3-Körper Problem < HochschulPhysik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:42 Fr 15.01.2010 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | Zwei Planeten mit den Massen [mm] M_{1} [/mm] und [mm] M_{2} [/mm] sollen sich (mit und ohne) gegenseitiger Wechselwirkung auf Kreisbahnen um eine (in der Mitte ruhenden) Sonne mit der Masse [mm] M_{S} [/mm] bewegen. Beide Planetenbahnen sollen sich in derselben Ebene befinden. (Zweidimensionalität!)
Die Kräfte lassen sich nach dem Gravitationsgesetz:
$F = [mm] \gamma \cdot \frac{M_{1}\cdot M_{2}}{r^{2}}$ [/mm] berechnen.
a) Formulieren Sie die Bewegungsgleichungen für die beiden Planeten. Abstand nach Pythagoras. (Beachten sie die Komponentenzerlegung)
Führen Sie anschliessend die Wechselwirkungskraft zwischen den beiden Planeten ein und formulieren Sie zum Schluss eine Differentialgleichung. |
Hi,
Kann mir jemand ansatzweise helfen, wie ich zur Differentialgleichung komme?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt und bin für jede Antwort dankbar.
Kushkush
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> Zwei Planeten mit den Massen [mm]M_{1}[/mm] und [mm]M_{2}[/mm] sollen sich
> (mit und ohne) gegenseitiger Wechselwirkung auf Kreisbahnen
> um eine (in der Mitte ruhenden) Sonne mit der Masse [mm]M_{S}[/mm]
> bewegen. Beide Planetenbahnen sollen sich in derselben
> Ebene befinden. (Zweidimensionalität!)
>
> Die Kräfte lassen sich nach dem Gravitationsgesetz:
>
> [mm]F = \gamma \cdot \frac{M_{1}\cdot M_{2}}{r^{2}}[/mm] berechnen.
>
> a) Formulieren Sie die Bewegungsgleichungen für die beiden
> Planeten. Abstand nach Pythagoras. (Beachten sie die
> Komponentenzerlegung)
> Führen Sie anschliessend die Wechselwirkungskraft zwischen
> den beiden Planeten ein und formulieren Sie zum Schluss
> eine Differentialgleichung.
> Hi,
>
>
> Kann mir jemand ansatzweise helfen, wie ich zur
> Differentialgleichung komme?
Hallo Kushkush,
die obige Formel liefert nur den Betrag der Anzie-
hungskraft zwischen zwei Massen. Was du brauchst,
sind jedoch die vektoriellen Kräfte.
Auf den Planeten mit Masse [mm] M_1 [/mm] und Ortsvektor [mm] x_1
[/mm]
wirken zwei Kraftkomponenten, die sich dann
(für das Dreikörperproblem) addieren:
Erste Komponente :
[mm] M_1, M_S, r_1=|x_1|, [/mm]
Einheitsvektor in Kraftrichtung [mm] -\frac{x_1}{r_1}
[/mm]
Zweite Komponente :
[mm] M_1, M_2, r_{12}=|x_2-x_1|, [/mm]
Einheitsvektor in Kraftrichtung [mm] \frac{x_2-x_1}{r_{12}}
[/mm]
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:42 Fr 15.01.2010 | | Autor: | kushkush |
Hoi Al-Chawrizmi,
stimmt es so:
Für die Wirkung auf den ersten Planeten:
[mm] $\gamma \cdot \frac{M_{1}\cdot M_{2}}{R^{2}} [/mm] = [mm] M_{1}\cdot v_{1}'$
[/mm]
und für den zweiten dementsprechend:
[mm] $\gamma \cdot \frac{ M_{1}\cdot M_{2}}{R^{2}}=M_{2} \cdot v_{2}'$ [/mm]
sind das schon die finalen DG's ? und stimmen sie so?
Danke!
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Guten Morgen !
die von der Sonne auf den ersten Planeten wirkende Kraft
hat den Betrag
$\ [mm] |F_{S1}|\ [/mm] =\ [mm] \frac{\gamma*M_S*M_1}{|x_1|^2}$
[/mm]
und den Richtungseinheitsvektor $\ [mm] -\,\frac{x_1}{|x_1|} [/mm] $
Der entsprechende Kraftvektor ist also
$\ [mm] F_{S1}\ [/mm] =\ [mm] -\,\frac{\gamma*M_S*M_1}{|x_1|^3}*x_1$
[/mm]
Der zweite Planet übt auf den ersten eine Kraft vom Betrag
$\ [mm] |F_{21}|\ [/mm] =\ [mm] \frac{\gamma*M_2*M_1}{|x_2-x_1|^2}$
[/mm]
und mit Richtungseinheitsvektor $\ [mm] \frac{x_2-x_1}{|x_2-x_1|} [/mm] $ aus.
Der entsprechende Kraftvektor ist somit
$\ [mm] F_{21}\ [/mm] =\ [mm] \frac{\gamma*M_2*M_1}{|x_2-x_1|^3}*(x_2-x_1)$
[/mm]
Den gesamten auf Planet Nr. 1 wirkenden Kraftvektor
erhält man, indem man diese beiden Kraftvektoren
addiert, also
$\ [mm] F_1\ [/mm] =\ [mm] F_{S1}+F_{21}$
[/mm]
In dem entstehenden Term kann man dann natürlich [mm] \gamma*M_1
[/mm]
ausklammern.
