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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:19 Mo 19.10.2009 | | Autor: | den9ts |
| Aufgabe 1 | Beweise: (Hinweis: Es kommt vor allem auf die logisch richtige Notation der einfachen Beweise an.)
a) Ist eine ganze Zahl z durch 2 teilbar, dann ist z² durch 4 teilbar.
kurz: 2|z [mm] \Rightarrow [/mm] 4 | z²
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| Aufgabe 2 | b) Ist eine ganze Zahl z nicht durch 2 teilbar, dann lässt z² bei der Teilung durch 4 den Rest 1
kurz: 2 | z [mm] \Rightarrow z²\equiv [/mm] 1 (4)
-> | heißt nicht-Teiler-von ... gibt hier scheinbar kein durchgestrichenes |
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hi, muss die 2 beweise fuer das mathematik grundstudium darstellen.
hätte gern einen, der sich das ma anguckt und korrigiert bzw. mir hilfe zur richtigen notation gibt.
hatten beweisführungen leider in der schule so gut wie garnicht. (mimimimi)
hab jetzt folgende überlegungen angestellt und bin soweit
zu a)
Behauptung: 2|z [mm] \Rightarrow [/mm] 4 | [mm] z^2
[/mm]
Vorraussetzung: z [mm] \in [/mm] Z; [mm] x_{1}, [/mm] x2 [mm] \in [/mm] R
Beweis: [mm] \bruch{z}{2} [/mm] = [mm] \bruch{x_{1}}{1} \Rightarrow \bruch{z^2}{4}=\bruch{x2}{1}
[/mm]
[mm] 2*x_{1} [/mm] = z [mm] \Rightarrow 4*x2=z^2
[/mm]
z in [mm] x_{1},2: 2*(\bruch{z}{2})=z \Rightarrow 4*(\bruch{z^2}{4})=z^2
[/mm]
[mm] \bruch{z}{2} [/mm] = [mm] \bruch{z}{2} \Rightarrow \bruch{z^2}{4}=\bruch{z^2}{4} \Box
[/mm]
zu b)
Behauptung: 2 | z [mm] \Rightarrow z^2\equiv [/mm] 1 (4)
Vorraussetzung: [mm] z\inZ; x_{1},x2 \inR
[/mm]
Beweis: (gehe an der stelle von der verneinung der behauptung aus,... warum auch immer)
[mm] \bruch{z}{2}=x_{1} \Rightarrow z^2 /\equiv [/mm] 1(4)
[mm] (/\equiv [/mm] soll heißen, dass [mm] z^2 [/mm] bei der teilung durch 4 NICHT den rest 1 ergibt.. gibts das zeichen ueberhaupt durchgestrichen in der mathematik bzw auf der seite hier?)
[mm] \bruch{z}{2}=x_{1}\Rightarrow \bruch{z^2}{4}\not=\bruch{z^2}{4} [/mm] +1
(ist [mm] z^2 /\equiv [/mm] 1(4) das gleiche wie [mm] \bruch{z^2}{4}\not=\bruch{z^2}{4}+1 [/mm] ? )
[mm] \bruch{z}{2}=x_{1}\Rightarrow 0\not=+1
[/mm]
is der beweis a) i.o.?
muss ich nach dem viereck noch irgendwas hinschreiben? - sowas wie q.e.d. oder sogar nen kompletten antwortsatz?
b) is offensichtlich müll, weil ich jetzt aus ner wahren aussage eine weitere wahre aussage folgt und somit die behauptung richtig wär; was sie aber nicht ist
.. stell mir bei der aufgabe aber auch die frage was gemeint ist mit "wenn z nicht durch 2 teilbar ist" ? gehen die dann nur von den lösungen aus die auch [mm] \in [/mm] Z sind? sodass z.b. 2 kein teiler von 5 wär?
- kanns sogar sein, dass das bei a) ebenfalls der fall is'? dann wär der beweis a) auch müll :'D
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo den,
zu a): Bei Teilbarkeit arbeitet man nicht mit Brüchen und schon gar nicht mit Zahlen aus [mm] \IR [/mm] ! Teilbarkeit ist ja definiert, und zwar:
$a | b [mm] \gdw \exists [/mm] k [mm] \in \IZ$ [/mm] $b= ak$
Nun mache weiter, den Beweis bekommst du NUR mit dieser Definition und einem Folgepfeil hin.
Zu b):
Überlege dir, warum aus "2 teilt nicht a" direkt folgt [mm] $\exists k\in\IZ$ [/mm] $a = 2k + 1$ und überlege dir dann, warum [mm] $a^2 \equiv [/mm] 1$ mod $4$ direkt folgt.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:00 Mo 19.10.2009 | | Autor: | den9ts |
zu a)
Behauptung: 2|z [mm] \Rightarrow [/mm] 4 | [mm] z^2
[/mm]
Vorraussetzung: z [mm] \in [/mm] Z; [mm] x_{1}, x_2 \in [/mm] Z
Beweis: [mm] \bruch{z}{2} [/mm] = [mm] x_1 \Rightarrow \bruch{z^2}{4}=x_2
[/mm]
[mm] 2*x_{1} [/mm] = z [mm] \Rightarrow \bruch{(2*x_1)^2}{4}=x_2
[/mm]
[mm] 2*x_{1} [/mm] = z [mm] \Rightarrow x_1^2=x_2 \Rightarrow (\bruch{z}{2})^2 [/mm] = [mm] \bruch{z^2}{4} [/mm] w.A. [mm] \Box
[/mm]
da der beweis zu einer wahren aussage führt, muss die behauptung richtig sein.
