2 konv. Teilfolgen => Div. < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:30 Mi 18.07.2012 | | Autor: | Axiom96 |
| Aufgabe | | Die Folge [mm] {a_n} [/mm] besitze zwei Teilfolgen, die gegen verschiedene Grenzwerte konvergieren. Man zeige: [mm] {a_n} [/mm] divergiert. |
Schon wieder ich... Ich denke, eine Argumentation ist mir soweit klar: Die Definition der Teilfolge lautet: Es sei [mm] n_k [/mm] eine streng monoton wachsende Folge natürlicher Zahlen. Dann heißt [mm] a_n_k [/mm] Teilfolge der Folge [mm] a_n. [/mm] Da sich die Folgenglieder von [mm] a_n [/mm] immer weiter an einen Grenzwert a annähern, müssen dies auch alle Folgenglieder aller Teilfolgen von [mm] a_n. [/mm] Da zwei Teilfolgen gegen verschiedene Grenzwerte konvergieren, gibt es mindestens die unendlich vielen Folgenglieder einer Teilfolge, die das nicht tun. So weit so gut. Ich habe nur keine Idee, wie man dies mathematisch exakt ausdrücken kann und benötige leider schon wieder Hilfe.
Ich hoffe nur, ich werde nicht abhängig wegen dieser großártigen Möglichkeit, geholfen zu bekommen :)
Liebe Grüße und Vielen Dank im Vorraus, Axiom
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Huhu,
wie beim anderen Beweis ist das hier nur ein bisschen Rumgespiele mit dem richtigen [mm] \varepsilon [/mm] 
Zur Notation:
Sei [mm] $b_1 \to g_1$ [/mm] die erste Teilfolge, [mm] $b_2 \to g_2$ [/mm] die zweite, es gilt [mm] $g_1 \not= g_2$, [/mm] oBdA [mm] g_1 [/mm] < [mm] g_2$
[/mm]
Nun wieder: Es gibt dann ein [mm] $\varepsilon$, [/mm] so dass [mm] $g_1 [/mm] + [mm] \varepsilon [/mm] < [mm] g_2$
[/mm]
1.) Annahme: [mm] g_1 [/mm] ist der GW => Baue nen Widerspruch
2.) Annahme: [mm] g_2 [/mm] ist der GW => Analog zu 1.)
3.) Annahme: jedes andere [mm] $x\in\IR [/mm] sei GW => Analog zu 1.)
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:47 Do 19.07.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Gono,
> Huhu,
>
> wie beim anderen Beweis ist das hier nur ein bisschen
> Rumgespiele mit dem richtigen [mm]\varepsilon[/mm]
>
> Zur Notation:
>
> Sei [mm]$b_1 \to g_1$[/mm] die erste Teilfolge, [mm]$b_2 \to g_2$[/mm] die
> zweite, es gilt [mm]$g_1 \not= g_2$,[/mm] oBdA [mm]g_1[/mm] < [mm]g_2$[/mm]
man kann auch was anderes, "tolles" machen, und dann nimmt man auch nur [mm] $g_1 \not=g_2$ [/mm] an (was sich dann super schonmal auf metrische Räume übertragen läßt):
Wenn [mm] $a_n \to a\,,$ $b_j=(a_{n^{(j)}_k})_k\equiv:(b^{(j)}_k)_k$ [/mm] ($j=1,2$) dann schätze man ab
[mm] $$|g_1-g_2| \le |g_1-b^{(1)}_k|+|b^{(1)}_k-b^{(2)}_k|+|b^{(2)}_k-g_2|\,.$$
[/mm]
Ist natürlich blöd', dass man beim mittleren Term zeigen muss, dass [mm] $(b^{(1)}_k-b^{(2)}_k)_k$ [/mm] Cauchy ist, was man etwa macht, indem man zeigt, dass auch [mm] $b^{(j)}_k \to [/mm] a$ (bei $k [mm] \to \infty$) [/mm] gilt (womit man eigentlich schon fertig wäre), aber nun gut...
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:58 Do 19.07.2012 | | Autor: | fred97 |
Wäre [mm] (a_n) [/mm] konvergent und a ihr Grenzwert, so würde jede (!) Teilfolge von [mm] (a_n) [/mm] ebenfalls gegen a konvergieren.
$ [mm] (a_n) [/mm] $ besitzt aber zwei Teilfolgen, die gegen verschiedene Grenzwerte konvergieren, somit haben wir einen Widerspruch.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:52 Do 19.07.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fred,
> Wäre [mm](a_n)[/mm] konvergent und a ihr Grenzwert, so würde jede
> (!) Teilfolge von [mm](a_n)[/mm] ebenfalls gegen a konvergieren.
das ist fast nur eine Umformulierung der Aufgabe - daher schreibe ich mal dazu, wie man dies beweisen würde:
Gelte [mm] $a_n \to a\,.$ [/mm] Sei [mm] $(a_{n_k})_k$ [/mm] irgendeine Teilfolge von [mm] $(a_n)_n\,.$ [/mm] Sei [mm] $\epsilon [/mm] > [mm] 0\,.$ [/mm] Wegen [mm] $a_n \to [/mm] a$ existiert zu diesem [mm] $\epsilon [/mm] >0$ ein [mm] $N=N_\epsilon$ [/mm] so, dass [mm] $|a_n-a| [/mm] < [mm] \epsilon$ [/mm] für alle $n [mm] \ge N\,.$ [/mm] Sei $k [mm] \ge N\,.$ [/mm] Dann ist [mm] $n_k \ge n_N \ge [/mm] N$ für alle $k [mm] \ge N\,,$ [/mm] und daher folgt für alle $k [mm] \ge [/mm] N$
[mm] $$|a_{n_k}-a| [/mm] < [mm] \epsilon\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:34 Do 19.07.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Die Folge [mm]{a_n}[/mm] besitze zwei Teilfolgen, die gegen
> verschiedene Grenzwerte konvergieren. Man zeige: [mm]{a_n}[/mm]
> divergiert.
>
> Schon wieder ich... Ich denke, eine Argumentation ist mir
> soweit klar: Die Definition der Teilfolge lautet: Es sei
> [mm]n_k[/mm] eine streng monoton wachsende Folge natürlicher
> Zahlen. Dann heißt [mm]a_n_k[/mm] Teilfolge der Folge [mm]a_n.[/mm] Da sich
> die Folgenglieder von [mm]a_n[/mm] immer weiter an einen Grenzwert a
> annähern, müssen dies auch alle Folgenglieder aller
> Teilfolgen von [mm]a_n.[/mm] Da zwei Teilfolgen gegen verschiedene
> Grenzwerte konvergieren, gibt es mindestens die unendlich
> vielen Folgenglieder einer Teilfolge, die das nicht tun. So
> weit so gut. Ich habe nur keine Idee, wie man dies
> mathematisch exakt ausdrücken kann und benötige leider
> schon wieder Hilfe.
mir ist nicht klar, ob ihr Freds Aussage schon benutzen dürft - eventuell wäre sie zu beweisen. Aber wir können das ganze im Prinzip vollkommen analog dazu machen, wie man Freds Aussage beweisen würde:
Sei [mm] $(a_n)_n$ [/mm] wie oben. Angenommen, es würde [mm] $a_n \to [/mm] a$ mit einem [mm] $a\,$ [/mm] gelten. Sei [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ beliebig, aber fest. Wegen [mm] $a_n \to [/mm] a$ existiert ein [mm] $N=N_\epsilon$ [/mm] so, dass [mm] $|a_n-a| [/mm] < [mm] \epsilon$ [/mm] (oder in einem metrischen Raum [mm] $d(a_n,a) [/mm] < [mm] \epsilon$) [/mm] für alle $n [mm] \ge N\,.$
[/mm]
Seien [mm] $(a_{n^{(1)}_k})_k$ [/mm] und [mm] $(a_{n^{(2)}_k})_k$ [/mm] die Teilfolgen. Dann ist [mm] $(n^{(j)}_k)_k$ [/mm] eine streng wachsende Folge natürlicher Zahlen für [mm] $j=1,2\,.$ [/mm] Was folgt dann für [mm] $n^{(j)}_k\,,$ [/mm] wenn $k [mm] \ge [/mm] N$ ist?
