v-uv'}{v^2} [/mm] fort, um die nächsten Ableitungen zu bekommen?
mfg
ps # Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo m4rio,
> hallo,
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> ich meinem letzten Post habe ich mit Hilfestellung die
> Funktion [mm]\(f(x)= \bruch{2x^3-6x^2+4x-6}{x^2+1}[/mm]
>
> zu [mm]\(f'(x)= \bruch{2x^4+2x^2+4}{(x^2+1)^2}[/mm] umgeformt.
>
> Es ging darum auf wendepunkte zu überprüfen. Von der
> Kurvendisskusion mit ganzrationalen Funktionen ist mir
> bekannt, dass man dafür die 2. & 3. Ableitung benötigt.
>
>
> läuft es mit meiner ersten Ableitung nun auch nach dem
> Schema [mm]\bruch{u'v-uv'}{v^2}[/mm] fort, um die nächsten
> Ableitungen zu bekommen?
>
Ja.
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> mfg
>
>
> ps # Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:01 Mo 21.09.2009 | | Autor: | m4rio |
okay, weiter muss ich die Klammer der Nennerfunktion denn jetzt erstmal auflösen?
--- > [mm] \(N'(x)=(x^2+1)^2 [/mm] --- [mm] \(N'(x)=x^4+1 [/mm] ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:03 Mo 21.09.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo M4rio!
Nein, auf keinen Fall den Nenner ausmultiplizieren!
Zumal Du es in Deinem Beispiel falsch gerechnet hast. Es gilt i. Allg.:
[mm] $$(a+b)^2 [/mm] \ [mm] \red{\not=} [/mm] \ [mm] a^2+b^2$$
[/mm]
Selbstverständlich müsste man hier eine  binomische Formel anwenden.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:09 Mo 21.09.2009 | | Autor: | m4rio |
oh ja, nächste woche klausur und mir passieren solche patzer... :S
----> [mm] \(N'(x)=x^4+2x^2+1
[/mm]
dann würde ja rauskommen ---> [mm] \(f''(x)= \bruch{4x^5-8x^3-16x+4}{(x^4+2x^2+1)^2}
[/mm]
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Hallo m4rio,
> oh ja, nächste woche klausur und mir passieren solche
> patzer... :S
>
> ----> [mm]\(N'(x)=x^4+2x^2+1[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
>
> dann würde ja rauskommen ---> [mm]\(f''(x)= \bruch{4x^5-8x^3-16x+4}{(x^4+2x^2+1)^2}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Nein, ganz und gar nicht!
Rechne vor, was du gemacht hast, ein stumpfes Ergebnis hilft goar nix bei der Fehlersuche, und man kann dir überhaupt nicht helfen.
Außerdem hatte Loddar dir doch geraten, den Nenner nicht auszumultiplizieren.
Das hat er nicht ohne Grund gemacht, denn wenn du richtig ableitest, kannst du im Verlaufe der Umformungen im Zähler genau den Klammerausdruck im Nenner ausklammern und kürzen.
Der Nenner der 2. Ableitung lautet dann [mm] $(x^2+1)^3$
[/mm]
Pro Ableitung erhöht sich der Exponent wegen dieses wiederkehrenden Kürzungs"tricks" nur um 1
Also nutze den Tipp, er ist sinnvoll und dient als Hilfe.
Aber wenn du es partout nicht annehmen willst, bitte...
Also, wenn du ne Fehlersuche willst, poste deine Rechnung, mit welcher Form des Nenners auch immer ...
>
>
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:01 Mo 21.09.2009 | | Autor: | m4rio |
Pro Ableitung erhöht sich der Exponent wegen dieses wiederkehrenden Kürzungs"tricks" nur um 1
--------> jo, das hilft mir doch schon viel weiter :)
und ich lasse mir gerne helfen, deshalb bin ich hier... ;)
dann mal zu der Aufgabe :
[mm] \(f'(x)= \bruch{2x^4+2x^2+4}{(x^2+1)^2}
[/mm]
dann denke ich mal, wird die zweiter Ableitung so gebildet:
[mm] \(f''(x)= \bruch{(8x^3+4x)(x^2+1)^2-(2x^4+2x^2+4)(x^2+1)^3}{(x^2+1)^3}
[/mm]
....... ?
jetzt könnte man auch die [mm] \((x^2+1)^3 [/mm] wegkürzen :D
aber wie sieht es mit der [mm] \((x^2+1)^2 [/mm] aus... erst mit binomischer Formel auflösen, dann mit der Klammer ausmultiplizieren... oder gibts da noch nen "trick"??
