2 Reihen auf Konvergenz prüfen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:59 Mi 27.08.2008 | | Autor: | tedd |
| Aufgabe | Prüfen Sie folgende Reihen auf Konvergenz:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{2^n}{n}
[/mm]
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{0,9^n}{n} [/mm] |
Hoffentlich habe ich die jetzt richtig gelöst ........
Beide mit dem Wurzelkriterium gelöst:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{\left|a_n\right|}
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{\bruch{2^n}{n}}
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{2}{1}=2>1\to [/mm] Reihe ist divergent
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{\left|a_n\right|}
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{\bruch{0,9^n}{n}}
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{0,9}{1}=\bruch{9}{10}<1 \to [/mm] Reihe ist konvergent.
....
Danke für's drüberschauen und Gruß,
tedd
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Hey!
> Prüfen Sie folgende Reihen auf Konvergenz:
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{2^n}{n}[/mm]
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{0,9^n}{n}[/mm]
> Hoffentlich habe ich die jetzt richtig gelöst ........
>
> Beide mit dem Wurzelkriterium gelöst:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{\left|a_n\right|}[/mm]
>
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{\bruch{2^n}{n}}[/mm]
>
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{2}{1}=2>1\to[/mm] Reihe ist
> divergent
>
>
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Man sieht hier auch mehr oder weniger direkt, dass [mm] $\bruch{2^n}{n} \not= [/mm] 0$ für $n [mm] \to \infty$ [/mm] Das ist natürlich so kein Beweis, aber man weiß dann schonmal, dass die Reihe divergiert.
>
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{\left|a_n\right|}[/mm]
>
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{\bruch{0,9^n}{n}}[/mm]
>
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{0,9}{1}=\bruch{9}{10}<1 \to[/mm]
> Reihe ist konvergent.
>
Stimmt auch!
> ....
>
> Danke für's drüberschauen und Gruß,
> tedd
>
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Kannst ja als weitere Übung nochmal beide Reihen mit dem Quotientenkriterium überprüfen. Das sollte hier recht einfach gehen und die Ergebnisse kennst du ja jetzt schon.
Grüße Patrick
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:17 Mi 27.08.2008 | | Autor: | tedd |
> Kannst ja als weitere Übung nochmal beide Reihen mit dem
> Quotientenkriterium überprüfen. Das sollte hier recht
> einfach gehen und die Ergebnisse kennst du ja jetzt schon.
>
> Grüße Patrick
Jup hab ich schon ;)
Danke für's drüberschauen![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß,
tedd
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:17 Mi 27.08.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Patrick!
> Man sieht hier auch mehr oder weniger direkt, dass
> [mm]\bruch{2^n}{n} \not= 0[/mm] für [mm]n \to \infty[/mm] Das ist natürlich
> so kein Beweis, aber man weiß dann schonmal, dass die Reihe
> divergiert.
Warum soll das kein Beweis sein für die Divergenz? Schließlich ist hier das notwendige Kriterium der Reihenkonvergenz nicht erfüllt.
Daraus folgt dann unmittelbar der Divergenz (wie Du selber schreibst).
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:57 Mi 27.08.2008 | | Autor: | XPatrickX |
Hallo Loddar, das stimmt natürlich. Das mit dem Beweis bezog sich darauf, dass [mm] \frac{2^n}{n} \not\to [/mm] 0 nicht unbedingt direkt einsichtig ist.
LG Patrick
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