Wie sieht's, für [mm] $j=1,2\,,$ [/mm] mit [mm] $|a_{n^{(j)}_k}-a|$ [/mm] folglich aus, wenn $k [mm] \ge [/mm] N$ ist? Und wenn [mm] $a_{n^{(j)}_k} \to a^{(j)}$ [/mm] bei $k [mm] \to \infty\,,$ [/mm] was folgt dann für [mm] $a^{(j)}$? [/mm] (Erinnerung: Grenzwerte sind, in einem metrischen Raum jedenfalls (etwa [mm] $(\IR,d_{|.|})$ [/mm] oder [mm] $(\IC,d_{|.|})$)) [/mm] eindeutig! Oder Du schätzt [mm] $|a-a^{(j)}|$ [/mm] ab, und kommst dann zu diesem Ergebnis!)
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:33 Fr 10.08.2012 | | Autor: | Axiom96 |
Hallo, ich habe diesen Thread irgendwie vergessen. Ich wollte nochmal fragen, ob meine Lösung jetzt richtig ist, oder ob sich da ein Denkfehler eingeschlichen hat:
Angenommen, [mm] §\{ a_n\}§ [/mm] konvergierte gegen [mm]a[/mm]. Dann existiert zu jedem [mm] §\varepsilon>0§ [/mm] ein [mm] §N_\varepsilon\in \IN§ [/mm] mit [mm] §\left|a_n -a\right|<\varepsilon§ [/mm] für alle [mm] §n>N_\varepsilon§.
[/mm]
Sind [mm] $\{n^{(j)}_k\}$ [/mm] mit [mm] $j\in\{1;2\}$ [/mm] Teilfolgen von [mm] $\{a_n\}$, [/mm] so gilt: [mm] $\IN\ni\{n^{(j)}_k\}\uparrow$. [/mm] Das heißt, [mm] $n^{(j)}_k\le n^{(j)}_{k+1}+1$. [/mm] Für [mm] $n>k\ge N_\varepsilon$ [/mm] folgt also: [mm] ${\left|a_n^{(j)}_k}-a\right|<\varepsilon$. [/mm] Demnach gilt: [mm] $\lim_{n\to\infinity}a_n [/mm] = [mm] \lim{k\to\infinity}a_n^{(1)}_k [/mm] = [mm] \lim{k\to\infinity}a_n^{(2)}_k$.
[/mm]
Ist der Beweis so schlüssig oder fehlt noch etwas, oder sind sogar Fehler eingebaut? Es wäre toll, wenn ich noch eine kurze Rückmeldung bekäme.
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:46 Fr 10.08.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo, ich habe diesen Thread irgendwie vergessen. Ich
> wollte nochmal fragen, ob meine Lösung jetzt richtig ist,
ich sag's vorab: Da sind Patzer drinne - eigentlich sind sie klein, weil mir klar ist, wo sie herkommen. Andererseits aber auch groß, weil dadurch einfach falsches da steht. Ist also ein wenig schwer; das zu beurteilen!
> oder ob sich da ein Denkfehler eingeschlichen hat:
>
> Angenommen, [mm]§\{ a_n\}§[/mm] konvergierte gegen [mm]a[/mm]. Dann
> existiert zu jedem [mm]§\varepsilon>0§[/mm] ein [mm]§N_\varepsilon\in \IN§[/mm]
> mit [mm]§\left|a_n -a\right|<\varepsilon§[/mm] für alle
> [mm]§n>N_\varepsilon§.[/mm]
Rein logisch geht man jetzt besser her und sagt: Sei also [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ ansonsten beliebig, aber fest, und sei [mm] $N_\varepsilon$ [/mm] passend zu oben.
Musst Du aber nicht - aber irgendwie ist's unschön, immer zu schreiben, dass etwas für alle [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ gilt - und etwa deswegen macht man das.
> Sind [mm]\{n^{(j)}_k\}[/mm] mit [mm]j\in\{1;2\}[/mm] Teilfolgen von [mm]\{a_n\}[/mm],
> so gilt: [mm]\IN\ni\{n^{(j)}_k\}\uparrow[/mm].
Hier wird's didaktisch schlecht: Die Notation [mm] $(n^{(j)}_k)_k$ [/mm] läßt doch eher vermuten, dass [mm] $(n^{(j)}_k)_k$ [/mm] eine Teilfolge von [mm] $(n)_{n \in \IN}$ [/mm] ist - und auch das wäre okay, so könnte man auch vorgehen. Auch durch [mm]\IN\ni\{n^{(j)}_k\}\uparrow[/mm] deutest Du eigentlich an, dass die [mm] $(n^{(j)}_k)$ [/mm] die "Indexfolgen der Teilfolgen" sind.
Also notationsmäßig wird's hier unschön. Besser schreibst Du halt, dass [mm] $(a_{n^{(j)}_k})_{k \in \IN}$ [/mm] Teilfolgen von [mm] $(a_n)_{n \in \IN}$ [/mm] sind. Das bedeutet dann insbesondere, dass [mm] $(n^{(j)}_k)_k$ [/mm] eine monoton wachsende Folge natürlicher Zahlen ist.
Also prinzipiell ist's okay: Du kannst Sachen bezeichnen, wie Du willst. Aber bei einer "schlechten" Bezeichnung verliert man schnell mal den Überblick oder kommt durcheinander.
> Das heißt,
> [mm]n^{(j)}_k\le n^{(j)}_{k+1}+1[/mm]
Siehste: Da wird's Quatsch, wenn die [mm] $(n^{(j)}_k)_k$ [/mm] die Teilfolgen von [mm] $(a_n)_n$ [/mm] wären: Du hast doch gar kein Monotonieverhalten von [mm] $(a_n)_n\,.$ [/mm] Und [mm] $(n^{(j)}_k)_k$ [/mm] war aber (für ein $j [mm] \in \{1,2\}$ [/mm] fest) eine Teilfolge von [mm] $(a_n)_n\,$ [/mm] - zumindest steht das so bei Dir.
Also hier haben die [mm] $n^{(j)}_k$ [/mm] nun eine andere Bedeutung als das, was Du oben gesagt hast. Hier hätten sie eine "Index"-Bedeutung. Das wäre dann okay - wenn [mm] $(a_{n^{(j)}_k})_k$ [/mm] eine Teilfolge von [mm] $(a_n)_n$ [/mm] ist, dann weißt Du, dass [mm] $(n^{(j)}_k)_k$ [/mm] eine streng wachsende Folge natürlicher Zahlen ist: [mm] $n^{(j)}_k [/mm] < [mm] n^{(j)}_{k+1}$ [/mm] für alle $k [mm] \in \IN\,.$ [/mm] Daraus folgt natürlich insbesondere [mm] $n^{(j)}_k \ge k\,.$ [/mm] Tipp:
Bevor Du hier mit dem Parameter [mm] $j\,$ [/mm] etc. arbeitest, mach' Dir das ganze mal alles an einem Beispiel klar - was wir immer noch relativ allgemein halten.