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Hallo nochmal,
bitte Anschlussfragen auch als Fragen stellen, nicht als Mitteilungen!
Dann leuchten sie auch schön rot auf 
> Pro Ableitung erhöht sich der Exponent wegen dieses
> wiederkehrenden Kürzungs"tricks" nur um 1
>
>
> --------> jo, das hilft mir doch schon viel weiter :)
>
> und ich lasse mir gerne helfen, deshalb bin ich hier...
> ;)
Das ist ne gute Einstellung!
>
>
> dann mal zu der Aufgabe :
>
> [mm]\(f'(x)= \bruch{2x^4+2x^2+4}{(x^2+1)^2}[/mm]
>
>
> dann denke ich mal, wird die zweiter Ableitung so
> gebildet:
>
>
> [mm]\(f''(x)= \bruch{(8x^3+4x)(x^2+1)^2-(2x^4+2x^2+4)(x^2+1)^3}{(x^2+1)^3}[/mm]
Fast, du hast im Zähler beim zweiten Summanden was verschustert
Es ist ja nach Quotientenregel zu berechnen
[mm] $\frac{u'\cdot{}v-u\cdot{}v'}{v^2}$ [/mm] mit [mm] $u=u(x)=2x^4+2x^2+4$ [/mm] und [mm] $v=v(x)=(x^2+1)^2
[/mm]
$u'$ hast du richtig berechnet, aber $v'$ musst du gem. Kettenregel ableiten!
[mm] $v'(x)=\underbrace{2\cdot{}(x^2+1)^{2-1}}_{\text{äußere Ableitung}} [/mm] \ [mm] \cdot{} [/mm] \ [mm] \underbrace{2x}_{\text{innere Ableitung}}=4x(x^2+1)$
[/mm]
Damit [mm] $f''(x)=\frac{(8x^3+4x)\cdot{}\blue{(x^2+1)}^2-(2x^4+2x^2+4)\cdot{}4x\cdot{}\blue{(x^2+1)}}{(x^2+1)^4}$
[/mm]
Hier siehst du, was ich oben meinte: der Faktor [mm] $x^2+1$ [/mm] steckt in beiden Summanden des Zählers, den kannst du nun ausklammern und einmal wegballern.
Mache das mal und rechne sorgfältig zuende ...
> ....... ?
>
>
> jetzt könnte man auch die [mm]\((x^2+1)^3[/mm] wegkürzen :D
>
> aber wie sieht es mit der [mm]\((x^2+1)^2[/mm] aus... erst mit
> binomischer Formel auflösen, dann mit der Klammer
> ausmultiplizieren... oder gibts da noch nen "trick"??
>
>
Das gibt ellenlange Ausdrücke, die sich dann im Endeffekt zum selben Term vereinfachen lassen wie bei der "anderen" Rechnung.
Nur wird die Vereinfachung mit Sicherheit schwiereiger zu entdecken sein, also insbesondere der auszuklammernde Faktor im Zähler ...
Du kannst es ja mal versuchen, ich hätte keine gesteigerte Lust, das wird mit Sicherheit nicht besondes angenehm und ist obendrein arg fehleranfällig ...
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:26 Mo 21.09.2009 | | Autor: | m4rio |
Bin heute zu fertig, brauche wenigstens nen bisschen schlaf, nachdem ich englisch fertig habe....
erstmal danke für die Hilfe!
werde morgen weiter dran arbeiten, bis die katze im sack ist!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:16 Mi 23.09.2009 | | Autor: | m4rio |
aaaalso, sehe ich es richtig, dass ich das blaue klomplett wegkürzen kann
--- $ [mm] f''(x)=\frac{(8x^3+4x)\cdot{}\blue{(x^2+1)}^2-(2x^4+2x^2+4)\cdot{}4x\cdot{}\blue{(x^2+1)}}{(x^2+1)^4} [/mm] $
und dann noch [mm] \(f''(x)= \bruch{-8x^5-12x}{x^2+1}
[/mm]
überbehalte???? oder hab ich jetzt zuviel weggekürzt?
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Hallo,
stelle bitte Fragen als Fragen und nicht als Mitteilungen!!
> aaaalso, sehe ich es richtig, dass ich das blaue klomplett
> wegkürzen kann
Nein, im ersten Summanden steht es doch im Quadrat!!
