3 Beweise zu Teilverhältnissen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:12 Di 25.10.2005 | | Autor: | Andre |
hallo matheraum.
ich hoffe, dass diese 3 beweise die letzen 3 für die nächste zeit sein werden, bei denen ich nicht weiter komme (schreib morgen klausur und hab immernoch probleme mit dem "Beweisen zu Sätzen mit Teilverhältnissen" :( )
A)zum Dreieck:
Beweisen Sie:
In jedem dreieck schneiden sihc alle seiten halbierenden in einem Punkt S. Dieser Punkt S teilt jede der Seitenhalbierenden im verhältnis 2:1
Ansatz:
die vektroren [mm] \vec{c} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] gehen von A aus. [mm] \vec{a} [/mm] C
[mm] S_{a} [/mm] ist die Mitte der seite/ des vektors a
dann ist [mm] \vec{s_{a}}= [/mm] 1/2( [mm] \vec{c}+\vec{b})= \vec{b}+ \vec{a}/2
[/mm]
[mm] \vec{s_{c}}= \vec{c}/2 -\vec{b}
[/mm]
[mm] \overline{AS}=r*\overline{AS_{a}}
[/mm]
B)zum Rechteck:
gegben ist ein rechteckt ABCD. P liegt in de mitte zwischen [mm] \overline{BC} [/mm] und Q genau in der Mitte zwischen [mm] \overline{CD}.
[/mm]
die strecken [mm] \overline{AP} [/mm] und [mm] \overline{BQ} [/mm] schneiden sich im Punkt S.
zu zeigen ist, dass der Punkt S [mm] \overline{AP} [/mm] in dem verhältnis 4:1 und [mm] \overline{BQ} [/mm] 2:3.
Ansatzt:
[mm] \vec{AP} [/mm] = [mm] \vec{a}+ \vec{b}/2
[/mm]
[mm] \vec{AS} [/mm] = r * [mm] \vec{AP}= \vec{a}+ \vec{BS}
[/mm]
[mm] \vec{BQ} [/mm] = [mm] \vec{b}- \vec{a}/2
[/mm]
[mm] \vec{BS} [/mm] = k( [mm] \vec{BQ}
[/mm]
C)zum Parallelogramm
gegeben Parallelogramm ABCD. P teilt [mm] \overline{BC} [/mm] im verhältnis 1:n (n>0). [mm] \overline{AP} [/mm] und [mm] \overline{BD} [/mm] schneiden sich im Punkt S.
zu Zeigen:
der Punkt S teilst [mm] \overline{BD} [/mm] im verhältnis 1:(n+1).
hier fällt mir leider absolut gar nichts ein :(
ich hoffe mir kann jemand helfen!
mfg Andre
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hallo andre.
Bitte schreibe nicht gleich drei Aufgaben in deine Anfragen, dadurch verschlechterst du die Chance, schnell geholfen zu bekommen!
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> ich hoffe, dass diese 3 beweise die letzen 3 für die
> nächste zeit sein werden, bei denen ich nicht weiter komme
> (schreib morgen klausur und hab immernoch probleme mit dem
> "Beweisen zu Sätzen mit Teilverhältnissen" :( )
>
> A)zum Dreieck:
>
> Beweisen Sie:
> In jedem dreieck schneiden sihc alle seiten halbierenden
> in einem Punkt S. Dieser Punkt S teilt jede der
> Seitenhalbierenden im verhältnis 2:1
>
> Ansatz:
> die vektroren [mm]\vec{c}[/mm] und [mm]\vec{b}[/mm] gehen von A aus.
> [mm]\vec{a}[/mm] C
> [mm]S_{a}[/mm] ist die Mitte der seite/ des vektors a
>
und was ist hier [mm] $\vec{s_a}$? [/mm] Ortsvektor oder Seitenhalbierende?
Erst wenn du die Vektoren eindeutig definiert hast, kannst du damit arbeiten.
> dann ist [mm]\vec{s_{a}}=[/mm] 1/2( [mm]\vec{c}+\vec{b})= \vec{b}+ \vec{a}/2[/mm]
hier hast du das Durcheinander:
[mm] $\vec{s_{a}}= [/mm] 1/2( [mm] \vec{c}+\vec{b})$ [/mm] hier sind wohl Ortsvektoren gemeint
[mm] $\vec{s_{a}}= \vec{b}+ \vec{a}/2$ [/mm] sind es wohl eher die Vektoren auf den Dreiecksseiten?? ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Gruß informix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:07 Di 25.10.2005 | | Autor: | Andre |
da habe ich mich wohl misverständlich ausgedürckt.
[mm] \vec{S_{a}} [/mm] ist der vektor, der von dem Punkt A zur Seitenhalbierenden von a, [mm] S_{a} [/mm] = [mm] \vec{AS_{a}}
[/mm]
diesen vektor kann man ja als [mm] (\vec{c}+\vec{b})/2 [/mm] (teilverhältnis diagonalen im parallelogram) und als [mm] \vec{b}+\vec{a}/2 [/mm] darstellen
ich hab zur sicherheit mal ne skizze angefertigt.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: GIF) [nicht öffentlich]
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Hallo Andre
[Dateianhang nicht öffentlich]
Wir nehmen irgendwo im Raum den Koordinatenursprung O.