Beispiel: Wenn wir annehmen, dass wir eine Folge [mm] $(a_n)_{n \in \IN}$ [/mm] gegeben haben, dann behaupte ich, dass [mm] $(a_{2k})_{k \in \IN}$ [/mm] (was man auch [mm] $(a_{2n})_{n \in \IN}$ [/mm] schreiben könnte - um Dir von vorneherein aber Verwirrungen zu ersparen, schreibe es mit dem [mm] $k\,$) [/mm] eine Teilfolge von [mm] $(a_n)_n$ [/mm] ist. Wie sehen hier die [mm] $n_k$ [/mm] aus?
(Siehste, wo hier die erste Verwirrung in der letzten Frage hätte entstehen können, wenn ich [mm] $(a_{2n})_n$ [/mm] schreibe?)
> . Für [mm]n>k\ge N_\varepsilon[/mm]
> folgt also: [mm]{\left|a_n^{(j)}_k}-a\right|<\varepsilon[/mm].
> Demnach gilt: [mm]\lim_{n\to\infinity}a_n = \lim{k\to\infinity}a_n^{(1)}_k = \lim{k\to\infinity}a_n^{(2)}_k[/mm].
Benutze bitte die Vorschaufunktion des Formeleditor. Wenn man's korrigiert, sieht man, was Du wirklich geschrieben hast
[mm] $$\lim_{n\to\infty}a_n [/mm] = [mm] \lim_{k \to\infty}a_{n^{(1)}_k} [/mm] = [mm] \lim_{k\to\infty}a_{n^{(2)}_k}$$
[/mm]
Das sieht doch wesentlich richtiger aus. Ist Dir eigentlich klar, dass der Beweis hier zu Ende ist (entweder wegen Widerspruch, oder man sagt das, was man eigentlich getan hat: Kontraposition).
> Ist der Beweis so schlüssig oder fehlt noch etwas, oder
> sind sogar Fehler eingebaut? Es wäre toll, wenn ich noch
> eine kurze Rückmeldung bekäme.
Also ich denke ansonsten eigentlich, dass Du das schon korrekt durchdacht hast und es wohl auch passen würde, wenn Du die eine Stelle korrigierst. Das ganze ist wohl eher ein Notationsproblem.
Probierst Du nochmal, dass korrekt aufzuschreiben? Wenn's Dir nicht gelingt, schreibe ich's Dir vielleicht mal auf. Denn Deine Ideen sind soweit auch absolut korrekt und verstanden hast Du's auch, aber das würde man an Deinem Aufschrieb so nicht erkennen, weil Du mal die Teilfolgenglieder mit den Indizes der Teilfolgen durcheinander wirfst. Mir ist aber klar, was Du meinst.
Aber: Du musst das ein wenig trainieren, das ganze richtig aufzuschreiben - wäre schade, wenn einiges im Studium an sowas scheitern würde.
Tipp zur Selbstkontrolle: Übertrage Deinen Aufschrieb am Ende auf ein "Beispiel" und schaue, ob da dann auch wirklich das rauskommt, was Du meinst - also, ob man das am "Kontrollbeispiel" auch so sieht.
Zum Beispiel:
Wenn ich sage, dass [mm] $(a_n)_n$ [/mm] gegeben ist durch [mm] $a_n=n*(-1)^n\,.$ [/mm] Und nun sage ich, dass ich [mm] $(b_n)_n :\equiv(a_{3*k})_k$ [/mm] betrachte - also [mm] $n_k=3*k\,.$
[/mm]
Nehmen wir an, ich hätte im Beweis behauptet, dass [mm] $b_n [/mm] < [mm] b_{n+1}$ [/mm] sei. Was würdest Du sagen? (Ist [mm] $b_2 [/mm] < [mm] b_3$?)
[/mm]
Vielleicht wollte ich aber in Wahrheit nur [mm] $n_k [/mm] < [mm] n_{k+1}$ [/mm] sagen. Und? Was wäre dann vermutlich mein Fehler in der Notation gewesen?
Also: Beweis komplett verstanden und alles richtig durchdacht, würde ich sagen. Notation: Kleiner Mangel, der leider aber große Wirkung (-> große Verwirrung) zur Folge haben könnte.
Daher mein Vorschlag: Bitte das beheben und nochmal probieren. (Die ganzen richtigen Teile kannst Du ja mit copy & paste einfügen.)
Grund: Je mehr man penibel mit sauberer Notation arbeitet, desto weniger verwirrt man andere und desto weniger läßt man sich von anderen verwirren. Denn "Notationswirrwarr" kommt, meiner Erfahrung nach, leider gerade bei vielen sehr schlauen Leuten vor - denn denen ist das dann nicht so wichtig, weil sie ja, weil sie ihre Gedankengänge kennen, wissen, was sie meinen. Wenn man sie drauf hinweist, korrigieren die das auch in sekundenschnelle. Aber für den Rest der Welt ist nicht immer klar, was die meinten, und dann sieht's für viele deswegen falsch aus - was es eigentlich auch ist, weil die Notation halt falsch ist. Ich habe echt immer das Gefühl, dass die Kraft und Macht einer klaren Notation einfach unterschätzt wird - dabei hilft es einem sogar selbst und schult dabei, seine Gedanken zu sortieren.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:46 Sa 11.08.2012 | | Autor: | Axiom96 |
> Hallo,
>
> > Hallo, ich habe diesen Thread irgendwie vergessen. Ich
> > wollte nochmal fragen, ob meine Lösung jetzt richtig ist,
>
> ich sag's vorab: Da sind Patzer drinne - eigentlich sind
> sie klein, weil mir klar ist, wo sie herkommen.
> Andererseits aber auch groß, weil dadurch einfach falsches
> da steht. Ist also ein wenig schwer; das zu beurteilen!
Hallo,
die Patzer sind wohl kaum zu leugnen, allerdings (obwohl ich die Vorschaufunktion sehr großzügig verwende) ist das auch nicht wirklich das, was ich auf dem Papier stehen habe. Ich werde noch einmal eine verbesserte Form nachschicken, dazu Erklärungen zu dem, was ich mir dabei gedacht habe, abgeben und hoffe dann, dass es schon richtiger ist.
>
> > oder ob sich da ein Denkfehler eingeschlichen hat:
> >
> > Angenommen, [mm]§\{ a_n\}§[/mm] konvergierte gegen [mm]a[/mm]. Dann
> > existiert zu jedem [mm]§\varepsilon>0§[/mm] ein [mm]§N_\varepsilon\in \IN§[/mm]
> > mit [mm]§\left|a_n -a\right|<\varepsilon§[/mm] für alle
> > [mm]§n>N_\varepsilon§.[/mm]
>
> Rein logisch geht man jetzt besser her und sagt: Sei also
> [mm]\varepsilon > 0[/mm] ansonsten beliebig, aber fest, und sei
> [mm]N_\varepsilon[/mm] passend zu oben.
>
> Musst Du aber nicht - aber irgendwie ist's unschön, immer
> zu schreiben, dass etwas für alle [mm]\varepsilon > 0[/mm] gilt -
> und etwa deswegen macht man das.
>
> > Sind [mm]\{n^{(j)}_k\}[/mm] mit [mm]j\in\{1;2\}[/mm] Teilfolgen von [mm]\{a_n\}[/mm],
> > so gilt: [mm]\IN\ni\{n^{(j)}_k\}\uparrow[/mm].
