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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:34 Mo 24.04.2006 | | Autor: | Fire |
| Aufgabe 1 | | [mm] \integral_{}^{}{\bruch{e^{x}+1}{e^{x}-1} dx} [/mm] |
| Aufgabe 2 | | [mm] \integral_{}^{}{\bruch{ \wurzel{4-x^{2}}}{x^{2}} dx} [/mm] |
Ich hab mich in dem anderen Beitrag leider mit den Integralen vertan und die falschen gepostet.
SORRY DAFÜR und trotzdem besten Dank an Roadrunner.
Hier also nun die richtigen.
Wer kann mir dafür einen Lösungsansatz geben?
Danke schonmal
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Hallo Fire!
Auch hier Substitution: $u \ := \ [mm] e^x-1$ $\gdw$ $e^x [/mm] \ = \ u+1$ .
Danach ist dann eine Partialbruchzerlegung erforderlich.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:04 So 30.04.2006 | | Autor: | Fire |
So ich habe jetzt [mm] e^x [/mm] als Substitution genommen.
Das haut auch alles soweit hin, nur bei der Partialbruchzerlegung hab ich einen Blackout.
Ich habe jetzt:
ln(z-1)+ [mm] \integral_{}^{}{ \bruch{1}{z(z-1)} dz}
[/mm]
Ein Kollege sagte mir jetzt, dass das Ergebnis der PBZ [mm] \bruch{1}{z-1} [/mm] - [mm] \bruch{1}{z}
[/mm]
Ich verstehe aber nicht, wo das Minus-Zeichen herrührt.
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Hallo Fire!
Wie kommst Du denn auf den Ausdruck mit dem [mm] $\ln(...)$ [/mm] vor dem Integral? ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Nach der Substitution $z \ := \ [mm] e^x-1$ [/mm] erhalte ich:
[mm] $\integral{\bruch{e^x+1}{e^x-1} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral{\bruch{z+1+1}{z}*\bruch{dz}{e^x}} [/mm] \ = \ \ = \ [mm] \integral{\bruch{z+2}{z}*\bruch{dz}{z+1}} [/mm] \ = \ [mm] \integral{\bruch{z+2}{z*(z+1)} \ dz} [/mm] \ = \ ...$
Nun die Partialbruchzerlegung:
[mm] $\bruch{\red{1}*z+\blue{2}}{z*(z+1)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{A}{z}+\bruch{B}{z+1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{A*(z+1)+B*z}{z*(z+1)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{(\red{A+B})*z+\blue{A}}{z*(z+1)} [/mm] $
Daraus entsteht dann das Gleichungssystem:
[mm] $\red{A+B} [/mm] \ = \ [mm] \red{1}$
[/mm]
[mm] $\blue{A} [/mm] \ = \ [mm] \blue{2}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] $A \ = \ 2$ und $B \ = \ -1$
[mm] $\Rightarrow$ $\bruch{z+2}{z*(z+1)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2}{z}+\bruch{-1}{z+1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2}{z}-\bruch{1}{z+1}$
[/mm]
Nun Integration ...
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:23 Mo 01.05.2006 | | Autor: | Fire |
Ich hab als Substitution halt nur [mm] z=e^x [/mm] angenommen
[mm] \bruch{dz}{dx}=e^x [/mm] dx= [mm] \bruch{1}{e^x}dz [/mm] = [mm] \bruch{1}{z}dz
[/mm]
Das dann eingesetzt:
[mm] \integral_{}^{}{ \bruch{z+1}{z-1} \bruch{1}{z} dz} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{ \bruch{1+\bruch{1}{z}}{z-1} dz } [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{ \bruch{1}{z-1}} [/mm] + [mm] \integral_{}^{}{ \bruch{\bruch{1}{z}}{z-1}} [/mm] = ln(z-1) + [mm] \integral_{}^{}{ \bruch{1}{z(z-1)} dx}
[/mm]
Daher hab ich den ln.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:54 Mo 01.05.2006 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Fire!
Da hast Du Recht, so kann mann es natürlich auch machen.
Allerdings würde ich mit der Partialbruchzerlegung bereits bei [mm] $\bruch{z+1}{z*(z-1)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{A}{z}+\bruch{B}{z-1}$ [/mm] ansetzen.
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:41 Fr 28.04.2006 | | Autor: | Fire |
HM..so wirklich komm ich mit der Partialbruchzerlegung nicht klar. Könnte aber auch an der Uhrzeit liegen ;)
Wenn mir jetzt noch jemand einen Tipp für die zweite Aufgabe geben könnte :)
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Hallo fire,
ich denke, bei der zweiten aufgabe kommst du mit der substitution [mm] $z=\sqrt{4-x^2}$ [/mm] zum Ziel, bzw. zumindest erstmal in die richtige Richtung! Versuch es, wenn Du stecken bleibst, sag bescheid!
VG
Matthias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:47 So 30.04.2006 | | Autor: | Fire |
Mit der Substitution geht es nicht.
Ich habe jetzt x=2sin(u) gesetzt => u=arcsin(x/2), dx=2* [mm] \wurzel{1-( \bruch{x}{2})^2 } [/mm] du.
Wenn ich das nun einsetze erhalte ich:
[mm] \integral_{}^{}{ \bruch{ \wurzel{4-(2sin(u))^2}}{(2sin(u))^2}} [/mm] * 2 [mm] \wurzel{1-( \bruch{2sin(u)}{2})^2} [/mm] du
Quadrate aufgelöst:
[mm] \integral_{}^{}{ \bruch{ \wurzel{4-4sin^2(u)}}{4sin^2(u)}} [/mm] * 2 [mm] \wurzel{1- \bruch{4sin^2(u)}{4}} [/mm] du
Ich kann zwar noch im letzten Term die 4 kürzen, aber dann weiß ich nicht weiter. Hat jemand einen Tipp für mich?
Danke :)
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Hallo Fire!
Um das Differential $dx_$ in $du_$ umzuwandeln, solltest Du hier $x \ = \ x(u)$ nach $u_$ ableiten:
$x \ := \ [mm] 2*\sin(u)$ $\Rightarrow$ [/mm] $x' \ = \ [mm] \bruch{dx}{du} [/mm] \ = \ [mm] 2*\cos(u)$ $\gdw$ [/mm] $dx \ = \ [mm] 2*\cos(u)*du$
[/mm]
Unter der Wurzel dann den trigonometrischen Pythagoras anwenden:
[mm] $\sin^2(u) [/mm] + [mm] \cos^2(u) [/mm] \ = \ 1$ [mm] $\gdw$ $1-\sin^2(u) [/mm] \ = \ [mm] \cos^2(u)$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:11 Mo 01.05.2006 | | Autor: | Fire |
Das hat schonmal soweit geklappt.
Jetzt hab ich nur bei der Rücksubstitution noch ein Problem.
Ich bin jetzt bei
[mm] \integral_{}^{}{ \bruch{cos^2 u}{sin^2 u} du} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{ cot^2 u du} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{ \bruch{1}{sin^2 u} du} [/mm] = -cot u +C
[mm] \Rightarrow [/mm] - [mm] \bruch{cos (u)}{sin (u)} [/mm] Einsetzen von sin u = x/2
- [mm] \bruch{2 cos (u)}{x}
[/mm]
Aber wie Löse ich nun den cosinus auf?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Mi 03.05.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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