2mal stetig diffbar ohne Max. < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:34 Mo 02.06.2014 | | Autor: | Emma23 |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass eine 2-mal stetig differenzierbare Funktion, [mm] f:\IR^{2}\to\IR, [/mm] die in allen stationären Punkten eine reguläre Hesse-Matrix besitze und für die [mm] \bruch{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}(x,y)+\bruch{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}(x,y) [/mm] >0, [mm] \forall(x,y) \in\IR^{2} [/mm] gilt, kein lokales Maximum besitzen kann. |
Hallo :) Ich bräuchte mal Hilfe bei dieser Aufgabe. Also ich weiß, dass ein lokales Maximum vorliegt, wenn det [mm] H_{f}(x,y)>0 [/mm] und [mm] \bruch{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}(x,y)<0, [/mm] was ja hier also nicht möglich sein kann bzw. darf. Wie zeige ich das denn? Wenn wir mal annehmen, dass es doch ein lokales Maximum gibt, dann wäre ja:
[mm] \underbrace{\bruch{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}(x,y)}_{<0}+\underbrace{\bruch{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}(x,y)}_{>-\bruch{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}(x,y)} [/mm] >0. Kann ich damit was anfangen?
Danke schon mal ;)
Liebe Grüße
Emma
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:13 Mo 02.06.2014 | | Autor: | hippias |
> Zeigen Sie, dass eine 2-mal stetig differenzierbare
> Funktion, [mm]f:\IR^{2}\to\IR,[/mm] die in allen stationären
> Punkten eine reguläre Hesse-Matrix besitze und für die
> [mm]\bruch{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}(x,y)+\bruch{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}(x,y)[/mm]
> >0, [mm]\forall(x,y) \in\IR^{2}[/mm] gilt, kein lokales Maximum
> besitzen kann.
> Hallo :) Ich bräuchte mal Hilfe bei dieser Aufgabe. Also
> ich weiß, dass ein lokales Maximum vorliegt, wenn det
> [mm]H_{f}(x,y)>0[/mm] und [mm]\bruch{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}(x,y)<0,[/mm]
> was ja hier also nicht möglich sein kann bzw. darf. Wie
> zeige ich das denn? Wenn wir mal annehmen, dass es doch ein
> lokales Maximum gibt, dann wäre ja:
> [mm]\underbrace{\bruch{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}(x,y)}_{<0}+\underbrace{\bruch{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}(x,y)}_{>-\bruch{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}(x,y)}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> >0. Kann ich damit was anfangen?
Ja. Das ist eine Rechenaufgabe: Der Vollstaendigkeit halber erwaehne ich noch, dass $(x,y)$ ein stationaerer Punkt sein soll. Dann gilt alles, was Du schon gesagt hast. Versuche herauszufinden, dass die Bedingung $\det H_{f}(x,y)>0$ nicht erfuellt sein kann. Mein Tipp dazu: $H_{f}(x,y)$ ist symmetrisch und welches Vorzeichen hat $\bruch{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}(x,y)}\cdot\bruch{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}(x,y)}$?
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> Danke schon mal ;)
> Liebe Grüße
> Emma
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:00 Di 03.06.2014 | | Autor: | Emma23 |
> > Zeigen Sie, dass eine 2-mal stetig differenzierbare
> > Funktion, [mm]f:\IR^{2}\to\IR,[/mm] die in allen stationären
> > Punkten eine reguläre Hesse-Matrix besitze und für die
> > [mm]\bruch{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}(x,y)+\bruch{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}(x,y)[/mm]
> > >0, [mm]\forall(x,y) \in\IR^{2}[/mm] gilt, kein lokales Maximum
> > besitzen kann.
> > Hallo :) Ich bräuchte mal Hilfe bei dieser Aufgabe.
> Also
> > ich weiß, dass ein lokales Maximum vorliegt, wenn det
> > [mm]H_{f}(x,y)>0[/mm] und [mm]\bruch{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}(x,y)<0,[/mm]
> > was ja hier also nicht möglich sein kann bzw. darf. Wie
> > zeige ich das denn? Wenn wir mal annehmen, dass es doch ein
> > lokales Maximum gibt, dann wäre ja:
> > [mm]\underbrace{\bruch{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}(x,y)}_{<0}+\underbrace{\bruch{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}(x,y)}_{>-\bruch{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}(x,y)}[/mm]
> > >0. Kann ich damit was anfangen?
