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Forum "Uni-Analysis" - 2 kleiner gleich p/q + q/p
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2 kleiner gleich p/q + q/p: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:13 Di 13.07.2004
Autor: Frosty

Hallo,

ich bräuchte für eine Aufgabe die Wahrheit folgender Ungleichung:
[mm]2 \le \bruch{p}{q} + \bruch{q}{p},\ p,q \in \IR_{+},\ p \not= q[/mm]
Hoffentlich kann mir hier jemand helfen (wenn die Ungleichung dann mal stimmt).
Grüße
Frosty

        
Bezug
2 kleiner gleich p/q + q/p: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:30 Di 13.07.2004
Autor: Paulus

Hallo Frosty

> Hallo,
>  
> ich bräuchte für eine Aufgabe die Wahrheit folgender
> Ungleichung:
>  [mm]2 \le \bruch{p}{q} + \bruch{q}{p},\ p,q \in \IR_{+},\ p \not= q[/mm]
>  

Da würde ich vorerst mal gleichnamig machen:

$2 [mm] \le \bruch{p^{2}}{pq} [/mm] + [mm] \bruch{q^{2}}{pq}$ [/mm]

Unter der Voraussetzung, dass $p$ und $q > 0$ sind, kann die Ungleichung mit $pq$ multipliziert werden:

$2pq [mm] \le p^{2} [/mm] + [mm] q^{2}$ [/mm]

Dann noch alles auf eine Seite gebracht:

$0 [mm] \le p^{2} [/mm] - 2pq + [mm] q^{2}$ [/mm]

.. und mit der binomischen Formel:

$0 [mm] \le [/mm] (p - [mm] q)^{2}$ [/mm]

Hier steht rechterhand eine Quadratzahl, womit die Ungleichung als "wahr" entlarvt ist.

Mit $p [mm] \not [/mm] = q$ gilt sogar die noch strengere Ungleichung:

$0 < (p - [mm] q)^{2}$ [/mm]

Also sogar $2 < [mm] \bruch{p}{q} [/mm] + [mm] \bruch{q}{p};\, [/mm] p,q [mm] \in \IR_{+},\, [/mm] p [mm] \not= [/mm] q$

Womit dein Problem wohl gelöst ist. :-)


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