3 Beweise durch Körperaxiome < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Beweisen Sie ausschließlich durch Benutzung der Körperaxiome A1 bis A9 und Ergebnisse früherer Aufgabenteile sowie durch elementare logische Überlegungen:
a) Für alle x [mm] \in \IR [/mm] gilt 0*x = 0.
b) Für x, y [mm] \in \IR [/mm] gilt x*y = 0 [mm] \gdw [/mm] x = 0 oder y = 0.
c) Für alle x [mm] \in \IR [/mm] gilt (-1)x = -x. |
Hallo,
a) bewiesen (dass 0 = x*0 ist):
(A4) 0 = (0*x) + (-(0*x)) (A4 heißt, dass Axiom 4 angewendet wurde)
(A3) = ((0 + 0)*x) + (-(0*x))
(A5) = (x*(0 + 0)) + (-(0*x))
(A9) = ((x*0) + (x*0)) + (-(0*x))
(A2) = (x*0) + ((x*0) + (-(0*x)))
(A5) = (x*0) + ((x*0) + (-(x*0)))
(A4) = (x*0) + 0
(A3) = (x*0)
(A5) = 0*x
Trotzdem Frage: Kann man das auch beweisen, indem man folgendermaßen beginnt:
(A3) x*0 = x*(0 + 0) = .... ?
Das war ein Hinweis vom Prof zum Beginn des Beweises. Habe schon versucht weiter Distributivgesetz anzuwenden aber komme danach nicht voran. Ideen?
b) Bin unsicher. Kenne zwei Vorgehensweisen:
1. Vorgehensweise: den Beweis aus a) zweimal anwenden. Also:
Sei y = 0, dann x*0 = 0 (siehe a)
Sei x = 0, dann 0*y = 0 (siehe a) => x*y = 0.
Geht das?
2. Vorgehensweise:
Annahme: x, y [mm] \not= [/mm] 0. Dann gibt es nach A8 ein x mit [mm] x*x^{-1} [/mm] = 1.
x * y = 0
(A8) => [mm] x^{-1} [/mm] * (x * y) = [mm] x^{-1} [/mm] * 0 (A8 heißt Anwendung der Axiom 8)
(A6) => [mm] (x^{-1}* [/mm] x) * y = [mm] x^{-1}* [/mm] 0 (ist x*0 = [mm] x^{-1}*0 [/mm] ?)
(nach a) => [mm] (x^{-1}* [/mm] x) * y = 0
(A8) => 1*y = 0
(A7) => y = 0
Dies widerspricht der Annahme, dass x,y [mm] \not= [/mm] 0 sind.
Dann:
bei x = 0: x*y = 0*y = 0
bei x [mm] \not= [/mm] 0: x*y = 0*0 = 0.
c) Wieder unsicher:
(-1)x + x = -x + x (auf beiden Seiten x addieren)
A1 => x + (-1)x = x + (-x)
nach A4 ist x + (-x) = 0.
Also ist auch x + (-1)x = 0. Dann ist -x = (-1)x.
a und b habe kurz mit Komillitonen besprochen. c hab ganz alleine gemacht.
Ich bin für jede Bemerkung, Korrektur etc. sehr dankbar.
Viele Grüße
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:17 Mi 25.10.2006 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hallo kitamrofni,
Es wäre Hilfreich, wenn du A1 - A9 mal aufzählen könntest, bei uns hiessen die damals nämlich anders 
Zu a) kann ich aber schon was sagen:
[mm]x*0 = x*(0 + 0) = x*0 + x*0 [/mm]
=> x*0 ist neutrales Element der Addition = 0
Gruß,
Gono.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:30 Mi 25.10.2006 | | Autor: | Seppel |
Hallo kitamrofni!
Aufgabe a) ist ordentlich gelöst. Mit dem Tipp deines Professors kann man die Aufgabe auch angehen.
Und zwar ist $x*0 + 0 = x*0 = x*(0+0)=x*0 + x*0$, also $x*0+0=x*0+x*0$. Damit du jetzt $x*0=0$ zeigen kannst, musst du vorher bewiesen haben, dass aus $a+b=a+c$ folgt, dass $b=c$ ist.
Bei b) weiß ich nicht, warum du so viele Unterscheidungen machst. Es reicht eigentlich aus zu vermuten, dass [mm] $x\neq [/mm] 0$ bzw. [mm] $y\neq [/mm] 0$ ist und dadurch zu zeigen, dass jeweils die andere reelle Zahl gleich 0 sein muss.
Aufgabe c) ist soweit auch okay, bis auf den Schluss. Um zu zeigen, dass $(-1)x=-x$ ist, musst du zunächst die Eindeutigkeit des additiv Inverse von x zeigen, also dass es nur eine reelle Zahl gibt, die $x+b=0$ erfüllt.
Lobenswert finde ich, dass du dich streng daran gehalten hast, aufzuschreiben, welches Axiom du benutzt! :)
Zu a) wollte ich noch sagen, dass es zwar, wie oben gezeigt, mit dem Tipp deines Professors geht, ich es dennoch gut finde, dass du auch einen eigenen Weg gefunden hast. Selber auf so etwas zu kommen ist etwas, das man nicht unterschätzen sollte.
Liebe Grüße
Seppel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:51 Mi 25.10.2006 | | Autor: | piet.t |
Hallo,
noch ein kleiner Hinweis zu Aufgabe b):
Du sagst da "kenne zwei Vorgehensweisen" - das klingt so, als hättest Du zwei Wege um zum gleichen Ergebnis zu kommen. In Wahrheit zeigst du aber zwei verschiedene Dinge:
Deine "1. Vorgehensweise" zeigt
x*y = 0 [mm] \Leftarrow [/mm] x=0 oder y=0
Deine "2. Vorgehensweise" zeigt aber etwas anderes, nämlich
x*y = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] x=0 oder y=0
Man beachte den Unterschied in der Richtung der Pfeile...
In der Aufgabenstellung steht ein [mm] \gdw, [/mm] d.h. Du musst die Gültigkeit für beide Pfeilrichtungen zeigen, d.h. Du brauchst zur vollständigen Lösung der Aufgabe eigentlich beide Wege (wobei [mm] "\Leftarrow" [/mm] ja nur ein Spezialfall von a) ist).
Gruß
piet
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:37 Fr 27.10.2006 | | Autor: | kitamrofni |
Hallo,
@Gono
Körperaxiome sind bei mir folgendermaßen aufgelistet:
A1: a + b = b + a
A2: a + (b + c) = (a + b) + c
A3: Es gibt ein Element [mm] 0\in \IR [/mm] mit 0 + a = a
A4: Zu jedem [mm] a\in \IR [/mm] existiert das additive Inverse -a mit a + (-a) = 0
A5: a * b = b * a
A6: a*(b*c) = (a*b)*c
A7: Zu jedem [mm] x\in K\setminus\{0\} [/mm] existiert das multiplikative Inverse [mm] x^{-1} [/mm] mit [mm] x\cdot x^{-1}=1
[/mm]
A8: Es gibt ein Element [mm] 1\in [/mm] K mit 1*a=a (neutrales Element), und es ist [mm] 1\ne0.
[/mm]
A9: a*(b+c) = a*b+a*c
@Seppel Danke für den Lob!
@piet Danke für den Hinweis. Hab auf beide Richtungen bewiesen.
Schöne Grüße
kitamrofni
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