ich denke so stimmts.. is die notation zu 100% richtig?
aufgabe b) kommt später
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> zu a)
> Behauptung: 2|z [mm]\Rightarrow[/mm] 4 | [mm]z^2[/mm]
> Vorraussetzung: z [mm]\in[/mm] Z; [mm]x_{1}, x_2 \in[/mm] Z
> Beweis: [mm]\bruch{z}{2}[/mm] = [mm]x_1 \Rightarrow \bruch{z^2}{4}=x_2[/mm]
>
> [mm]2*x_{1}[/mm] = z [mm]\Rightarrow \bruch{(2*x_1)^2}{4}=x_2[/mm]
> [mm]2*x_{1}[/mm] =
> z [mm]\Rightarrow x_1^2=x_2 \Rightarrow (\bruch{z}{2})^2[/mm] =
> [mm]\bruch{z^2}{4}[/mm] w.A. [mm]\Box[/mm]
>
> da der beweis zu einer wahren aussage führt, muss die
> behauptung richtig sein.
Warum fragst du hier dann überhaupt?
>
> ich denke so stimmts.. is die notation zu 100% richtig?
Ich sagte dir eben schon... so würde man es nicht aufschreiben, sondern eher so, wie ich es dir gesagt hab.... da geht das in einer Zeile.
MFG,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:08 Mo 19.10.2009 | | Autor: | den9ts |
danke erstma fuer deinen geposteten ansatz..
und das war der antwortsatz fuer den beweis (frag mich ob die korrekteure den haben wollen?!)... und keine von mir 100%ig sichere aussage, weshalb ich nochma nachgefragt hab..
danke fuer den hinweis dass man das haette kuerzer schreiben koennen >.<
bei b) hab ich jetz folgendes stehen:
behauptung: [mm] 2\nmid [/mm] z [mm] \rightarrow z^2 \equiv [/mm] 1 (4)
vorr.: z [mm] \in [/mm] Z; k [mm] \in [/mm] R
beweis: 2 [mm] \nmid [/mm] z [mm] \rightarrow [/mm] z=2*k+1 [mm] \rightarrow (2*k+1)^2 \equiv [/mm] 1 (4) [mm] \rightarrow 4*k^2 [/mm] + 4*k +1 [mm] \equiv [/mm] 1 (4) [mm] \rightarrow [/mm] ???
komme an der stelle nicht weiter.. habs versucht in die allgemeine quadratische lösungsformel einzusetzen, aber nichts brauchbares erhalten.
mit ausklammern erhalte ich: 2*k*(2k+1) [mm] \equiv [/mm] 1 (4) [mm] \rightarrow [/mm] 2*k*z [mm] \equiv [/mm] 1 (4) [mm] \rightarrow 2*\bruch{z-1}{2}*1*z, [/mm] komme aber auch zu nix brauchbarem irgendwie.. :<
oder muss ich den ganzen beweis per vollst. induktion machen? [mm] O_o
[/mm]
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Hiho,
>
> und das war der antwortsatz fuer den beweis (frag mich ob
> die korrekteure den haben wollen?!)... und keine von mir
> 100%ig sichere aussage, weshalb ich nochma nachgefragt
> hab..
Öhm, als Antwortsatz ist der irgendwie falsch :D
Letztlich steht da ja folgendes:
Es gibt ne Zahl [mm] $x_2 \in \IZ$, [/mm] so dass [mm] $x_2 [/mm] = [mm] \bruch{z^2}{4}$
[/mm]
Umgeformt: [mm] $4x_2 [/mm] = [mm] z^2$ [/mm] und das ist doch gerade die Definition von [mm] $4|z^2$ [/mm] => fertig.
> bei b) hab ich jetz folgendes stehen:
> behauptung: [mm]2\nmid[/mm] z [mm]\rightarrow z^2 \equiv[/mm] 1 (4)
> vorr.: z [mm]\in[/mm] Z; k [mm]\in[/mm] R
> beweis: 2 [mm]\nmid[/mm] z [mm]\rightarrow[/mm] z=2*k+1 [mm]\rightarrow (2*k+1)^2 \equiv[/mm]
> 1 (4) [mm]\rightarrow 4*k^2[/mm] + 4*k +1 [mm]\equiv[/mm] 1 (4) [mm]\rightarrow[/mm]
> ???
>
> komme an der stelle nicht weiter.. habs versucht in die
> allgemeine quadratische lösungsformel einzusetzen, aber
> nichts brauchbares erhalten.
Wieso einsetzen? Du bist da doch fertig, du wolltest doch zeigen [mm] $z^2 \equiv [/mm] 1 (4)$.... genau das steht dort doch.
Du musst nur noch begründen, warum du z als 2k+1 schreiben kannst 
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:11 Mo 19.10.2009 | | Autor: | den9ts |
weil n * 2 = gerade zahl .. und gerade zahl + ungerade zahl = ungerade zahl?!
frag mich nur immernoch warum ich jetzt nicht beweisen soll, dass z² bzw. (2k+1)² durch 2 teilbar is.. !? aber liegt wohl daran dass ich nur beweisen sollte, dass [mm]2\nmid[/mm] z [mm]\rightarrow z^2 \equiv[/mm] 1 (4)
danke, hat mir geholfen beweise zu verstehen, weil im nachhinein war das wohl total billig.....
ciao0
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:54 Mo 19.10.2009 | | Autor: | Blech |
> -> | heißt nicht-Teiler-von ... gibt hier scheinbar kein
> durchgestrichenes |
Aber nur scheinbar =)
[mm] $4\nmid [/mm] z$
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