2 p Normen und ihre Äquivalenz < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:07 Sa 01.10.2011 | | Autor: | kushkush |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Zwei Normen $||\cdot||^{(1)}$ und $||\cdot||^{(2)}$ heissen äquivalent, wenn:
$c_{1}||x||^{(1)} \le ||x|| \le c_{2}||x||^{(2)} \ \ \forall x \in X$
Zeigen Sie, dass je 2 p-Normen $||\cdot||$ für $1\le p \le \infty$ auf $\IK^{n},K= \IR^{n}$ oder $K=\IC^{n}$ sind äquivalent. (Hinweis: Es genügt zu zeige, dass eine beliebige p-Norm zur $\infty$-Norm äquivalent ist, da das Äquivalentsein eine Äquivalenzrelation ist.) |
Hallo,
es handelt sich um eine Äquivalenzrelation, also muss gezeigt werden:
jede Norm ist zu sich selber äquivalent (Reflexivität): $c_{1} = c_{2} = 1$ ist erfüllt
Symmetrie: Sei $||\cdot || ^{(1)}\sim ||\cdot||^{(2)} $, das heisst $\exists c_{1},c_{2} > 0 : $
$c_{1}||x||^{(1)} \le ||x||^{(2)} \le c_{2}||x||^{(1)} \ \forall x\in X$
das ist äquivalent zu :
$c_{2}^{-1}||x||^{(2)}\le ||x||^{(1)} \le c_{1}^{-1}||x||^{(2)} \ \forall x \in X$
Dann gilt also $||\cdot || ^{(2)} \sim ||\cdot || ^{(1)}$
Transitivität: Sei $||\cdot || ^{(1)} \sim || \cdot || ^{(2)}$ ;$||\cdot || ^{(2)}\sim ||\cdot || ^{(3)} $
Existieren also $c_{1},c_{2},d_{1},d_{2} > 0$, dann ist :
$c_{1}||x||^{(1)} \le ||x||^{(2)} \le c_{2}||x||^{(1)} \ \forall x \in X$ und $d_{1}||x||^{(2)} \le ||x||^{(3}} \le d_{2}||x||^{(2)} \ \forall x \in X$
Also ist :
$c_{1}d_{1}||x||^{(1)} \le ||x||^{(3)} \le c_{2}d_{2}||x||^{(1)} \ \forall x \in X$.
und damit $||\cdot || ^{(1)} \sim || \cdot || ^{(3)}$
Es ist : $||(x_{1},...,x_{n})||_{\infty} = max_{i} |x_{i}| $ und $ ||(x_{1},...,x_{n})||_{p} = (\sum_{i=1}^{n}|x_{i}|^{p})^{1/p} \ \forall (x_{1},...,x_{n}) \in \IK^{n}$.
Sei nun $x=(x_{1},...,x_{n})$,$c>0$ dann ist :
$||x||_{p} = (\sum_{i=1}^{n} |x_{i}|^{p})^{1/p} \le (\sum_{i=1}^{n} (||x||_{\infty})^{p}})^{1/p} \le c^{1/p}||x||_{\infty}$
und es ist :
$||x||_{\infty} \le \sum_{i=1}^{n} |x_{i}|^{p} \gdw ||x||_{\infty} \le ||x||_{p}$
damit sind alle p-Normen zur maximumsnorm äquivalent , und damit auch zu allen p-Normen.
Ist das so richtig?
Bin für eine Korrektur sehr dankbar!!
Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:41 So 02.10.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Zwei Normen [mm]||\cdot||^{(1)}[/mm] und [mm]||\cdot||^{(2)}[/mm] heissen
> äquivalent, wenn:
>
> [mm]c_{1}||x||^{(1)} \le ||x|| \le c_{2}||x||^{(2)} \ \ \forall x \in X[/mm]
>
> Zeigen Sie, dass je 2 p-Normen [mm]||\cdot||[/mm] für [mm]1\le p \le \infty[/mm]
> auf [mm]\IK^{n},K= \IR^{n}[/mm] oder [mm]K=\IC^{n}[/mm] sind äquivalent.
> (Hinweis: Es genügt zu zeige, dass eine beliebige p-Norm
> zur [mm]\infty[/mm]-Norm äquivalent ist, da das Äquivalentsein
> eine Äquivalenzrelation ist.)
>
> [...]
>
> Sei nun [mm]x=(x_{1},...,x_{n})[/mm],[mm]c>0[/mm] dann ist :
Was soll den hier c sein?
>
> [mm]||x||_{p} = (\sum_{i=1}^{n} |x_{i}|^{p})^{1/p} \le (\sum_{i=1}^{n} (||x||_{\infty})^{p}})^{1/p} \le c^{1/p}||x||_{\infty}[/mm]
Nein, es ist
[mm]\|x\|_{p} = (\sum_{i=1}^{n} |x_{i}|^{p})^{1/p} \le (\sum_{i=1}^{n} (\|x\|_{\infty})^{p}})^{1/p} = (n\|x\|_{\infty})^{p}})^{1/p}\le n^{1/p}\|x\|_{\infty}[/mm]
> und es ist :
>
> [mm]||x||_{\infty} \le \sum_{i=1}^{n} |x_{i}|^{p} \gdw ||x||_{\infty} \le ||x||_{p}[/mm]
Die Äquivalenz
[mm] \|x\|_{\infty} \le \|x\|_p^p \gdw \|x\|_{\infty} \le \|x\|_p [/mm]
ist falsch, die erste Ungleichung
[mm] \|x\|_{\infty} \le \sum_{i=1}^{n} |x_{i}|^{p} = \|x\|_p^p [/mm]
ebenso, wie das einfache Gegenbeispiel $n=2=p$, $x=(1/2,0)$ zeigt: [mm] $\|x\|_\infty [/mm] = 1/2$, [mm] $\|x\|_2^2=1/4$ [/mm] .
Du meinst vermutlich
[mm] \|x\|_{\infty}^p \le \sum_{i=1}^{n} |x_{i}|^{p} [/mm] .
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:47 So 02.10.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo!
> was c
ja das sollte schon der obere Index sein!
> Viele Grüsse
Vielen Dank!!
kushkush
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