Du kannst es in beiden Summanden jeweils einmal wegballern gegen ein [mm] $x^2+1$ [/mm] im Nenner.
Klammere es aus, wie ich dir empfohlen habe ...
Wenn du das ein paar Male mit Ausklammern gemacht hast, bekommst du einen Blick dafür, wie du es direktemeng richtig aus der Summe rauskürzen kannst ..
>
>
> ---
> [mm]f''(x)=\frac{(8x^3+4x)\cdot{}\blue{(x^2+1)}^2-(2x^4+2x^2+4)\cdot{}4x\cdot{}\blue{(x^2+1)}}{(x^2+1)^4}[/mm]
>
>
> und dann noch [mm]\(f''(x)= \bruch{-8x^5-12x}{x^2+1}[/mm]
>
> überbehalte????
Der Zähler stimmt nicht ganz, der Nenner ist komplett daneben!
Wie kommst du denn von [mm] $(x^2+1)^4$ [/mm] mit einmal kürzen auf [mm] $(x^2+1)=(x^2+1)^1$ [/mm] ??
Ich komme da auf [mm] $(x^2+1)^3$
[/mm]
> oder hab ich jetzt zuviel weggekürzt?
Wenn du deine Rechnungen verheimlichst, wird dir das schwerlich jemand beantworten können ...
Also: neuer Versuch
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:05 Mi 23.09.2009 | | Autor: | m4rio |
nun ja, dann werde ich mal meinen gedanengang aufzeigen:
$ [mm] f''(x)=\frac{(8x^3+4x)\cdot{}\blue{(x^2+1)}^2-(2x^4+2x^2+4)\cdot{}4x\cdot{}\blue{(x^2+1)}}{(x^2+1)^4} [/mm] $
[mm] \(f''(x)= \bruch{(8x^3+4x) (\red{(x^2+1)(x^2+1)}) -(2x^4+2x^2+4)\red{(x^2+1)}}{(x^2+1)\red{(x^2+1)(x^2+1)(x^2+1)}}
[/mm]
hätte gedacht, dass man das gesamte rote wegkürzen kann, so würde im nenner nur noch [mm] \((x^2+1) [/mm] bleiben
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> nun ja, dann werde ich mal meinen gedanengang aufzeigen:
>
>
> [mm]f''(x)=\frac{(8x^3+4x)\cdot{}\blue{(x^2+1)}^2-(2x^4+2x^2+4)\cdot{}4x\cdot{}\blue{(x^2+1)}}{(x^2+1)^4}[/mm]
>
>
>
>
>
> [mm]\(f''(x)= \bruch{(8x^3+4x) (\red{(x^2+1)(x^2+1)}) -(2x^4+2x^2+4)\red{(x^2+1)}}{(x^2+1)\red{(x^2+1)(x^2+1)(x^2+1)}}[/mm]
>
>
> hätte gedacht, dass man das gesamte rote wegkürzen kann,
> so würde im nenner nur noch [mm]\((x^2+1)[/mm] bleiben
aus summen kürzen nur die ..... oder wie ging das sprichwort damals?
bzw wenn man kürzt muss man das schon richtig machen:
[mm] \frac{9-3}{9} [/mm] ist ja gekürzt [mm] \frac{3-1}{3} [/mm] und nicht [mm] \frac{3*3-3}{3*3}=\frac{0-3}{0} [/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:50 Do 24.09.2009 | | Autor: | m4rio |
soooo, wir haben die aufgabe in der schule gerechnet, aber eine Sache verstehe ich noch nicht ganz...
[mm] \(f'(x)= \bruch{2x^4+2x^2+4}{(x^2+1)^2}
[/mm]
jetzt berechne ich [mm] \f''(x) [/mm] und habe:
[mm] \(f''(x)= \bruch{(8x+4x)(x^2+1)-(2x^4+2x^2+4)(2(x^2+1)2x)}{(x^2+1)^4}
[/mm]
wieeso habe ich in der Zählerfunktion jetzt stehen [mm] \((8x+4x)(x^2+1)... [/mm] und nicht [mm] \((8x+4x)(x^2+1)^2...
[/mm]
es heißt doch [mm] \(u'v-uv' [/mm] und in [mm] \(f'(x) [/mm] habe ich doch [mm] (x^2+1)^2 [/mm] im nenner...
