2 Ebenen - Geraden < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:40 Do 10.01.2008 | | Autor: | Zuggel |
| Aufgabe | | 2 Ebenen mit der Gleichung: x+y-z+1=0, 2*x-y+z-2=0 haben 2 gleiche Geraden: a)... b)... c) 3x-1=0, x+y-z+1=0 |
Hallo alle miteinander!
Also die Aufgabe ist bereits mit Lösung, und zwar die Lösung c ist richtig, nur der Weg dahin ist mir noch etwas unklar.
Ich habe folgenden Lösungsansatz:
Ich nehme die Normalvektoren der beiden Ebenen:
1) x+y-z+1=0
2) 2x-y+z-2=0
[mm] n_{1}= [/mm] [1,1,-1]
[mm] n_{2}=[2,-1,1]
[/mm]
Das Kreuzprodukt der beiden ergiebt einen senkrechten Vektor, welcher wohl zum. eine der beiden Geraden beinhalten sollte:
[mm] u_{G}=[0,-3,-3]
[/mm]
Jedoch ist dieser Vektor nicht enthalten wie ihr seht. Wahrscheinlich versuche ich es mit dem falschen Lösungs-Ansatz.
Könntet ihr mir hier bitte einen Tipp geben?
Danke im Vorraus
lg
Christian
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:08 Do 10.01.2008 | | Autor: | weduwe |
> 2 Ebenen mit der Gleichung: x+y-z+1=0, 2*x-y+z-2=0 haben 2
> gleiche Geraden: a)... b)... c) 3x-1=0, x+y-z+1=0
> Hallo alle miteinander!
>
> Also die Aufgabe ist bereits mit Lösung, und zwar die
> Lösung c ist richtig, nur der Weg dahin ist mir noch etwas
> unklar.
>
> Ich habe folgenden Lösungsansatz:
>
> Ich nehme die Normalvektoren der beiden Ebenen:
> 1) x+y-z+1=0
> 2) 2x-y+z-2=0
>
> [mm]n_{1}=[/mm] [1,1,-1]
> [mm]n_{2}=[2,-1,1][/mm]
>
> Das Kreuzprodukt der beiden ergiebt einen senkrechten
> Vektor, welcher wohl zum. eine der beiden Geraden
> beinhalten sollte:
> [mm]u_{G}=[0,-3,-3][/mm]
>
> Jedoch ist dieser Vektor nicht enthalten wie ihr seht.
> Wahrscheinlich versuche ich es mit dem falschen
> Lösungs-Ansatz.
> Könntet ihr mir hier bitte einen Tipp geben?
>
> Danke im Vorraus
> lg
> Christian
das stimmt so nicht,
wo sollen denn da geraden sein?
alles was da steht, repräsentiert in R3 ebenen
meinst du die vielleicht die schnittgerade g der beiden ebenen unter c)?
und wie gehts dann weiter?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:35 Do 10.01.2008 | | Autor: | Zuggel |
Tut mir leid, den Text habe ich so übersetzt aus dem Italienischen. Also, gesucht sind die 2 gemeinsamen Geraden der beiden Ebenen! Es stehen 3 zur Auswahlmöglichkeit, a) b) c), ich habe nur c) angegeben, da diese die richtige Lösung ist.
Meine Frage ist nun, wie finde ich heraus, dass die beiden Geraden zu den beiden Ebenen gehören.
Ich dachte mir eben, es seien die Schnittgeraden, aber wie du gesehen hast stimmt das nicht.
Weiters wird nicht spezifiziert wie die Geraden zu den Ebenen stehen sollen, es ist nur gefragt welche Gerade die beiden Ebenen gemeinsam haben.
Ich hoffe ich habe es jetzt klar genug erklärt :)
lg
Chris
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:51 Do 10.01.2008 | | Autor: | weduwe |
na nach langem brüten, denke ich die aufgabe lautet:
welche der 2 ebenen unter a), b) oder c) haben dieselbe schnittgerade wie (1) [mm] E_1 [/mm] und (2) [mm] E_2?
[/mm]
und wenn du (1) und (2) addierst, erhältst du [mm]3x-1=0[/mm]
womit die aufgabe eigentlich erledigt ist.
du kannst natürlich auch die schnittgerade von [mm] E_1 [/mm] und [mm] E_2 [/mm] bilden und in die anderen Ebenen einsetzen.
[mm] \vec{x}=\vektor{\frac{1}{3}\\-\frac{2}{3}\\0}+t\vektor{0\\1\\1}
[/mm]
ciao
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:17 Do 10.01.2008 | | Autor: | Zuggel |
Da hast du Recht - ich habe den Text eh noch erweitert, du solltest mal die italienische Version sehen ;)
Dankesehr
Aber wieso kann ich die beiden Ebenen einfach zusammenzählen? Diese Vorgehensweise ist mir nicht bekannt, könntest du sie mir ganz kurz erläutern!
Danke vielmals!!
lg
Christian
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:27 Do 10.01.2008 | | Autor: | weduwe |
> Da hast du Recht - ich habe den Text eh noch erweitert, du
> solltest mal die italienische Version sehen ;)
>
> Dankesehr
>
> Aber wieso kann ich die beiden Ebenen einfach
> zusammenzählen? Diese Vorgehensweise ist mir nicht bekannt,
> könntest du sie mir ganz kurz erläutern!
>
> Danke vielmals!!
>
> lg
> Christian
gerne
das ist ein übliches verfahren (elimination einer variablen), um die schnittgerade der beiden ebenen zu bestimmen
(1) x+y-z+1=0
(2) 2x-y+z-2=0
(1) + (2) ergibt eben [mm]3x - 1 = 0 \to x=\frac{1}{3}[/mm]
dies in (1) eingesetzt liefert
[mm]\frac{1}{3}+y-z+1=0[/mm]
und mit [mm]z = t [/mm] bekommst du die/ eine parameterform der geraden,
wie ich sie oben hin gemalt habe.
ok?
ja, das würde mich schon interessieren, den o-text zu lesen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:13 Do 10.01.2008 | | Autor: | Zuggel |
Ok - Originaltext:
I due piani x+y-z+1=0, 2x-y+z-2=0 hanno in commune la retta:
a) x=1/3, y=t, z=-2t
b)3x-1=0, 2x+y-z+1=0
c) 3x-1=0, x+y-z+1=0
Also sehr knapp in den Angaben, la retta = die Gerade, commune= gemeinsam, piani = Ebenen
Ich danke dir! Ich hoffe die nächste Prüfung wird glimpflicher ausgehen ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:32 Do 10.01.2008 | | Autor: | weduwe |
> Ok - Originaltext:
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> I due piani x+y-z+1=0, 2x-y+z-2=0 hanno in commune la
> retta:
> a) x=1/3, y=t, z=-2t
> b)3x-1=0, 2x+y-z+1=0
> c) 3x-1=0, x+y-z+1=0
>
> Also sehr knapp in den Angaben, la retta = die Gerade,
> commune= gemeinsam, piani = Ebenen
>
> Ich danke dir! Ich hoffe die nächste Prüfung wird
> glimpflicher ausgehen ;)
>
welche ebenen haben dieselbe schnittgerade wie die 2 ebenen...
so hätte ich es übersetzt, als (ur) alter lateiner
na dann viel spaß beim und bis zum nächsten mal
ciao
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