$\ [mm] F_1\ [/mm] =\ [mm] \gamma*M_1*\left[.......\right]$
[/mm]
Dann kommt das Newtonsche Beschleunigungsgesetz
zum Zug:
$\ [mm] F_1\ [/mm] =\ [mm] M_1*x_1''$
[/mm]
also
$\ [mm] x_1''\ [/mm] =\ [mm] \frac{F_1}{M_1}\ [/mm] =\ [mm] \gamma*\left[.......\right]$
[/mm]
Dies wäre nun die erste DGL des DGL-Systems für die
Bewegung der zwei Planeten. Dazu braucht man nun
natürlich diejenige für den anderen Planeten, die aber
ganz analog aussehen muss. Für die Bewegung der
Sonne brauchen wir keine weitere DGL, da wir ja in
einem in der Sonne fixierten Koordinatensystem
rechnen.
LG Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:17 Sa 16.01.2010 | | Autor: | kushkush |
Guten Abend Al-Chwarizmi,
Danke für deine Hilfestellung/Antwort.
Dann wären die "finalen" Differentialgleichungen also
[mm] $x_{1}'' [/mm] = [mm] \frac{F_{1}}{M_{1}} [/mm] = [mm] \gamma \cdot m_{1} (\frac{m_{2}}{x_{2}^2-x_{1}^2}- \frac{m_{s}}{x_{1}^2})$
[/mm]
[mm] $x_{2}'' [/mm] = [mm] \frac{F_{2}}{M_{2}} [/mm] = [mm] \gamma \cdot m_{2} (\frac{m_{1}}{x_{1}^2-x_{2}^2}- \frac{m_{s}}{x_{2}^2})$
[/mm]
stimmen die so?
Auch kann man daraus jetzt die [mm] y_{1} [/mm] und [mm] y_{2} [/mm] standorte nicht herausfinden, oder??
Danke.
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> Dann wären die "finalen" Differentialgleichungen also
>
> [mm]x_{1}'' = \frac{F_{1}}{M_{1}} = \gamma \cdot m_{1} (\frac{m_{2}}{x_{2}^2-x_{1}^2}- \frac{m_{s}}{x_{1}^2})[/mm]
>
> [mm]x_{2}'' = \frac{F_{2}}{M_{2}} = \gamma \cdot m_{2} (\frac{m_{1}}{x_{1}^2-x_{2}^2}- \frac{m_{s}}{x_{2}^2})[/mm]
>
> stimmen die so?
>
> Auch kann man daraus jetzt die [mm]y_{1}[/mm] und [mm]y_{2}[/mm] standorte
> nicht herausfinden, oder??
Beachte, dass ich mit [mm] x_1 [/mm] den kompletten (aus den zwei
Koordinaten des ersten Planeten gebildeten) Ortsvektor
bezeichnet habe:
$\ [mm] x_1\ [/mm] =\ [mm] \pmat{x_{11}\\ x_{12}}$
[/mm]
Was du mit "y-Koordinaten" meinst, ist also als [mm] x_{12} [/mm]
(für den ersten Planeten) und [mm] x_{22} [/mm] (für den zweiten)
schon inbegriffen.
Ferner ist ein Kürzen in der Art, wie du es wolltest,
nicht möglich. Die erste Differentialgleichung lautet also:
$\ [mm] x_1''\ [/mm] =\ [mm] \frac{F_1}{M_1}\ [/mm] =\ [mm] \gamma*\left[-\,\frac{M_S}{|x_1|^3}*x_1+\frac{M_2}{|x_2-x_1|^3}*(x_2-x_1)\right]$
[/mm]
Darin ist z.B. $\ [mm] x_2-x_1\ [/mm] =\ [mm] \pmat{x_{21}-x_{11}\\x_{22}-x_{12}}$ [/mm]
und $\ [mm] |x_2-x_1|\ [/mm] =\ [mm] \wurzel{(x_{21}-x_{11})^2+(x_{22}-x_{12})^2}$
[/mm]
Das entstehende Differentialgleichungssystem wird also
ein ziemliches Monstrum. Keine Chance, ihm mit den
üblichen analytischen Integrationsmethoden beizukommen.
Mit der Angabe von Startbedingungen (Ort und Geschwin-
digkeit der beiden Planeten zum Zeitpunkt t=0) kann
man aber die Bewegungen der beiden Planeten durch
numerische Integration schrittweise berechnen - natürlich
nur als Näherung. Doch gibt es numerische Methoden,
mit welchen man dabei eine sehr hohe Genauigkeit
erzielen kann. Das sieht man z.B. daran, dass Sonnen-
finsternisse mit Sekundengenauigkeit berechnet werden
können.
LG Al-Chw.