>
> Hier wird's didaktisch schlecht: Die Notation [mm](n^{(j)}_k)_k[/mm]
> läßt doch eher vermuten, dass [mm](n^{(j)}_k)_k[/mm] eine
> Teilfolge von [mm](n)_{n \in \IN}[/mm] ist - und auch das wäre
> okay, so könnte man auch vorgehen. Auch durch
> [mm]\IN\ni\{n^{(j)}_k\}\uparrow[/mm] deutest Du eigentlich an, dass
> die [mm](n^{(j)}_k)[/mm] die "Indexfolgen der Teilfolgen" sind.
>
> Also notationsmäßig wird's hier unschön. Besser
> schreibst Du halt, dass [mm](a_{n^{(j)}_k})_{k \in \IN}[/mm]
> Teilfolgen von [mm](a_n)_{n \in \IN}[/mm] sind. Das bedeutet dann
> insbesondere, dass [mm](n^{(j)}_k)_k[/mm] eine monoton wachsende
> Folge natürlicher Zahlen ist.
>
> Also prinzipiell ist's okay: Du kannst Sachen bezeichnen,
> wie Du willst. Aber bei einer "schlechten" Bezeichnung
> verliert man schnell mal den Überblick oder kommt
> durcheinander.
>
> > Das heißt,
> > [mm]n^{(j)}_k\le n^{(j)}_{k+1}+1[/mm]
>
> Siehste: Da wird's Quatsch, wenn die [mm](n^{(j)}_k)_k[/mm] die
> Teilfolgen von [mm](a_n)_n[/mm] wären: Du hast doch gar kein
> Monotonieverhalten von [mm](a_n)_n\,.[/mm] Und [mm](n^{(j)}_k)_k[/mm] war
> aber (für ein [mm]j \in \{1,2\}[/mm] fest) eine Teilfolge von
> [mm](a_n)_n\,[/mm] - zumindest steht das so bei Dir.
>
> Also hier haben die [mm]n^{(j)}_k[/mm] nun eine andere Bedeutung als
> das, was Du oben gesagt hast. Hier hätten sie eine
> "Index"-Bedeutung. Das wäre dann okay - wenn
> [mm](a_{n^{(j)}_k})_k[/mm] eine Teilfolge von [mm](a_n)_n[/mm] ist, dann
> weißt Du, dass [mm](n^{(j)}_k)_k[/mm] eine streng wachsende Folge
> natürlicher Zahlen ist: [mm]n^{(j)}_k < n^{(j)}_{k+1}[/mm] für
> alle [mm]k \in \IN\,.[/mm] Daraus folgt natürlich insbesondere
> [mm]n^{(j)}_k \ge k\,.[/mm] Tipp:
> Bevor Du hier mit dem Parameter [mm]j\,[/mm] etc. arbeitest, mach'
> Dir das ganze mal alles an einem Beispiel klar - was wir
> immer noch relativ allgemein halten.
>
> Beispiel: Wenn wir annehmen, dass wir eine Folge [mm](a_n)_{n \in \IN}[/mm]
> gegeben haben, dann behaupte ich, dass [mm](a_{2k})_{k \in \IN}[/mm]
> (was man auch [mm](a_{2n})_{n \in \IN}[/mm] schreiben könnte - um
> Dir von vorneherein aber Verwirrungen zu ersparen, schreibe
> es mit dem [mm]k\,[/mm]) eine Teilfolge von [mm](a_n)_n[/mm] ist. Wie sehen
> hier die [mm]n_k[/mm] aus?
> (Siehste, wo hier die erste Verwirrung in der letzten
> Frage hätte entstehen können, wenn ich [mm](a_{2n})_n[/mm]
> schreibe?)
>
> > . Für [mm]n>k\ge N_\varepsilon[/mm]
> > folgt also: [mm]{\left|a_n^{(j)}_k}-a\right|<\varepsilon[/mm].
> > Demnach gilt: [mm]\lim_{n\to\infinity}a_n = \lim{k\to\infinity}a_n^{(1)}_k = \lim{k\to\infinity}a_n^{(2)}_k[/mm].
>
> Benutze bitte die Vorschaufunktion des Formeleditor. Wenn
> man's korrigiert, sieht man, was Du wirklich geschrieben
> hast
> [mm]\lim_{n\to\infty}a_n = \lim_{k \to\infty}a_{n^{(1)}_k} = \lim_{k\to\infty}a_{n^{(2)}_k}[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
>
> Das sieht doch wesentlich richtiger aus. Ist Dir eigentlich
> klar, dass der Beweis hier zu Ende ist (entweder wegen
> Widerspruch, oder man sagt das, was man eigentlich getan
> hat: Kontraposition).
>
> > Ist der Beweis so schlüssig oder fehlt noch etwas, oder
> > sind sogar Fehler eingebaut? Es wäre toll, wenn ich noch
> > eine kurze Rückmeldung bekäme.
>
> Also ich denke ansonsten eigentlich, dass Du das schon
> korrekt durchdacht hast und es wohl auch passen würde,
> wenn Du die eine Stelle korrigierst. Das ganze ist wohl
> eher ein Notationsproblem.
>
> Probierst Du nochmal, dass korrekt aufzuschreiben? Wenn's
> Dir nicht gelingt, schreibe ich's Dir vielleicht mal auf.
> Denn Deine Ideen sind soweit auch absolut korrekt und
> verstanden hast Du's auch, aber das würde man an Deinem
> Aufschrieb so nicht erkennen, weil Du mal die
> Teilfolgenglieder mit den Indizes der Teilfolgen
> durcheinander wirfst. Mir ist aber klar, was Du meinst.
Also: noch ein Versuch:
Angenommen, $\{a_n\}$ konvergiert gegen $a$. Dann existiert zu jedem \varepsilon>0 ein $N_\varepsilon \in\IN$ mit $\left[a_n}-a\right|<\varepsilon$ für alle $n>N_\varepsilon$. Bis hierhin ist es nur die Definition für Folgenkonvergenz aus meinem Buch. Da dort Folgen in geschwungenen Klammern angegeben werden und da die Definition dort "für jedes \varepsilon " lautet, würde ich dabei hier auch gerne bleiben. Ich mache mir aber klar, dass dein Vorschlag zur Notation äquivalent ist, nur unter Umständen leichter zu handhaben.
Sind $\{a_{n^{(j)}_k}\}$ mit $j\in\{1,2\}$ Teilfolgen von $\{a_n\}$, so gilt: $\IN\ni\{n^{(j)}_k\}\uparrow$. So habe ich es auf meinem Papier stehen und so ist es auch erst einmal nur eine Folgerung aus der Definition von Teilfolgen, da die Indexfolgen Folgen natürlicher Zahlen und zudem streng monoton wachsend sind. Dann habe ich geschrieben:
$n^{(j)}_k\le{n^(j)_{k+1}}+1$ . Da sowohl $n_k$ als auch $k$ Elemente von $\IN$ sind, wollte ich damit eigentlich zeigen, dass, da gilt: $k_i = i$ mit $i\in\IN$, $k\le{n^{(j)}_k}$ ist. Ob diese Erklärung zu meinem Hintergedanken jetzt verständlich war, weiß ich auch nicht. Daraus wollte ich jetzt jedenfalls folgern:
Für $n^{(j)}_k \ge k > N_\varepsilon$ folgt: $\left|a_n^{(j)}_k - a\right|<\varepsilon$ . Damit gilt nach Definition: $\limes_{n\rightarrow\infty}a_n=\limes_{k\rightarrow\infty}a_n^{(1)}_k=\limes_{k\rightarrow\infty}a_n{(2)}_k$ . Diesmal hoffentlich ohne so gravierende Tippfehler.
