2. Ableitung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
Ich habe Probleme eine 2. Ableitung einer Finktion herauszubekommen, hab irre lange rumgerechnet bekomme aber nicht die richtige Lösung raus!
die Funktion lautet:
f(x)= [mm] \wurzel{ax^{2}-x^{4}}
[/mm]
die erste Ableitung habe ich rausbekommen,
f'(x)= [mm] \bruch{2ax-4x^{3}}{ 2\wurzel{ax^{2}-x^{4}}}
[/mm]
ich habe sogar die Lösung, aber ich komme mit der Quotientenregel nicht klar! Habe jetzt schon bestimmt 10 Versuche hinter mir, aber schaffe es nicht!
Lösung:
f''(x)= [mm] \bruch{2x^{6}-3ax^{4}}{ \wurzel{ax^{2}-x^{4}}^{3}}
[/mm]
Kann mir einer den Weg dahin erklären, ich schaffe es einfach nicht und morgen schreib ich, wie wohl viele andere auch meine Abi-Klausur!!!
Danke schonma!
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Hi,
also: f'(x) lässt sich noch durch 2 kürzen:
[mm] f'(x)=\bruch{ax-2x^{3}}{\wurzel{ax^{2}-x^{4}}}
[/mm]
In den nächsten Schritten kürze ich die Wurzel aus dem Nenner mit W ab!
f''(x)= [mm] \bruch{(a-6x^{2})*W-(ax-2x^{3})*\bruch{1}{2*W}*(2ax-4x^{3})}{W^{2}}
[/mm]
(Mein Gott: Kannst Du Dir vorstellen, was für eine Mühe mir allein die Eingabe dieser blöden Formel gemacht hat? Kostet Dich mindestens 1 Kasten Kölsch!)
Weiter: Wir kürzen aus dem hinteren Zählerbruch die 2 gegen die 2 aus dem Nenner; wichtiger aber:
ZÄHLER UND NENNER DES VORLIEGENDEN BRUCHES WERDEN MIT W ERWEITERT!!!!.
Dadurch fallen im Zähler beide Wurzeln weg: vor dem Minus wegen der Multiplikation [mm] W*W=ax^{2}-x^{4}, [/mm] hinter dem Minus, weil sich's kürzt.
Leider kommt im Nenner halt noch ein W dazu:
[mm] f''(x)=\bruch{(a-6x^{2})*(ax^{2}-x^{4})-(ax-2x^{3})*(ax-2x^{3})}{W^{3}}.
[/mm]
So: Der Nenner stimmt also schon mal!
Wenn Du nun den Zähler ausmultiplizierst und zusammenfasst, kriegst Du genau das gewünschte Endergebnis!
Übrigens: Merk' Dir den Trick mit der "Wurzelerweiterung"!!
Und das Kölsch trink' ich jetzt schon mal!
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:11 So 06.02.2005 | | Autor: | the_real_o |
Endlich hab ich den Weg! Danke!
Auf die Idee mit der Erweiterung wäre ich nie gekommen!
Das Kölsch hast dir verdient!!!
Danke!
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Hallo,
also irgendwie ist die Lösung zwar richtig, aber da ist noch was Anderes: Diese Lösung gefällt mir nicht!!
Und: Es lohnt sich nur dann, Mathematik zu betreiben, wenn sie auch ästhetisch ist!
(So oder so ähnlich hat es entweder Prof. Bernhard Korte formuliert, Gründer des Mathematik-Museums "ARITHMEUM" in Bonn
oder Prof. Albrecht Beutelspacher, Gründer des "MATHEMATIKUM"s in Gießen.)
Lange Rede kurzer Sinn:
Für x>0 kann man im Nenner von f''(x) den Term [mm] x^{3} [/mm] herausziehen und anschließend kürzen:
f''(x)= [mm] \bruch{2x^{3}-3ax}{\wurzel{a-x^2}^{3}}.
[/mm]
Für x<0 kommt noch ein Minus dazu!
Am Schluss noch was zu den Definitionsmengen:
Die Funktion f hat die Definitionsmenge [mm] [-\wurzel{a} [/mm] ; [mm] +\wurzel{a}]
[/mm]
1. , 2. (und weitere) Ableitungen haben die Defintionsmenge:
[mm] ]-\wurzel{a} [/mm] ; [mm] +\wurzel{a}[ [/mm] \ {0}
mfG!
Zwerglein
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