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
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Danke für die Informationen. Demnach sind diese beiden Gleichungen: $ \gamma \cdot \frac{M_{1}\cdot M_{2}}{R^{2}} = M_{1}\cdot v_{1}' $ und $ \gamma \cdot \frac{ M_{1}\cdot M_{2}}{R^{2}}=M_{2} \cdot v_{2}' $
lediglich die Wechselwirkungen jedoch ohne die Wirkung der Sonne, oder?
Dürfte ich jetzt also den Vektor in den x und y Teil zerlegen, und diese fürs numerische Verfahren (um zBsp. durch ein Programm dann die "neue" y Koordinate und "neue" x Koordinate herauszufinden) verwenden? Da man ja $x_{1}''$ auch als $v_{x}'$ bezeichnen kann, könnte ich dementsprechend auch ein $v_{y}'$ einführen?
Durch das Euler-Verfahren sähe das Ganze doch etwa so aus ( in einem Pseudo Programm code) :
Anfangswerte (die Masseinheiten sind: Distanzen in $10^{10}m$, die Zeit in $10^{6}s$ und die Masse in $10^{24}kg$:
$M_{S}= 2 \cdot 10^{5}$
$v_{x} = 0$
$v_{y} = 0$
$v_{x_{2}}= 0$
$v_{y_{2}}=0$
$x_{1} = r_{1}$
$x_{2} = r_{2}$
$y = 0$
$y_{2} = 0$
$v_{y} = 10^{-4} \cdot \sqrt{\frac{1000\cdot \gamma \cdot m}{r_{1}}$
$v_{y2} = 10^{-4} \cdot \sqrt{\frac{1000\cdot \gamma \cdot m}{r_{2}}$
$Anfangszeit = 0$
$\Delta t = 0.2$
$t_{jetzt} = t_{alt} + \Delta t$
$r_{S1} = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$
$r_{S2} = \sqrt{x_{2}^2 + y_{2}^2}$
$x_{1_{jetzt}} = x_{alt}+x$
$x_{2_{jetzt}} = x_{2_{alt}}+x_{2}$
$y_{1_{jetzt}} = y_{1_{alt}}+y$
$y_{2_{jetzt}} = y_{2_{alt}}+y_{2}$
$x_{positionswechsel} = x_{2_{jetzt}} - x_{1_{jetzt}}$
$y_{positionswechsel} = y_{2_{jetzt}} - y_{1_{jetzt}}$
$r_{wechsel} = \sqrt{x_{positionswechsel}^{2} + y_{positionswechsel}^2}
$ a_{S1} = 10^{-5} \cdot \gamma \cdot \frac{\frac{m}{r_{1}}}{r_{1}}$
$ a_{S2} = 10^{-5} \cdot \gamma \cdot \frac{\frac{m}{r_{2}}}{r_{2}}$
$ a_{12} = 10^{-5} \cdot \gamma \cdot \frac{\frac{m_{2}}{r_{wechsel}}$
$ a_{21} = 10^{-5} \cdot \gamma \cdot \frac{\frac{m_{2}}{r_{wechsel}}$
$winkel_{1} = winkelunterscheidung(x,y)$
$winkel_{2} = winkelunterscheidung(x_{2},y_{2})$
$winkel_{3} = winkelunterscheidung(x_{positionswechsel}, y_{positionswechsel})$
$winkel_{4} = winkel_{3} + pi$
$a_{x_{1}} = a_{S1} \cdot cos(winkel_{1})$
$a_{y_{1}} = a_{S1} \cdot sin(winkel_{1})$
$a_{x_{2}} = a_{S2} \cdot cos(winkel_{2})$
$a_{y_{2}} = a_{S2} \cdot sin(winkel_{2}}$
$a_{x_{3}} = a_{12} \cdot cos(winkel_{3})$
$a_{y_{3}} = a_{12} \cdot sin(winkel_{3}}$
$a_{x_{4}} = a_{21} \cdot cos(winkel_{4})$
$a_{y_{4}} = a_{21} \cdot sin(winkel_{4}}$
$a_{xneu} = a_{x} + a_{x_{3}}$
$a_{yneu} = a_{y} + a_{y_{3}}$
$a_{xneu_{2} = a_{x_{2}} + a_{x_{4}}$
$a_{yneu_{2} = a_{y_{2}} + a_{y_{4}}$
$v_{xneu) = v_{x} - a{x_neu} \cdot \Delta t$
$v_{yneu) = v_{y} - a{y_neu} \cdot \Delta t$
$x_{neu} = x_{1} + v_{x}\cdot \Delta t$
$y_{neu} = y_{1} + v_{y} \cdot \Delta t $
$v_{x2neu) = v_{x2} - a{x2_neu} \cdot \Delta t$
$v_{y2neu) = v_{y2} - a{y2_neu} \cdot \Delta t$
$x_{2neu} = x_{2} + v_{x2}\cdot \Delta t$
$y_{2neu} = y_{2} + v_{y2} \cdot \Delta t $
Und das x_{jetzt} 1 und 2 bzw. y_{jetzt} 1 und 2 wären dann die "jetzigen" Standorte der Planeten...
stimmt das so von der Theorie her?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 So 17.01.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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