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Forum "Differenzialrechnung" - 2/3
2/3 < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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2/3: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:50 Mi 05.09.2007
Autor: engel

hallo!

hier soll ich den grenzwert bilden für x--> -unendlich

2x² / (3x²+x-1)

wie kommt man da auf 2/3

ich finde keine aufspaltung o.ä



        
Bezug
2/3: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:02 Mi 05.09.2007
Autor: Somebody


> hallo!
>  
> hier soll ich den grenzwert bilden für x--> -unendlich
>  
> 2x² / (3x²+x-1)
>  
> wie kommt man da auf 2/3

Du kannst Zähler und Nenner durch [mm] $x^2$ [/mm] dividieren )etwas in dieser Art geht bei rationalen Termen immer um den Grenzwert für [mm] $x\rightarrow \infty$ [/mm] herauszuarbeiten):

[mm]\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{2x^2}{3x^2+x-1}=\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{2}{3+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}}=\frac{2}{3}[/mm]

Wobei das letzte Gleichheitszeichen gilt, weil die Limites von Zähler und Nenner existieren und eigentliche reelle Zahlen sind, so dass man Grenzwertbildung und Quotientenbildung vertauschen darf.

>  
> ich finde keine aufspaltung o.ä

Hm, was meinst Du damit? - Du hättest auch eine Polynomdivision durchführen können: ergibt

[mm]\frac{2x^2}{3x^2+x-1}=\red{\frac{2}{3}}\blue{-\frac{\frac{2}{3}x-\frac{2}{3}}{3x^2+x-1}}[/mm]


Der polynomiale Teil, hier [mm] $\red{\frac{2}{3}}$, [/mm] bestimmt bekanntlich in einem solchen Falle das "Verhalten weit aussen", denn der "echt gebrochenrationale Teil", hier [mm] $\blue{-\frac{\frac{2}{3}x-\frac{2}{3}}{3x^2+x-1}}$, [/mm] geht für [mm] $x\rightarrow \pm \infty$ [/mm] gegen $0$.


Bezug
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