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Forum "Differentiation" - 3 Fach Verkettete Funktion
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3 Fach Verkettete Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:21 Mi 12.02.2014
Autor: AlexBDD

Aufgabe
Berechnen Sie zuerst mittels logarithmischer Di erentiation und danach mittels Produktregel
fur die nachfolgenden Funktionen f die erste Ableitung f0.

f(x) = [mm] (x)^1/3 [/mm] * [mm] (1-x)^2/3 [/mm] * [mm] (1+x)^1/2 [/mm]
für (0 < x < 1)

Hallo, ich habe für diese Aufgabe leider überhaupt keinen Ansatz. Kann mir jemand helfen?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
        
Bezug
3 Fach Verkettete Funktion: Hinweise
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:48 Mi 12.02.2014
Autor: Loddar

Hallo Alex,

[willkommenmr] !!

Logarithmische Differentiation bedeutet, dass man zunächst bei der Funktionsgleichung auf beiden Seiten den natürlichen Logarithmus [mm]\ln(...)[/mm] anwendet.

[mm]y \ = \ x^{1/3}*(1-x)^{2/3}*(1+x)^{1/2}[/mm]

[mm]\ln(y) \ = \ \ln\left[x^{1/3}*(1-x)^{2/3}*(1+x)^{1/2}\right][/mm]

Anschließend kann man die MBLogarithmusgesetze anwenden und stark vereinfachen.

[mm]\ln(y) \ = \ \ln\left[x^{1/3}\right]+\ln\left[(1-x)^{2/3}\right]+\ln\left[(1+x)^{1/2}\right][/mm]

[mm]\ln(y) \ = \ \bruch{1}{3}*\ln(x)+\bruch{2}{3}*\ln(1-x)+\bruch{1}{2}*\ln(1+x)[/mm]


Erst dann geht es ans Differenzieren (und nicht die MBKettenregel vergessen).



Die Produktregel für 3 Faktoren lautet:

[mm]\left(u*v*w\right)' \ = \ u'*v*w+u*v'*w+u*v*w'[/mm]


Gruß
Loddar
Bezug
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