2 aufgaben stammfkt < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:55 Sa 14.07.2007 | | Autor: | bjoern.g |
| Aufgabe | also habe noch 2 aufgaben....
[mm] \integral_{a}^{b}{5x^3*e^{2x²} dx}
[/mm]
[mm] \integral_{a}^{b}{ln(x²+1) dx}
[/mm]
jeweils stammfkt finden |
habe das jeweils irgendwie mit partitieller integration versucht aber irgendwie kommt da nur mist raus :(
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:08 Sa 14.07.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Björn!
Beginne hier zunächt mit der Substitution: [mm] $\red{z \ := \ 2x^2}$ $\gdw$ $\blue{x^2 \ = \ \bruch{1}{2}*z}$ [/mm] .
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] $z' \ = \ [mm] \bruch{dz}{dx} [/mm] \ = \ 4x$ [mm] $\gdw$ $\green{dx \ = \ \bruch{dz}{4x}}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ $\integral{5x^3*e^{2x^2} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] 5*\integral{\blue{x^2}*x*e^{\red{2x^2}} \ \green{dx}} [/mm] \ = \ [mm] 5*\integral{\blue{\bruch{1}{2}*z}*x*e^{\red{z}} \ \green{\bruch{dz}{4x}}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{5}{8}*\integral{z*e^z \ dz}$
[/mm]
Und nun weiter mit partieller Integration ...
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:19 Sa 14.07.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Björn!
Partielle Integration ist hier der richtige Weg mit [mm] $\integral{\ln\left(x^2+1\right) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral{\red{1}*\ln\left(x^2+1\right) \ dx}$ [/mm] .
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:30 Sa 14.07.2007 | | Autor: | bjoern.g |
mhhh ok leuchtet ein aber was ergibt denn ln(x²+1) "aufgeleitet"
damit ich die integration fortführen kann
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:33 Sa 14.07.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Björn!
Du brauchst hier [mm] $\ln\left(x^2+1\right)$ [/mm] (noch) nicht integrieren.
Setze $u' \ = \ 1$ sowie $v \ = \ [mm] \ln\left(x^2+1\right)$ [/mm] .
Wie lauten also $u_$ und $v'_$ ?
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:18 Sa 14.07.2007 | | Autor: | bjoern.g |
na dann wärs so
: [mm] ln(x²+1)*x-\integral_{a}^{b}{........ *xdx}
[/mm]
da muss doch dann integriert werden?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:30 Sa 14.07.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
ja da muss noch integriert werden, aber nicht mehr der Logaritmus, weil der sich "weg"ableitet.
Du hast:
u´=1
v=In(1+x²), also:
u=x
[mm] v´=\bruch{2x}{1+x²}
[/mm]
So deine Gleichung ist richtig. Jetzt muss noch was in den Integranden rein, nämlich:uv´, also:
[mm] uv´=x*\bruch{2x}{1+x²}=\bruch{2x²}{1+x²}
[/mm]
Jetzt musst du das integrieren. Der Vorteil ist jetzt, das du keinen Logarithmusmehr drin hast, aber dafür eine rationale Funktion. Die ist aber nicht besonders schwer. Mit Polynomdivision und PBZ kommst du schnell zum Ziel.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:53 Sa 14.07.2007 | | Autor: | bjoern.g |
woher weis ich denn das ln(x²+1) "aufgeleitet" [mm] \bruch{2x}{x²+1} [/mm] ergibt
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:55 Sa 14.07.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Björn!
Du musst um von $v \ = \ [mm] \ln\left(x^2+1\right)$ [/mm] auf [mm] $v\red{'}$ [/mm] zu kommen, den Term ableiten!
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:05 Sa 14.07.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
ich habe abgeleitet und dafür die Kettenregel verwendet.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
HUnd
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:02 So 15.07.2007 | | Autor: | bjoern.g |
habe raus x*ln(x²+1)-ln(x-1)-ln(x+1)+2x
stimmt das so ?
bei den 2x am schluss bin ich mir gar nicht sicher a ber stimmt denn der rest??
danke !
|
|
|
| |
|
Hallo
Nein, Ihr Integral stimmt leider nicht.
Der Anfang, mit x*ln(x²+1) ist richtig.
Dann müssen Sie nur noch, das integral von (2x²)/(x²+1) berechnen, da u=x und v'=(2x)/(x²+1) und somit uv'= (2x²)/(x²+1)
Dies kann man mit Polynomdivision in 2-(2/(x²+1)) zerlegen.
Es bleibt nur noch 2-(2/(x²+1)) zu integrieren und das ist nicht mehr so schwer.
Gruß
Reinhold
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:42 So 15.07.2007 | | Autor: | bjoern.g |
ahso also x*ln(x²+1)-2x-2ln(x²+1)
|
|
|
| |
|
Hallo
Fast richtig!
Das Integral von 1/(x²+1) ist nicht ln(x²+1), sondern arctan(x).
Außerdem ist das Vorzeichen falsch. Es muss ...+arctan(x) lauten
Gruß
Reinhold
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:52 So 15.07.2007 | | Autor: | bjoern.g |
wo ist da die 2 hin`?
|
|
|
| |
|
Hallo
Entschuldigung
Natürlich muss da noch eine "2" zwischen "+" und "arctan(x)"
Ich habe mich nur auf das Integral von 1/(x²+1) und nicht auf das Integral von 2/(x²+1) konzentriert.
Gruß
R. Kleiner
|
|
|
|