> Ja. Das ist eine Rechenaufgabe: Der Vollstaendigkeit
> halber erwaehne ich noch, dass [mm](x,y)[/mm] ein stationaerer Punkt
> sein soll. Dann gilt alles, was Du schon gesagt hast.
> Versuche herauszufinden, dass die Bedingung [mm]\det H_{f}(x,y)>0[/mm]
> nicht erfuellt sein kann. Mein Tipp dazu: [mm]H_{f}(x,y)[/mm] ist
> symmetrisch und welches Vorzeichen hat
> [mm]\bruch{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}(x,y)}\cdot\bruch{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}(x,y)}[/mm]?
Also das Vorzeichen von [mm] \bruch{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}(x,y)\cdot\bruch{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}(x,y) [/mm] muss positiv sein, damit [mm] detH_{f}(x,y) [/mm] überhaupt >0 sein kann, da ja [mm] detH_{f}(x,y)= \bruch{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}(x,y)\cdot\bruch{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}(x,y)- \bruch{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}(x,y)\cdot\bruch{\partial^{2}f}{\partial y\partial x}(x,y) [/mm] und hier ist [mm] \bruch{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}(x,y)\cdot\bruch{\partial^{2}f}{\partial y\partial x}(x,y) [/mm] immer positiv durch die Symmetrie [mm] (\bruch{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}(x,y)=\bruch{\partial^{2}f}{\partial y\partial x}(x,y) [/mm] also [mm] (\bruch{\partial^{2}f}{\partial x\partial y})^{2}(x,y) [/mm] immer >0).
Nehmen wir also an, dass [mm] \bruch{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}(x,y)<0 [/mm] ist, dann müsste [mm] \bruch{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}(x,y) [/mm] auf jeden Fall >0 sein wegen [mm] \bruch{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}(x,y)+\bruch{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}(x,y)>0, [/mm] somit wäre aber [mm] \bruch{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}(x,y)\cdot\bruch{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}(x,y)<0 [/mm] und damit det [mm] H_{f}(x,y)<0.
[/mm]
Kann man das so sagen oder ist das zu unverständlich?
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> > Danke schon mal ;)
> > Liebe Grüße
> > Emma
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:49 Di 03.06.2014 | | Autor: | hippias |
Ich finde, das ist in Ordnung. Gut gemacht!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 06:40 Di 03.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie, dass eine 2-mal stetig differenzierbare
> Funktion, [mm]f:\IR^{2}\to\IR,[/mm] die in allen stationären
> Punkten eine reguläre Hesse-Matrix besitze und für die
> [mm]\bruch{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}(x,y)+\bruch{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}(x,y)[/mm]
> >0, [mm]\forall(x,y) \in\IR^{2}[/mm] gilt, kein lokales Maximum
> besitzen kann.
> Hallo :) Ich bräuchte mal Hilfe bei dieser Aufgabe. Also
> ich weiß, dass ein lokales Maximum vorliegt, wenn det
> [mm]H_{f}(x,y)>0[/mm] und [mm]\bruch{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}(x,y)<0,[/mm]
> was ja hier also nicht möglich sein kann bzw. darf. Wie
> zeige ich das denn? Wenn wir mal annehmen, dass es doch ein
> lokales Maximum gibt, dann wäre ja:
> [mm]\underbrace{\bruch{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}(x,y)}_{<0}+\underbrace{\bruch{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}(x,y)}_{>-\bruch{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}(x,y)}[/mm]
> >0. Kann ich damit was anfangen?
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> Danke schon mal ;)
> Liebe Grüße
> Emma
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Ist [mm] A=\pmat{ a & b \\ b & c } [/mm] eine reelle, symmetrische und reguläre 2x2 -Matrix mit a+c > 0, so gibt es 2 Fälle:
1. det(A)<0. Dann ist A indefinit.
2. det(A)>0. Überlege Dir nun, dass A nur positive Eigenwerte hat. A ist also positiv definit.
FRED
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