>
> Aber: Du musst das ein wenig trainieren, das ganze richtig
> aufzuschreiben - wäre schade, wenn einiges im Studium an
> sowas scheitern würde.
>
> Tipp zur Selbstkontrolle: Übertrage Deinen Aufschrieb am
> Ende auf ein "Beispiel" und schaue, ob da dann auch
> wirklich das rauskommt, was Du meinst - also, ob man das am
> "Kontrollbeispiel" auch so sieht.
>
> Zum Beispiel:
> Wenn ich sage, dass [mm](a_n)_n[/mm] gegeben ist durch
> [mm]a_n=n*(-1)^n\,.[/mm] Und nun sage ich, dass ich [mm](b_n)_n :\equiv(a_{3*k})_k[/mm]
> betrachte - also [mm]n_k=3*k\,.[/mm]
>
> Nehmen wir an, ich hätte im Beweis behauptet, dass [mm]b_n < b_{n+1}[/mm]
> sei. Was würdest Du sagen? (Ist [mm]b_2 < b_3[/mm]?)
>
> Vielleicht wollte ich aber in Wahrheit nur [mm]n_k < n_{k+1}[/mm]
> sagen. Und? Was wäre dann vermutlich mein Fehler in der
> Notation gewesen?
>
> Also: Beweis komplett verstanden und alles richtig
> durchdacht, würde ich sagen. Notation: Kleiner Mangel, der
> leider aber große Wirkung (-> große Verwirrung) zur Folge
> haben könnte.
Komplett verstanden ist leider nicht richtig. Ich war mir nicht wirklich sicher, ob meine Argumentation (auch die nur gedachte und nicht falsch aufgeschriebene) schlüssig sei.
> Daher mein Vorschlag: Bitte das beheben und nochmal
> probieren. (Die ganzen richtigen Teile kannst Du ja mit
> copy & paste einfügen.)
> Grund: Je mehr man penibel mit sauberer Notation arbeitet,
> desto weniger verwirrt man andere und desto weniger läßt
> man sich von anderen verwirren. Denn "Notationswirrwarr"
> kommt, meiner Erfahrung nach, leider gerade bei vielen sehr
> schlauen Leuten vor - denn denen ist das dann nicht so
> wichtig, weil sie ja, weil sie ihre Gedankengänge kennen,
> wissen, was sie meinen. Wenn man sie drauf hinweist,
> korrigieren die das auch in sekundenschnelle. Aber für den
> Rest der Welt ist nicht immer klar, was die meinten, und
> dann sieht's für viele deswegen falsch aus - was es
> eigentlich auch ist, weil die Notation halt falsch ist. Ich
> habe echt immer das Gefühl, dass die Kraft und Macht einer
> klaren Notation einfach unterschätzt wird - dabei hilft es
> einem sogar selbst und schult dabei, seine Gedanken zu
> sortieren.
Die komplett lückenlose Arbeit nach Definitionen ist gerade das, wofür ich Mathematik liebe. Und in diesen einfachen Dingen ist es vielleicht noch intuitiv schlüssig, was gemeint ist, in höherer Mathematik aber nicht mehr. Und solcherlei verhindert leider lückenlose Arbeit nach Definitionen. Deswegen bin ich sehr dankbar, darauf aufmerksam gemacht zu werden. Ich denke, viele Menschen sehen gerade das als den unschönen Teil der Mathematik an, ich aber als den fundamentalen. Deswegen verzage ich einfach mal nicht und über fleißig weiter.
> Gruß,
> Marcel
Ich habe das ganze mal Frage genannt, um nochmal eine Ja oder ein Nein zu hören, mehr steckt aber nicht dahinter.
Viele Grüße
P.S.: Wenn ich nicht [mm] j\in\{1,2\} [/mm] wähle, sonder beliebig, habe ich dann auch schon bewiesen, dass für [mm] a_n \rightarrow [/mm] a auch alle Teilfolgen gegen a gehen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:27 So 12.08.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hallo,
> >
> > > Hallo, ich habe diesen Thread irgendwie vergessen. Ich
> > > wollte nochmal fragen, ob meine Lösung jetzt richtig ist,
> >
> > ich sag's vorab: Da sind Patzer drinne - eigentlich sind
> > sie klein, weil mir klar ist, wo sie herkommen.
> > Andererseits aber auch groß, weil dadurch einfach falsches
> > da steht. Ist also ein wenig schwer; das zu beurteilen!
>
> Hallo,
> die Patzer sind wohl kaum zu leugnen, allerdings (obwohl
> ich die Vorschaufunktion sehr großzügig verwende) ist das
> auch nicht wirklich das, was ich auf dem Papier stehen
> habe. Ich werde noch einmal eine verbesserte Form
> nachschicken, dazu Erklärungen zu dem, was ich mir dabei
> gedacht habe, abgeben und hoffe dann, dass es schon
> richtiger ist.
> >
> > > oder ob sich da ein Denkfehler eingeschlichen hat:
> > >
> > > Angenommen, [mm]§\{ a_n\}§[/mm] konvergierte gegen [mm]a[/mm]. Dann
> > > existiert zu jedem [mm]§\varepsilon>0§[/mm] ein [mm]§N_\varepsilon\in \IN§[/mm]
> > > mit [mm]§\left|a_n -a\right|<\varepsilon§[/mm] für alle
> > > [mm]§n>N_\varepsilon§.[/mm]
> >
> > Rein logisch geht man jetzt besser her und sagt: Sei also
> > [mm]\varepsilon > 0[/mm] ansonsten beliebig, aber fest, und sei
> > [mm]N_\varepsilon[/mm] passend zu oben.
> >
> > Musst Du aber nicht - aber irgendwie ist's unschön, immer
> > zu schreiben, dass etwas für alle [mm]\varepsilon > 0[/mm] gilt -
> > und etwa deswegen macht man das.
> >
> > > Sind [mm]\{n^{(j)}_k\}[/mm] mit [mm]j\in\{1;2\}[/mm] Teilfolgen von [mm]\{a_n\}[/mm],
> > > so gilt: [mm]\IN\ni\{n^{(j)}_k\}\uparrow[/mm].
> >
> > Hier wird's didaktisch schlecht: Die Notation [mm](n^{(j)}_k)_k[/mm]
> > läßt doch eher vermuten, dass [mm](n^{(j)}_k)_k[/mm] eine
> > Teilfolge von [mm](n)_{n \in \IN}[/mm] ist - und auch das wäre
> > okay, so könnte man auch vorgehen. Auch durch
> > [mm]\IN\ni\{n^{(j)}_k\}\uparrow[/mm] deutest Du eigentlich an, dass
> > die [mm](n^{(j)}_k)[/mm] die "Indexfolgen der Teilfolgen" sind.
> >
> > Also notationsmäßig wird's hier unschön. Besser
> > schreibst Du halt, dass [mm](a_{n^{(j)}_k})_{k \in \IN}[/mm]
> > Teilfolgen von [mm](a_n)_{n \in \IN}[/mm] sind. Das bedeutet dann
> > insbesondere, dass [mm](n^{(j)}_k)_k[/mm] eine monoton wachsende
> > Folge natürlicher Zahlen ist.
> >
> > Also prinzipiell ist's okay: Du kannst Sachen bezeichnen,
> > wie Du willst. Aber bei einer "schlechten" Bezeichnung
> > verliert man schnell mal den Überblick oder kommt
> > durcheinander.
