2 Konstantheits-Beweise < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:34 Sa 21.07.2012 | | Autor: | Trikolon |
| Aufgabe | a) Es sei f:IR-->IR stetig und es gelte [mm] f(x)=f(x^2) [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] IR. Zeige, dass f konstant ist.
b) Sei L>0 und f:IR-->IR eine diffbare Fkt mit [mm] |f(x)-f(y)| |
a) Hier habe ich leider keine Idee, wie ich das angehen könnte...
b) Ich vermute, es läuft darauf hinaus dass ich zeigen muss, dass f'(x)=0, denn dann ist f ja konstant.
Wenn ich [mm] |f(x)-f(y)|
Danke schonmal für eure Hilfe!
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Hallo,
> a) Es sei f:IR-->IR stetig und es gelte [mm]f(x)=f(x^2)[/mm] für
> alle x [mm]\in[/mm] IR. Zeige, dass f konstant ist.
> b) Sei L>0 und f:IR-->IR eine diffbare Fkt mit
> [mm]|f(x)-f(y)|
> konstant ist.
> a) Hier habe ich leider keine Idee, wie ich das angehen
> könnte...
Zunächst sollte $f$ achsensymmetrisch zur $y$-Achse sein, denn: ....
Eine Idee von mir wäre:
Seien $a,b [mm] \in \IR$ [/mm] mit $f(a) [mm] \not= [/mm] f(b)$.
Evtl. kann man nun ausnutzen (wenn a,b > 0, das muss man noch sauber ausformulieren und begründen, dass man das für a,b annehmen kann), dass [mm] $x_n [/mm] := [mm] a^{(2^{-n})}, y_n [/mm] := [mm] b^{(2^{-n})}$ [/mm] erfüllen:
[mm] $f(x_{n}) [/mm] = [mm] f(x_{n}^2) [/mm] = [mm] f^{x_{n-1}} [/mm] = ... = f(a), [mm] f(y_n) [/mm] = f(b)$ für alle $n [mm] \in \IN$.
[/mm]
Nun gilt ja auch [mm] $x_n \to [/mm] 1, [mm] y_n \to [/mm] 1$. (n-te Wurzeln von Konstanten).
Wieso ist das ein Widerspruch zur Stetigkeit?
> b) Ich vermute, es läuft darauf hinaus dass ich zeigen
> muss, dass f'(x)=0, denn dann ist f ja konstant.
> Wenn ich [mm]|f(x)-f(y)|
> [mm]\bruch{|f(x)-f(y)|}{|x-y|}
> Seite, wenn man noch den Grenzwert x-->y betrachten würde,
> der Differenzenquotient. Hilft das weiter?
Ja, damit hast du es doch schon gelöst.
Sei [mm] $x_0 \in \IR$ [/mm] beliebig, $x [mm] \in \IR$ [/mm] mit [mm] $x\not= x_0$. [/mm] Dann ist nach Voraussetzung
[mm] $\left|\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}\right| \le [/mm] L [mm] \cdot [/mm] |x - [mm] x_0|$.
[/mm]
Da $f$ diffbar existiert
[mm] $f'(x_0) [/mm] = [mm] \lim_{x \to x_0}\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$,
[/mm]
und somit auch
[mm] $|f'(x_0)| [/mm] = [mm] \lim_{x \to x_0}\left|\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}\right| \le \lim_{x\to x_0} [/mm] L [mm] \cdot [/mm] | x - [mm] x_0| [/mm] = 0.$
Daher [mm] $f'(x_0) [/mm] = 0$.
Viele Grüße,
Stefan
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