3. DDR-Mathe-Olympiade, 1963, Stufe 4, Klasse 11/12) ("Periode") < Deutsche MO < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:33 Do 01.04.2004 | | Autor: | Stefan |
Also, ich habe das jetzt was raus, aber das ist alles andere als eine elegante Lösung. Hmmh, ich hoffe das geht noch schöner...
Ich warte mal auf Vorschläge...
Stefan
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:06 Do 01.04.2004 | | Autor: | Stefan |
Okay, ich gebe meine Lösung mal an, in der Hoffnung, dass jemand mit dem Ergebnis eine elegantere Lösung findet.
Es handelt sich um eine Periode der Länge [mm]20[/mm].
Das wird an diesen Stellen gezeigt:
https://matheraum.de/read?f=26&t=329&i=332
https://matheraum.de/read?f=26&t=329&i=333
Von vorneherein völlig klar oder aufgrund der bereits gezeigten Ergebnisse ersichtlich ist, dass
[mm]a_1=1[/mm],
[mm]a_2=6[/mm],
[mm]a_4=6[/mm],
[mm]a_5=5[/mm],
[mm]a_6=6[/mm],
[mm]a_8=6[/mm],
[mm]a_9=9[/mm],
[mm]a_{10}=0[/mm]
[mm]a_{11}=1[/mm],
[mm]a_{12}=6[/mm],
[mm]a_{14}=6[/mm],
[mm]a_{15}=5[/mm],
[mm]a_{16}=6[/mm],
[mm]a_{18}=6[/mm],
[mm]a_{19}=9[/mm],
[mm]a_{20}=0[/mm]
gilt.
Zu berechnen bleiben [mm]a_3[/mm], [mm]a_7[/mm], [mm]a_{13}[/mm] und [mm]a_{17}[/mm].
Für ungerade [mm]n[/mm] gilt nach Fermat:
[mm]n^4 \equiv 1 \pmod{10}[/mm],
für gerade [mm]n[/mm] gilt (immerhin):
[mm]n^{n'+4k} \equiv n^{n'} \pmod{10}[/mm]
für [mm]n'>0[/mm].
Es gilt daher:
[mm]3^4 \equiv 1 \pmod{10}[/mm],
also:
[mm]3^{\left(3^3\right)} \equiv 3^{27} \equiv 3^3 \equiv 7 \pmod{10}[/mm],
also: [mm]a_3=7[/mm].
Ebenso berechnet man dann [mm]a_7[/mm], [mm]a_{13}[/mm] und [mm]a_{17}[/mm].
Es gilt:
[mm]7^4 \equiv 1 \pmod{10}[/mm],
also (da [mm]7^6 \equiv(2\cdot 3 + 1)^6 \equiv 1 \pmod{4}[/mm]):
[mm]7^{\left(7^7\right)} \equiv 7^{7} \equiv 7^3 \equiv 3 \pmod{10}[/mm],
also:
[mm]a_7=3[/mm].
Es gilt (siehe hier: https://matheraum.de/read?f=26&t=329&i=333)
[mm]13^{\left(13^{13}\right)} \equiv \left(3^{\left(3^3\right)}\right)^3 \equiv 7^3 \equiv 3 \pmod{10}[/mm],
also:
[mm]a_{13}=3[/mm]
und
[mm]17^{\left(17^{17}\right)} \equiv \left(7^{\left(7^7\right)}\right)^3 \equiv 3^3 \equiv 7 \pmod{10}[/mm],
also:
[mm]a_{17}=7[/mm].
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:08 Fr 02.04.2004 | | Autor: | Stefan |
Aufgrund des Ergebnisses bisher habe ich eine kleine Hilfsbehauptung bewiesen.
Behauptung:
Für alle geraden [mm]n[/mm], [mm]n \not\equiv 0 \pmod{10}[/mm], gilt:
[mm]n^{\left(n^n^\right)} \equiv 6 \pmod{10}[/mm].
Beweis:
Wie schon häufiger bemerkt, gilt:
[mm](2k)^{\left(2k^{2k}\right)} = (2k)^4[/mm].
Nun ist aber [mm]k=2^p\cdot(2l-1)[/mm] mit zwei natürlichen Zahlen [mm]p[/mm] und [mm]l[/mm], und es gilt:
[mm]k^4 \equiv \underbrace{(2^4)^p}_{\equiv 6 \pmod{10}} \cdot \underbrace{(2l-1)^4}_{\equiv 1 \pmod{10} \ \mbox{\scriptsize(Fermat)}} \equiv 6 \pmod{10}[/mm],
wobei die Behauptung wegen [mm]2^4 \equiv 6 \pmod{10}[/mm] und [mm]6^2 \equiv 6 \pmod{10}[/mm] bewiesen ist.
Yeaah, cooles Resultat! 
Nebenbei: Es genügt also, die 20-Periodizität für ungerade [mm]n[/mm] zu zeigen.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:19 Fr 02.04.2004 | | Autor: | Stefan |
Für [mm]n \equiv 1 \pmod{2}[/mm], [mm]n \not\equiv 0 \pmod{5}[/mm], gilt:
[mm](n+2)^{10} \equiv 1 \pmod{4}[/mm]
und
[mm]\left(n^{{n \choose i}2^{n-i}} \right)^{n^i} \equiv 1 \pmod{10}[/mm]
für alle [mm]i
und daher:
[mm](n+10)^{\left((n+10)^{n+10}\right)} \equiv n^{\left((n+10)^{n+10}\right)} \pmod{10}[/mm]
[mm]\equiv n^{\left((n+2)^{n+10}\right)} \pmod{10}[/mm]
[mm]\equiv n^{\left((n+2)^n\right)} \pmod{10}[/mm]
[mm] \equiv \prod_{i=0}^n \left( n^{{n \choose i}2^{n-i}}\right)^{n^i}\pmod{10}[/mm]
[mm] \equiv n^{\left(n^n\right)} \cdot n^{n2n^{n-1}} \pmod{10}[/mm]
[mm]\equiv n^{\left(n^n\right)} \cdot \left(n^{\left(n^{n}\right)}\right)^2 \pmod{10}[/mm].
[mm]\equiv \left(n^{\left(n^n\right)}\right)^3 \pmod{10}[/mm].
Daraus folgt:
[mm](n+20)^{\left((n+20)^{n+20}\right)} \equiv \left((n+10)^{\left((n+10)^{n+10}\right)}\right)^3 \pmod{10}[/mm]
[mm]\equiv \left( n^{\left(n^n\right)}\right)^9 \pmod{10}[/mm]
[mm]\equiv n^{\left(n^n\right)} \pmod{10}[/mm].
Für [mm]n \equiv 0 \pmod{5}[/mm] ist die Behauptung aber trivialerweise erfüllt.
Puuhhh... 
Liebe Grüße
Stefan
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