2. Abl mehrdimensionaler Fkt. < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo zusammen,
ich habe eine Frage bezüglich der zweiten Ableitung einer mehrdimensionalen Funktion.
Nehmen wir beispielhaft eine Abbildung f: [mm] \IR^{3} ->\IR^{2}.
[/mm]
Die erste Ableitung gibt die Jacobi-Matrix an, das ist mir klar. Doch wie sieht es bei der zweiten Ableitung aus? Wie funktioniert das technisch?
Vielen Dank für eure Hilfe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:56 Do 16.07.2009 | | Autor: | djmatey |
Hallo 
Die zweite Ableitung ist die Hesse-Matrix. Such am besten mal bei Wikipedia danach, da gibt's eine gute Übersicht!
LG djmatey
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Die Hesse-Matrix ist nach meinem Wissen lediglich die zweite Ableitung einer Funktion, die in den Raum [mm] \IR [/mm] abbildet. Dies hat aber nichts mit einer Funktion zu tun, die in den [mm] \IR^{n}, n\ge2 [/mm] abbildet. Insofern sehe ich die Frage nach wie vor nicht beantwortet.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:21 Do 16.07.2009 | | Autor: | SEcki |
> Die Hesse-Matrix ist nach meinem Wissen lediglich die
> zweite Ableitung einer Funktion, die in den Raum [mm]\IR[/mm]
> abbildet. Dies hat aber nichts mit einer Funktion zu tun,
> die in den [mm]\IR^{n}, n\ge2[/mm] abbildet. Insofern sehe ich die
> Frage nach wie vor nicht beantwortet.
Doch, es hat was zu tun - eine Funktion [m]g=(g_1,\ldots,g_n)[/m], die in den [m]\IR^{n}, n\ge 2[/m] abbildet, ist genau dann diffbar, falls alle Kompoentenfunktionen [m]g_j[/m] diffbar sind. Das heißt aus der Hesse-Matrix, die eine Bilenarform darstellt, für eine Komponetenfunktion erhält man dann n viele Bilinearformen - also insgesamt dann eine Bilinearform mit Werten in [m]\IR^n[/m]. Oder anders: die zweite Ableitung ist die erste Ableitung der Funktion [m]\text{d}g:\IR^m\to Hom(\IR^m,\IR^n)[/m], also eine Abbildung [m]\text{d}^2g:\IR^m\to Hom(\IR^m,Hom(\IR^m,\IR^n))\cong Bil(\IR^m, \IR^m,\IR^n)[/m].
Wozu man das braucht? Ich lass es mal auf halb beantwortet, falls jemand etwas einfaches einfällt.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Sa 18.07.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:04 Do 16.07.2009 | | Autor: | djmatey |
Oh pardon, ich habe das Quadrat im Bild der Funktion übersehen.
Als Entschädigung ein ![[]](/images/popup.gif) Link
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:40 Do 16.07.2009 | | Autor: | Rhinotank |
Ich kann gerade nicht sehen, inwieweit mich das weiter bringt.
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Dann schau nochmal genauer hin - dort wird erklärt, was die "2. Ableitung" alles bedeuten kann und dass du die "Ableitung" als Operator schreiben solltest. Dann kannst du einfach zweimal den Operator "anwenden" und wie bei Feynman so schön geschildert, ist es dieser Vorgang wert, dass man sich ein wenig mehr Gedanken darüber macht. Sorry, dass du hier (bisher) keine schlichte Formel a la Hesse-Matrix bekommen hast - aber vielleicht kommst du ja jetzt selber drauf
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:26 Do 16.07.2009 | | Autor: | Rhinotank |
Mag sein, dass ich mir genau dies erhofft habe. Hatte nicht damit gerechnet, dass die zweite Ableitung eines Vektorfeldes u.a. dem Laplace-Operator entspricht. Ich hatte vermutet, dass man eine neue Matrixform berechnet. Offensichtlich nicht.
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