> >
> > > Das heißt,
> > > [mm]n^{(j)}_k\le n^{(j)}_{k+1}+1[/mm]
> >
> > Siehste: Da wird's Quatsch, wenn die [mm](n^{(j)}_k)_k[/mm] die
> > Teilfolgen von [mm](a_n)_n[/mm] wären: Du hast doch gar kein
> > Monotonieverhalten von [mm](a_n)_n\,.[/mm] Und [mm](n^{(j)}_k)_k[/mm] war
> > aber (für ein [mm]j \in \{1,2\}[/mm] fest) eine Teilfolge von
> > [mm](a_n)_n\,[/mm] - zumindest steht das so bei Dir.
> >
> > Also hier haben die [mm]n^{(j)}_k[/mm] nun eine andere Bedeutung als
> > das, was Du oben gesagt hast. Hier hätten sie eine
> > "Index"-Bedeutung. Das wäre dann okay - wenn
> > [mm](a_{n^{(j)}_k})_k[/mm] eine Teilfolge von [mm](a_n)_n[/mm] ist, dann
> > weißt Du, dass [mm](n^{(j)}_k)_k[/mm] eine streng wachsende Folge
> > natürlicher Zahlen ist: [mm]n^{(j)}_k < n^{(j)}_{k+1}[/mm] für
> > alle [mm]k \in \IN\,.[/mm] Daraus folgt natürlich insbesondere
> > [mm]n^{(j)}_k \ge k\,.[/mm] Tipp:
> > Bevor Du hier mit dem Parameter [mm]j\,[/mm] etc. arbeitest,
> mach'
> > Dir das ganze mal alles an einem Beispiel klar - was wir
> > immer noch relativ allgemein halten.
> >
> > Beispiel: Wenn wir annehmen, dass wir eine Folge [mm](a_n)_{n \in \IN}[/mm]
> > gegeben haben, dann behaupte ich, dass [mm](a_{2k})_{k \in \IN}[/mm]
> > (was man auch [mm](a_{2n})_{n \in \IN}[/mm] schreiben könnte - um
> > Dir von vorneherein aber Verwirrungen zu ersparen, schreibe
> > es mit dem [mm]k\,[/mm]) eine Teilfolge von [mm](a_n)_n[/mm] ist. Wie sehen
> > hier die [mm]n_k[/mm] aus?
> > (Siehste, wo hier die erste Verwirrung in der letzten
> > Frage hätte entstehen können, wenn ich [mm](a_{2n})_n[/mm]
> > schreibe?)
> >
> > > . Für [mm]n>k\ge N_\varepsilon[/mm]
> > > folgt also: [mm]{\left|a_n^{(j)}_k}-a\right|<\varepsilon[/mm].
> > > Demnach gilt: [mm]\lim_{n\to\infinity}a_n = \lim{k\to\infinity}a_n^{(1)}_k = \lim{k\to\infinity}a_n^{(2)}_k[/mm].
>
> >
> > Benutze bitte die Vorschaufunktion des Formeleditor. Wenn
> > man's korrigiert, sieht man, was Du wirklich geschrieben
> > hast
> > [mm]\lim_{n\to\infty}a_n = \lim_{k \to\infty}a_{n^{(1)}_k} = \lim_{k\to\infty}a_{n^{(2)}_k}[/mm]
>
> >
> >
> > Das sieht doch wesentlich richtiger aus. Ist Dir eigentlich
> > klar, dass der Beweis hier zu Ende ist (entweder wegen
> > Widerspruch, oder man sagt das, was man eigentlich getan
> > hat: Kontraposition).
> >
> > > Ist der Beweis so schlüssig oder fehlt noch etwas, oder
> > > sind sogar Fehler eingebaut? Es wäre toll, wenn ich noch
> > > eine kurze Rückmeldung bekäme.
> >
> > Also ich denke ansonsten eigentlich, dass Du das schon
> > korrekt durchdacht hast und es wohl auch passen würde,
> > wenn Du die eine Stelle korrigierst. Das ganze ist wohl
> > eher ein Notationsproblem.
> >
> > Probierst Du nochmal, dass korrekt aufzuschreiben? Wenn's
> > Dir nicht gelingt, schreibe ich's Dir vielleicht mal auf.
> > Denn Deine Ideen sind soweit auch absolut korrekt und
> > verstanden hast Du's auch, aber das würde man an Deinem
> > Aufschrieb so nicht erkennen, weil Du mal die
> > Teilfolgenglieder mit den Indizes der Teilfolgen
> > durcheinander wirfst. Mir ist aber klar, was Du meinst.
>
> Also: noch ein Versuch:
>
> Angenommen, [mm]\{a_n\}[/mm] konvergiert gegen [mm]a[/mm]. Dann existiert zu
> jedem [mm]\varepsilon>0[/mm] ein [mm]N_\varepsilon \in\IN[/mm] mit
> [mm]\left[a_n}-a\right|<\varepsilon[/mm] für alle [mm]n>N_\varepsilon[/mm].
> Bis hierhin ist es nur die Definition für Folgenkonvergenz
> aus meinem Buch. Da dort Folgen in geschwungenen Klammern
> angegeben werden und da die Definition dort "für jedes
> [mm]\varepsilon[/mm] " lautet,
unterschlage nicht, dass die Definition "für jedes [mm] $\varepsilon \red{\mathbf{\;> 0}}$" [/mm] beinhaltet. Für jedes [mm] $\varepsilon$ [/mm] wäre falsch, denn damit meinte man jedes [mm] $\varepsilon \in \IR\,,$ [/mm] und schon für [mm] $\varepsilon=0$ [/mm] würde das irgendwie sinnlos werden. Vielleicht steht in deinem Buch das auch in Worten: Etwa "Für jedes positive [mm] $\varepsilon$" [/mm] oder "Für jedes echt positive [mm] $\varepsilon\,.$"
[/mm]
> würde ich dabei hier auch gerne
> bleiben. Ich mache mir aber klar, dass dein Vorschlag zur
> Notation äquivalent ist, nur unter Umständen leichter zu
> handhaben.
Naja, man nimmt "irgendein" [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ her (man verwendet auch nur diese Eigenschaft des [mm] $\varepsilon$ [/mm] und spezifiziert es NICHT weiter), zeigt, dass damit alles klappt - und weil das [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ beliebig war, hat man somit die Behauptung für alle [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ gezeigt. Es hat halt den Vorteil, dass man nur einmal "irgendein [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$" hergenommen hat und es dann wie einen Parameter behandelt - und daher nicht immer "für alle" dazuschreiben muss.
Also: über Notationen wollen wir hier nicht diskutieren - es sei denn, einem von uns wird unklar, was der andere meint. Ansonsten mache das ruhig so, wie Du es tust. Ich mag' die Notation [mm] $\{a_n\}$ [/mm] aus einem einfachen Grund nicht: Man denkt, dass damit für ein festes [mm] $n\,$ [/mm] eine einelementige Menge gemeint sei, deren Element [mm] $a_n$ [/mm] heißt - deswegen schreibt man ja auch immer wenigstens einmal dazu, dass man die Folge [mm] $\{a_n\}$ [/mm] meint. Manche schreiben auch [mm] $\{a_n: n \in \IN\}\,,$ [/mm] aber die Menge [mm] $\{a_n: n \in \IN\}$ [/mm] ist wiederum was anderes als die entsprechende Folge.