Außedem verstehe ich noch nicht ganz, wieso ich im Zähler nicht beide [mm] (x^2+1) [/mm] wegkürzen kann mit der Nennerfunktion [mm] (x^2+1)^4
[/mm]
Sry, wenn ich etwas begriffsstutzig sein sollte, aber ist für mich ziemliches neuland
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Hallo!
> soooo, wir haben die aufgabe in der schule gerechnet, aber
> eine Sache verstehe ich noch nicht ganz...
>
> [mm]\(f'(x)= \bruch{2x^4+2x^2+4}{(x^2+1)^2}[/mm]
>
>
> jetzt berechne ich [mm]\f''(x)[/mm] und habe:
>
> [mm]\(f''(x)= \bruch{(8x+4x)(x^2+1)-(2x^4+2x^2+4)(2(x^2+1)2x)}{(x^2+1)^4}[/mm]
>
>
> wieeso habe ich in der Zählerfunktion jetzt stehen
> [mm]\((8x+4x)(x^2+1)...[/mm] und nicht [mm]\((8x+4x)(x^2+1)^2...[/mm]
Das ist auch oben falsch, der erste Schritt muss (wie in den vorherigen Posts ausgiebig besprochen) so lauten:
$f''(x)= [mm] \bruch{(8x^{\red{3}}+4x)(x^2+1)^{\red{2}}-(2x^4+2x^2+4)(2(x^2+1)2x)}{(x^2+1)^4}$
[/mm]
> es heißt doch [mm]\(u'v-uv'[/mm] und in [mm]\(f'(x)[/mm] habe ich doch
> [mm](x^2+1)^2[/mm] im nenner...
Genau! Vielleicht hast du ja was falsch abgeschrieben, oder dein Lehrer / deine Lehrerin hat sich vertan.
> Außedem verstehe ich noch nicht ganz, wieso ich im Zähler
> nicht beide [mm](x^2+1)[/mm] wegkürzen kann mit der Nennerfunktion
> [mm](x^2+1)^4[/mm]
Ich zeige dir mal den Rechenweg auf:
$f''(x)= [mm] \bruch{(8x^{3}+4x)(x^2+1)^{2}-(2x^4+2x^2+4)(2(x^2+1)2x)}{(x^2+1)^4}$
[/mm]
So, nun klammern wir im Zähler einmal [mm] $(x^2+1)$ [/mm] aus. Dieser Term muss in jedem Summanden des Zählers ausgeklammert werden!
$= [mm] \bruch{\blue{(x^{2}+1)}*\Big((8x^{3}+4x)\blue{(x^2+1)}-(2x^4+2x^2+4)(2*\blue{1}*2x)\Big)}{(x^2+1)^4}$
[/mm]
Siehst du? Das ist eigentlich der gedankliche Zwischenschritt, den man erst machen muss, bevor man mit dem Nenner kürzen darf. Und nun kannst du auch sehen, dass wir nur einmal [mm] (x^{2}+1) [/mm] im Zähler wegkürzen können, weil wir [mm] (x^{2}+1) [/mm] nicht ein zweites Mal in jedem Summanden ausklammern könnten (Hinten ist ja nur noch eine "1" übrig!).
Nun also kürzen:
$= [mm] \bruch{(8x^{3}+4x)*(x^{2}+1)-(2x^4+2x^2+4)*4x}{(x^2+1)^3}$
[/mm]
Und nun noch den Zähler vereinfachen:
$= [mm] \bruch{\Big(8x^{5} + 8x^{3} + 4x^{3} + 4x\Big)-\Big(8x^5+8x^3+16x\Big)}{(x^2+1)^3}$
[/mm]
$= [mm] \bruch{8x^{5} + 8x^{3} + 4x^{3} + 4x-8x^5-8x^3-16x}{(x^2+1)^3}$
[/mm]
$= [mm] \bruch{4x^{3} - 12x}{(x^2+1)^3}$
[/mm]
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:28 Fr 25.09.2009 | | Autor: | m4rio |
ahhhhhh, man muss also jedem Summanden ausklammern könnten, das macht die sache schon logischer!!
du hast recht, den Exponenten bei [mm] \8x^3 [/mm] habe ich vergessen, und den bei [mm] (x^2+1)^2 [/mm] habe ich wohl falsch übernommen...
muss so sein, da ich für die zweite ableitung das selbe Ergebnis habe, wie du!
vielen Dank für die ausführliche Antwort, denke, ich habe das Prinzip jetzt verstanden :D
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