2 ableitung nicht hinreichend < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:29 Di 18.02.2014 | | Autor: | tschub |
| Aufgabe | Bestimmen Sie alle lokalen Extremstellen der Funktion
f: R->R , [mm] f(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+1=(x-1)^4
[/mm]
[mm] f'(x)=4x^3-12x^2+12x-4=4(x-1)^3 [/mm] => f'(1)=0
[mm] f''(x)=12(x-1)^2 [/mm] => f''(1)=0 <<< und trotzdem gibts da bei x=1 ein lok Minimum... |
Als Nullstelle der ersten Ableitung kommt x=1 als dreifache Nullstelle heraus. Nach Schulwissen überprüft man dann mit der zweiten Ableitung, ob diese an der Stelle ungleich Null ist. In diesem Fall ist sie aber gleich Null. Grundsätzlich habe ich das so verstanden, dass dann keine Extremstelle vorliegt.Dennoch liegt eine Extremstelle in x=1.
Kann man sich auf die hinreichende Bedingung doch nicht verlassen?...
PS Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:38 Di 18.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie alle lokalen Extremstellen der Funktion
> f: R->R , [mm]f(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+1=(x-1)^4[/mm]
>
> [mm]f'(x)=4x^3-12x^2+12x-4=4(x-1)^3[/mm] => f'(1)=0
>
> [mm]f''(x)=12(x-1)^2[/mm] => f''(1)=0 <<< und trotzdem gibts da
> bei x=1 ein lok Minimum...
> Als Nullstelle der ersten Ableitung kommt x=1 als
> dreifache Nullstelle heraus. Nach Schulwissen überprüft
> man dann mit der zweiten Ableitung, ob diese an der Stelle
> ungleich Null ist. In diesem Fall ist sie aber gleich Null.
> Grundsätzlich habe ich das so verstanden, dass dann keine
> Extremstelle vorliegt.Dennoch liegt eine Extremstelle in
> x=1.
> Kann man sich auf die hinreichende Bedingung doch nicht
> verlassen?...
Das Kriterium lautet so: wenn [mm] f'(x_0)=0 [/mm] und wenn [mm] f''(x_0) \ne [/mm] 0, so hat f in [mm] x_0 [/mm] ein lokales Extremum.
Die Umkehrung ist falsch wie Du oben siehst. Ein einfaches Bsp. wäre auch [mm] f(x)=x^4 [/mm] , [mm] x_0=0.
[/mm]
FRED
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> PS Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
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