(Nebenher: Man kann reellwertige Folgen etwa einfach als Abbildungen [mm] $\IN \to \IR$ [/mm] behandeln - das ist ja eh die eigentliche Definition - und damit erspart man sich auch schnell einiges an Notationserklärungen! Generell geht's auch noch allgemeiner, dass man für [mm] $z_0 \in \IZ$ [/mm] und einer nichtleeren Menge [mm] $M\,$ [/mm] dann eine Abbildung $a: [mm] \IZ_{\ge z_0} \to [/mm] M$ eine [mm] $M\,$-wertige [/mm] Folge nennt. Dabei ist [mm] $\IZ_{\ge z_0}:=\{z \in \IZ:\;z \ge z_0\}\,.$ [/mm] Vielleicht gibt's da sogar auch eine Sprechweise, die das [mm] $z_0$ [/mm] mit ausdrückt, ich würde sowas dann [mm] $M\,$-wertige [/mm] Folge mit Startindex [mm] $z_0$ [/mm] nennen.)
Aber egal, wie gesagt, ich komme mit Deiner Notation auch gut klar und kenne und akzeptiere sie auch, so ist's nicht.
> Sind [mm]\{a_{n^{(j)}_k}\}[/mm] mit [mm]j\in\{1,2\}[/mm] Teilfolgen von
> [mm]\{a_n\}[/mm], so gilt: [mm]\IN\ni\{n^{(j)}_k\}\uparrow[/mm]. So habe ich
> es auf meinem Papier stehen und so ist es auch erst einmal
> nur eine Folgerung aus der Definition von Teilfolgen, da
> die Indexfolgen Folgen natürlicher Zahlen und zudem streng
> monoton wachsend sind.
So ist es jetzt auch korrekt!
> Dann habe ich geschrieben:
>
> [mm]n^{(j)}_k\le{n^(j)_{k+1}}+1[/mm]
Und wenn man's verbessert sieht's so aus:
[mm] $$n^{(j)}_k\le n^{(j)}_{k+1}+1$$
[/mm]
> . Da sowohl [mm]n_k[/mm] als auch [mm]k[/mm]
> Elemente von [mm]\IN[/mm] sind, wollte ich damit eigentlich zeigen,
> dass, da gilt: [mm]k_i = i[/mm] mit [mm]i\in\IN[/mm], [mm]k\le{n^{(j)}_k}[/mm] ist. Ob
> diese Erklärung zu meinem Hintergedanken jetzt
> verständlich war, weiß ich auch nicht.
Na, pass' auf: Für jedes der beiden [mm] $j\,$ [/mm] ist die Folge (ich bleibe bei meiner Notation) [mm] $(n^{(j)}_k)_k$ [/mm] eine streng wachsende Folge natürlicher Zahlen. Damit ist klar, dass [mm] $n^{(j)}_1 \ge [/mm] 1$ sein muss. Die Behauptung [mm] $n^{(j)}_k \ge [/mm] k$ für alle [mm] $k\,$ [/mm] kann man, wenn man's formal sauber machen will, etwa einfach per Induktion nachrechnen. Aber das erkennt eigentlich auch so jeder direkt, dass sich das ergibt. Aber man kann's sicher auch mit Deiner obigen Ungleichung rekursiv überlegen.
> Daraus wollte ich
> jetzt jedenfalls folgern:
>
> Für [mm]n^{(j)}_k \ge k > N_\varepsilon[/mm] folgt:
> [mm]\left|a_n^{(j)}_k - a\right|<\varepsilon[/mm]
Na, die Logik ist eigentlich sorum: Für $k > [mm] N_\varepsilon$ [/mm] gilt
[mm] $$\left|a_n_k^{(j)} - a\right|<\varepsilon\,,$$ [/mm]
weil für $k > [mm] N_\varepsilon$ [/mm] halt [mm] $n^{(j)}_k \ge [/mm] k$ ist.
> . Damit gilt nach
> Definition:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_n=\limes_{k\rightarrow\infty}a_n^{(1)}_k=\limes_{k\rightarrow\infty}a_n{(2)}_k[/mm]
> . Diesmal hoffentlich ohne so gravierende Tippfehler.
Es ist, es sei denn, bei so später Stunde übersehe ich selbst gravierendes, denke ich sogar absolut korrekt. Den letzten "Logikhinweis" habe ich nur gegeben, damit das klarer wird, falls es das bis dato nicht so ganz war.
> > Aber: Du musst das ein wenig trainieren, das ganze richtig
> > aufzuschreiben - wäre schade, wenn einiges im Studium an
> > sowas scheitern würde.
> >
> > Tipp zur Selbstkontrolle: Übertrage Deinen Aufschrieb am
> > Ende auf ein "Beispiel" und schaue, ob da dann auch
> > wirklich das rauskommt, was Du meinst - also, ob man das am
> > "Kontrollbeispiel" auch so sieht.
> >
> > Zum Beispiel:
> > Wenn ich sage, dass [mm](a_n)_n[/mm] gegeben ist durch
> > [mm]a_n=n*(-1)^n\,.[/mm] Und nun sage ich, dass ich [mm](b_n)_n :\equiv(a_{3*k})_k[/mm]
> > betrachte - also [mm]n_k=3*k\,.[/mm]
> >
> > Nehmen wir an, ich hätte im Beweis behauptet, dass [mm]b_n < b_{n+1}[/mm]
> > sei. Was würdest Du sagen? (Ist [mm]b_2 < b_3[/mm]?)
> >
> > Vielleicht wollte ich aber in Wahrheit nur [mm]n_k < n_{k+1}[/mm]
> > sagen. Und? Was wäre dann vermutlich mein Fehler in der
> > Notation gewesen?
> >
> > Also: Beweis komplett verstanden und alles richtig
> > durchdacht, würde ich sagen. Notation: Kleiner Mangel, der
> > leider aber große Wirkung (-> große Verwirrung) zur Folge
> > haben könnte.
>
> Komplett verstanden ist leider nicht richtig. Ich war mir
> nicht wirklich sicher, ob meine Argumentation (auch die nur
> gedachte und nicht falsch aufgeschriebene) schlüssig
> sei.
Ich denke schon, dass das gedachte so absolut korrekt war.
> > Daher mein Vorschlag: Bitte das beheben und nochmal
> > probieren. (Die ganzen richtigen Teile kannst Du ja mit
> > copy & paste einfügen.)
>
> > Grund: Je mehr man penibel mit sauberer Notation arbeitet,
> > desto weniger verwirrt man andere und desto weniger läßt
> > man sich von anderen verwirren. Denn "Notationswirrwarr"
> > kommt, meiner Erfahrung nach, leider gerade bei vielen sehr
> > schlauen Leuten vor - denn denen ist das dann nicht so
> > wichtig, weil sie ja, weil sie ihre Gedankengänge kennen,
> > wissen, was sie meinen. Wenn man sie drauf hinweist,
> > korrigieren die das auch in sekundenschnelle. Aber für den
> > Rest der Welt ist nicht immer klar, was die meinten, und
> > dann sieht's für viele deswegen falsch aus - was es
> > eigentlich auch ist, weil die Notation halt falsch ist. Ich
> > habe echt immer das Gefühl, dass die Kraft und Macht einer
> > klaren Notation einfach unterschätzt wird - dabei hilft es
> > einem sogar selbst und schult dabei, seine Gedanken zu
> > sortieren.
>
> Die komplett lückenlose Arbeit nach Definitionen ist
> gerade das, wofür ich Mathematik liebe. Und in diesen
> einfachen Dingen ist es vielleicht noch intuitiv
> schlüssig, was gemeint ist, in höherer Mathematik aber
> nicht mehr. Und solcherlei verhindert leider lückenlose
> Arbeit nach Definitionen. Deswegen bin ich sehr dankbar,
> darauf aufmerksam gemacht zu werden.
