2. Ableitung < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] f'(x)=(x^4+2x^3-18x^2)/(x^2+x-6)^2
[/mm]
Gesucht f''(x) |
Hi!
Ist mir irgendwie schon peinlich, aber ich schaff es einfach nicht die zweite Ableitung rechnerisch herauszubekommen.
Kenne schon das Ergebnis mit [mm] f''(x)=(2x(108-18x+7x^2))/(x^2+x-6)^3.
[/mm]
Habe es mit der Quotientenregel probiert, komme aber nur auf das Ergebnis [mm] (14x^5-22x^4+888x^3 +432x^2-1296x)/(x^2+x-6)^4, [/mm] das müsste man wahrscheinlich kürzen können, weiß nur "peinlicherweise" nicht mal wie!
Oder gibt es vielleicht eine einfachere Lösung?
Vielen Dank im Voraus!
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Aloha hé Diana und herzlich willkommen auf Vorhilfe.de/Matheraum.de,
naja... etwas wirklich "einfacheres" wird es wohl nicht geben. Besondere Vorsicht beim Ableiten nach Quotientenregel gilt es beim Nenner zu behalten... dieser müsste nach Kettenregel behandelt werden.
Also etwa so:
[tex] f'(x) = (x^{4}+2x^{3}-18x^{2}) / (x^{2}+x-6)^{2} = \bruch{u(x)}{v(x)}[/tex]
Die Ableitung nach Quotientenregel ist:
[tex] f''(x) = \bruch{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v(x)^{2}}[/tex]
Also:
[tex] f''(x) = ((4x^{3}+6x^{2}-36x)*(x^{2}+x-6)^{2} - (x^{4}+2x^{3}-18x^{2})*2*(x^{2}+x-6)(2x+1)) / (x^{2}+x-6)^{4}[/tex]
Du klammerst am besten erstmal 2x aus (dass du das darfst kannste durch scharfes Hinsehen oder mühsames Ausmultiplizieren nachvollziehen):
[tex] f''(x) = (2x)((2x^{2}+3x-18)*(x^{2}+x-6)^{2} - (x^{3}+2x^{2}-18x)*(x^{2}+x-6)(2x+1)) / (x^{2}+x-6)^{4}[/tex]
Als nächstes kannst du [tex] (x^{2}+x-6) [/tex] quasi "ausklammern" und gegen den "hoch 4" - Exponenten deines Nenners "kürzen". Achtung! Du solltest anmerken, dass dieses "Kürzen" nur geht, wenn der Divisor nicht Null ist! (Sprich du müsstest dir anschauen, für welche x [tex] (x^{2}+x-6) [/tex] gerade eine Nullstelle hat... ggf. kommt da sowas wie eine Polstelle oder aber eine stetige Fortsetzbarkeit. Zurück zum Text:
[tex] f''(x) = (2x)(x^{2}+x-6)((2x^{2}+3x-18)*(x^{2}+x-6) - (x^{3}+2x^{2}-18x)*(2x+1)) / (x^{2}+x-6)^{4} = (2x)((2x^{2}+3x-18)*(x^{2}+x-6) - (x^{3}+2x^{2}-18x)*(2x+1)) / (x^{2}+x-6)^{3}[/tex]
Soweit so gut... jetzt nur noch "zusammenfassen":
[tex] f''(x) = (2x)(2x^{4}+2x^{3}-12x^{2}+3x^{3}+3x^{2}-18x-18x^{2}-18x+108-2x^{4}-4x{3}+36x^{2}-x^{3}-2x^{2}+18x) / (x^{2}+x-6)^{3}[/tex]
Also inklusive dem Wegstreichen:
[tex] f''(x) = (2x)(7x^{2}-18x+108) / (x^{2}+x-6)^{3}[/tex]
Namárie,
sagt ein Lary, wo nu ins Bett hoppelt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:57 Fr 11.05.2007 | | Autor: | diana1982 |
WOW!!
Vielen, vielen Dank!!
Ich sags ja, wenn man es dann erklärt bekommt (und noch dazu so ausführlich und zu so später Stunde) sieht es auf einmal total einfach aus! (Was es ja eigentlich auch ist, wenn man es erst einmal verstanden hat...)
Bis bald, buona notte!
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