2mal Spiegeln = Translation < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | | Seien $G_1\parallel G_2$ zwei parallele Geraden der euklidischen affinen Ebene $X$ und $\sigma_{G_1}$ bzw. $\sigma_{G_2}$ die zugehörigen Spieglungen. Zeigen Sie, dass $\sigma_{G_1}\circ \sigma_{G_2}$ eine Translation ist. |
Also es wird denke ich mal die Definition der affinen Spieglung an $Y$ benötigt:
Seien $X$ ein euklidischer affiner Raum, Y ein nicht leerer affiner Unterraum von $X,A\in Y$ und $\sigma_Y:X\to X$ eine Abbildung mit der Eigenschaft $\overrightarrow{A\sigma_Y(C)}=s_{V_Y}(\overrightarrow{AC})$ für alle C\in X. Dann ist $\overrightarrow{B\sigma_Y(C)}=s_{V_Y}(\overrightarrow{BC})$ für alle $B\in Y$ und $C\in X$.
Dabei ist $s_{V_Y}(u+v)=u-v$ mit $u\in V$ und $v\in V^{\perp}$.
Es ist also zu zeigen, dass $\sigma_{G_1}\circ \sigma_{G_2}$ eine Translation ist. Da man denke ich mal die Eigenschaften von oben irgendwie benutzen muss hab ich folgendermaßen, angefangen.
Wir wollen zeigen, dass für alle $B,C\in X$ und gillt:
\overrightarrow{B\sigma_{G_1}\circ \sigma_{G_2}(B)}=\overrightarrow{C\sigma_{G_1}\circ \sigma_{G_2}(C)}.
Nach Vorraussetzung gilt:
$G_1\parallel G_2$ \Rightarrow V_{G_1} = V_{G_2} (aus dimensionsgründen).
Sei $A\in {G_1}$ und $B,C\in X$ beliebig, dann gilt:
$\overrightarrow{B\sigma_{G_1}\circ \sigma_{G_2}(B)}$
$=\overrightarrow{B\sigma_{G_1}(\sigma_{G_2}(B))}$
$=\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{A\sigma_{G_1}(\sigma_{G_2}(B))}$
$=\overrightarrow{BA} + S_{V_{G_1}}(\overrightarrow{A\sigma_{G_2}(B)}})$
$=\overrightarrow{BA} + S_{V_{G_1}}(\overrightarrow{AD} \overrightarrow{D\sigma_{G_2}(B)}})$
$=\overrightarrow{BA} + S_{V_{G_1}}(\overrightarrow{AD}) + S_{V_{G_1}}( \overrightarrow{D\sigma_{G_2}(B)}})$ (Da S_V linear)
Und genau dort hört es auch auf. Ich kann nun weder $\sigma_(G_2)(D)$ dort einbringen, noch kann ich zeigen dass der Rest $0$ ist, was er ja sein müsste.
Deswegen denke ich, dass reine Dreiecksungleichung mich hier nicht zum Ziel führen wird.
Aber konkrete Aussagen über $\sigma_{G_1}\circ \sigma_{G_2}$ kann ich auch nicht treffen.
Ich hab das ganze auch mal gezeichnet, und die Aussage stimmt auf jedefall.
Kann mir evtl. jemand weithelfen?
Mfg. Erdbeermilch
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Mi 16.12.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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