Da widerspreche ich Dir. Man kann in der gesamten Mathematik alles komplett durcharbeiten, indem man nur Definitionen und das bisher gelernte absolut sauber notiert. Die Sache, warum man das oft nicht macht und vielleicht "formal" minimal unsauber arbeitet (es ist wirklich meist nur minimal, zumal die "Unsauberkeiten" eigentlich auch keine sind, weil immer dabeisteht, wie das gemeint ist - jedenfalls in Lehrbüchern!), hat den einfachen Grund, dass man nicht das Wesentliche des Beweises durch ein "Übermaß an Detailarbeit" verdecken will. Du willst zum Beispiel in einem Beweis nicht ständig den Definitions- und Zielbereich von Funktionen erwähnen, wenn Du, was weiß ich, 10 Funktionen hast, die Du brauchst. Dann schreibst Du halt kurz etwa, wenn das reicht, dass jede Funktion auf ihrem "maximalen Definitionsbereich [mm] $\subseteq \IR$" [/mm] definiert sei (gehst aus, dass klar ist, wie der Zielbereich mindestens aussehen wird) und sprichst dann etwa von der Funktion [mm] $f(x)=x^2$ [/mm] und [mm] $g(x)=1/x\,,$ [/mm] oder sogar nur von der Funktion [mm] $\tan(x)\,.$ [/mm] Sowas kann durchaus sehr sinnvoll sein.
> Ich denke, viele
> Menschen sehen gerade das als den unschönen Teil der
> Mathematik an, ich aber als den fundamentalen. Deswegen
> verzage ich einfach mal nicht und über fleißig weiter.
Das finde ich gut. Auch wenn, wie gesagt, "unsauberere Notationen" manchmal sehr praktisch sind, sollte man sich dennoch wenigstens selbst immer klar machen können, wie's denn genau sauber aussehen würde.
Aber das beste Beispiel für "praktische Notationen", und die ist auch sauber definiert, kennen wir eigentlich alle.
Denn: Etwa die Addition [mm] $+\,$ [/mm] zwischen reellen Zahlen ist ja eigentlich eine Funktion $+: [mm] \IR \times \IR \to \IR\,.$ [/mm] Für Funktionen $f: M [mm] \to [/mm] N$ schreibt man aber [mm] $f(m)\,$ [/mm] für den Funktionswert von [mm] $f\,$ [/mm] an der Stelle $m [mm] \in [/mm] M$ (dabei ist $f(m) [mm] \in [/mm] N$). Für ein Zahlenpaar $(r,s) [mm] \in \IR \times \IR$ [/mm] sollte man eigentlich dann schreiben $(r,s) [mm] \mapsto +((r,s))\,.$ [/mm] Die erste Konvention ist dann schon, dass man $+(r,s):=+((r,s))$ schreibt, weil man irgendwie die Doppelklammerung eigentlich als unnötig ansieht. (Das macht man auch allgemeiner bei Funktionen mehrerer Variablen.)
Die zweite Konvention ist, dass man [mm] $r+s:=+(r,s)\;\;(\;\;=+((r,s))\;\;)$ [/mm] setzt. Und nun das Tolle an dieser Schreibweise:
Jeder kann sich behalten, dass $(r+s)+t=r+(s+t)$ gilt - das Assoziativgesetz der Addition von reellen Zahlen [mm] $r,s,t\,.$ [/mm] (Oder fast jeder.) Wie sähe das in der Ursprungsfassung aus?
Man betrachte Zahlen $r,s,t [mm] \in \IR\,.$ [/mm] Dann sind $a:=+(r,s) [mm] \in \IR$ [/mm] und $b:=+(s,t) [mm] \in \IR\,,$ [/mm] und das Assoziativgesetz der Addition lautet dann
$$+(a,t)=+(r,b)$$
bzw.
[mm] $$+(+(r,s),t)=+(r,+(s,t))\,.$$
[/mm]
Formal ist da vielleicht sogar ein wenig klarer, was dieses Assoziativgesetz der Addition eigentlich ausdrückt: Wenn man die Zahlen [mm] $r\,$ [/mm] und [mm] $s\,$ [/mm] addiert, nennen wir die Summe [mm] $s_1$ [/mm] und dann zu diesem Ergebnis [mm] $s_1$ [/mm] die Zahl [mm] $t\,$ [/mm] (von rechts) dazuaddiert, kommt das gleiche raus, wie, wenn man zu [mm] $r\,$ [/mm] die Summe [mm] $s_2\,,$ [/mm] welches die der Zahlen [mm] $s\,$ [/mm] und [mm] $t\,$ [/mm] sei, von rechts dazuaddiert.
Und wenn man die Konvention $+(r,s):=+((r,s))$ noch nichtmal benutzt, sieht das Gesetz aber irgendwie noch blöder aus:
[mm] $$+(\;(+((r,s)),\,t)\;)=+(\;(r,\,+((s,t)))\;)\,.$$
[/mm]
Vergleiche das nochmal mit [mm] $(r+s)+t=r+(s+t)\,.$ [/mm] Also alleine wegen dem Klammerwirrwar könnte ich mir
[mm] $$+(\;(+((r,s)),\,t)\;)=+(\;(r,\,+((s,t)))\;)$$
[/mm]
nicht oder nur schwer behalten - während man bei
$$(r+s)+t=r+(s+t)$$
sich eigentlich nur zu merken hat, wie die Klammern sich verschieben.
> > Gruß,
> > Marcel
>
> Ich habe das ganze mal Frage genannt, um nochmal eine Ja
> oder ein Nein zu hören, mehr steckt aber nicht dahinter.
>
> Viele Grüße
>
> P.S.: Wenn ich nicht [mm]j\in\{1,2\}[/mm] wähle, sonder beliebig,
> habe ich dann auch schon bewiesen, dass für [mm]a_n \rightarrow[/mm]
> a auch alle Teilfolgen gegen a gehen?
Ja. Aber wenn [mm] $j\,$ [/mm] beliebig ist, brauchst Du's gar nicht mehr. Denn formal sieht's dann so aus, dass Du einfach schreibst:
"Wenn [mm] $(a_{n_k})_k$ [/mm] "irgendeine Teilfolge von [mm] $(a_n)_n$" [/mm] ist, dann..."
Oder dann steht da, dass "Für jede Teilfolge [mm] $(a_{n_k})_k$ [/mm] von [mm] $(a_n)_n$ [/mm] gilt..."
Oben haben wir halt [mm] $(a_{n^{(j)}_k})_k$ [/mm] geschrieben, weil es in der Aufgabenstellung halt zwei Teilfolgen gab. Diese Notation hat sich dann angeboten, weil man dann zum einen erkennt, dass für jedes der beiden [mm] $j\,$ [/mm] die Folge [mm] $(a_{n^{(j)}_k})_k$ [/mm] eine Teilfolge von [mm] $(a_n)_n$ [/mm] ist, und über das [mm] $j\,$ [/mm] steuert man dann, welche der beiden man meint. Aber im Beweis hast Du eigentlich auch gesehen, dass Du diese Steuerung über die [mm] $j\,$ [/mm] nirgends gebraucht hast - denn [mm] $(a_{n^{(1)}_k})_k$ [/mm] und [mm] $(a_{n^{(2)}_k})_k$ [/mm] kamen ja nicht zueinander in Bezug, bzw. keine der beiden hatte eine "besondere Rolle" gespielt.
Gruß,
Marcel
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