Wir haben:
[mm] \overrightarrow{b}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}\qquad \overrightarrow{c}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\qquad \overrightarrow{a}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}= \left( \overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\right) -\left( \overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}\right) = \overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}[/mm]
Da die Ebene zweidimensional ist, können alle Vektoren in ihr, durch zwei nichtparallele Vektoren ausgedrückt werden, z.B. [mm]\overrightarrow{b}[/mm] und [mm]\overrightarrow{c}[/mm]
Wir bezeichnen:
[mm]\overrightarrow{m}_{a}=\overrightarrow{AS_{a}} \qquad \overrightarrow{m}_{b}=\overrightarrow{BS_{b}} \qquad \overrightarrow{m}_{c}=\overrightarrow{CS_{c}}[/mm]
Aus der Zeichnung entnehmen wir:
[mm]\overrightarrow{m}_{a}=\bruch{\overrightarrow{b}+ \overrightarrow{c}}{2} \qquad \overrightarrow{m}_{b}=\bruch{\overrightarrow{b}}{2}- \overrightarrow{c}\qquad \overrightarrow{m}_{c}= \bruch{\overrightarrow{c}}{2}- \overrightarrow{b}[/mm]
Die Geraden, auf denen die m's liegen, haben die Gleichungen:
[mm]\overrightarrow{x}_{A}=\overrightarrow{OA}+s_{A}\cdot \overrightarrow{m}_{a}\qquad \overrightarrow{x}_{B}=\overrightarrow{OB}+s_{B}\cdot \overrightarrow{m}_{b}\qquad \overrightarrow{x}_{C}=\overrightarrow{OC}+s_{C}\cdot \overrightarrow{m}_{c}[/mm]
Wir schneiden jetzt ma mit mb:
[mm]\overrightarrow{x}_{A}=\overrightarrow{x}_{B}[/mm]
[mm]\overrightarrow{OS_{AB}}=\overrightarrow{OA}+s_{A}\cdot \overrightarrow{m}_{a}= \overrightarrow{OB}+s_{B}\cdot \overrightarrow{m}_{b}[/mm]
Von hier bestimmst du sA und sB für den Schnittpunkt [mm]S_{AB}[/mm].
Dann bestimmst du den Schnttpunkt [mm]S_{AC}[/mm] und siehst, dass sie gleich sind.
[mm]\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=s_{A}\cdot \overrightarrow{m}_{a}-s_{B}\cdot \overrightarrow{m}_{b}[/mm]
[mm]\overrightarrow{c}=s_{A}\left( \bruch{1}{2} \overrightarrow{b}+\bruch{1}{2} \overrightarrow{c}\right)- s_{B}\left( \bruch{1}{2} \overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}\right)[/mm]
[mm]\overrightarrow{b}\left( \bruch{1}{2} s_{A}-
\bruch{1}{2} s_{B} \right)+\overrightarrow{c}\left( \bruch{1}{2}
s_{A}+ s_{B} -1\right)=\overrightarrow{0}[/mm]
Da [mm] \overrightarrow{b} [/mm] und [mm] \overrightarrow{c} [/mm] linear unabhängig sind, kann diese Gleichung nur erfüllt werden wenn die Koeffizienten 0 sind.
Das ergibt ein LGS von zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten, dessen eindeutige Lösung:
[mm]s_{A} =s_{B}=\bruch{2}{3}[/mm]
ist.
[mm]\overrightarrow{OS_{AB}}=\overrightarrow{OA}+\bruch{2}{3}\ \overrightarrow{m}_{a}[/mm]
[mm]g(m_{a})\cap g(m_{c})=S_{AC}[/mm]
[mm]\overrightarrow{OS_{AC}}=\overrightarrow{OA}+t_{A}\cdot \overrightarrow{m}_{a}= \overrightarrow{OC}+t_{C}\cdot \overrightarrow{m}_{b}[/mm]
[mm]\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}=t_{A}\cdot \overrightarrow{m}_{a}-t_{C}\cdot \overrightarrow{m}_{c}[/mm]
[mm]\overrightarrow{b}=t_{A}\left( \bruch{1}{2} \overrightarrow{b}+\bruch{1}{2} \overrightarrow{c}\right)- t_{C}\left( \bruch{1}{2} \overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}\right)[/mm]
[mm]\overrightarrow{b}\left( \bruch{1}{2} t_{A}+
t_{C}-1 \right)+\overrightarrow{c}\left( \bruch{1}{2}
t_{A}- \bruch{1}{2} t_{C} \right)=\overrightarrow{0}[/mm]
[mm]t_{A}=t_{C}=\bruch{2}{3}[/mm]
[mm]\overrightarrow{OS_{AC}}=\overrightarrow{OA}+\bruch{2}{3} \overrightarrow{m}_{a}=\overrightarrow{OS_{AB}}[/mm]
Also:
[mm]S_{AB}=S_{AC}\stackrel{def.}{=}S[/mm]
Q.E.D.
Schöne Grüße, 
Ladis
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Hallo Andre
Du gehst bei allen Aufgaben nach dem gleichen Prinzip wie beim Schwerpunkt vor.
Schöne Grüße,
Ladis
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