3 Kerne in 4 Kuchenstücken... < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:19 Fr 22.08.2008 | | Autor: | jhk |
| Aufgabe | In einer Kirschtorte befinden sich drei Kerne. Die Torte werde in 4 gleiche Teile zerschnitten. Man berechne die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:
a) alle Kerne befinden sich in einem bestimmten Stück
b) alle Kerne konzentrieren sich in einem Stück
c) die Kerne verteilen sich in verschiedenen Stücken |
Welcher Ansatz ist der richtige für Aufgabe a?
Meine erste einfache Idee, die mir immer noch einleuchtend erscheint:
Ich habe vier Kuchenstücke, drei Kerne.
Ich nehme meinen ersten Kern, tue ihn in den Kuchen. Mit einer Wkeit von 1/4 erwische ich das "bestimmte" Stück.
Dann nehme ich den zweiten, tue ihn auch in den Kuchen und erwische wieder mit einer Wkeit von 1/4 eben das "bestimmte" Stück.
Analog für den dritten Kern.
1/4³ -> 1,6%
ODER
Die Lösung, die ich zu der Aufgabe zur Verfügung habe, die ich soweit auch nachvollziehen kann:
[Dateianhang nicht öffentlich] -> 5%
Das unterm Bruchstrich gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, um 3 Kerne auf 4 Stücke zu verteilen. Das sind 20.
Das überm Bruchstrich gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, bei der sich alle 3 Kerne in einem bestimmten Stück befinden. Dafür gibt es exakt eine Möglichkeit.
Da alle Möglichkeiten gleich wahrscheinlich sind, ergibt sich die Wahrscheinlichkeit zu 1/20 => 5%
Welcher Ansatz ist der richtige und warum ist der jeweils andere Weg falsch?
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.mastersforum.de/thread.php?threadid=38735
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Der erste Lösungsweg ist richtig.
Im zweiten Ansatz benützt du die Formel für ungeordnete
Stichproben mit Wiederholungen, welche hier fehl am Platz ist.
Man muss, damit die Elementarereignisse gleich wahrscheinlich
sind, mit geordneten Stichproben "Variationen" rechnen.
Die [mm] \vektor{4+3-1\\3}=20 [/mm] ungeordneten Stichproben mit
Wiederholungen sind nicht alle gleich wahrscheinlich.
Wenn wir die 4 Kuchenstücke mit a,b,c,d bezeichnen, gibt
es 20 ungeordnete Stichproben mit Wdh., nämlich
[mm] \{a,a,a\},\{a,a,b\},\{a,a,c\},\{a,a,d\},\{a,b,b\},\{a,b,c\}, [/mm] ...... [mm] ,\{d,d,d\}.
[/mm]
Die Kombination [mm] \{a,b,c\} [/mm] kann auf 6 verschiedene Arten
[m]\ , , , , , [/m]
zustande kommen (Permutationen der 3 Stücke, welche
einen Kern enthalten !) und hat deshalb eine 6 mal grössere
W'keit als die Kombination [mm] \{a,a,a\}, [/mm] bei welcher alle drei
Kerne im Stück a landen. Auf die ungeordneten Stichproben
mit Wiederholungen kann also die Formel [mm] p=\bruch{g}{m} [/mm] nicht
angewandt werden.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:46 Fr 22.08.2008 | | Autor: | jhk |
Ein Kommilitone meint dazu:
Es ist zwar richtig, daß man die Kombination {a,b,c} auf 6 verschiedene Arten und Weisen erzeugen kann, nämlich indem ich jeweils den ersten Kern, den zweiten Kern oder den dritten Kern in Teil a stecke und die beiden anderen Kerne genauso auf die Teile b und c aufteile, aber die gleiche Anzahl an Möglichkeiten erhalte ich auch, wenn alle drei Kerne in einem Stück sind.
Angenommen die Kerne wären unterscheidbar und man bezeichnet sie mit 1,2,3. Dann kann man analog für alle drei Kerne in einem Stück schreiben:
[mm] , [/mm] aber auch [mm] [/mm] wäre denkbar, oder jede beliebige andere Permutation.
Da die Kerne aber nicht unterscheidbar sind, sind diese Permutationen genauso wenig unterscheidbar, wie die genannten Permutationen bei denen alle drei Kerne auf die Teile a,b,c verteilt sind. Die Anzahl dieser Permutationen ist aber die gleiche, weshalb auch die Wahrscheinlichkeit dafür, daß alle drei Kerne im gleichen Kuchenstück sind, genauso groß sein müsste, wie die Wahrscheinlichkeit, daß sie sich in drei unterschiedlichen Stücken aufhalten.
Hat er damit nicht recht?
Grüße,
jhk
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> Ein Kommilitone meint dazu:
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> Es ist zwar richtig, daß man die Kombination {a,b,c} auf 6
> verschiedene Arten und Weisen erzeugen kann, nämlich indem
> ich jeweils den ersten Kern, den zweiten Kern oder den
> dritten Kern in Teil a stecke und die beiden anderen Kerne
> genauso auf die Teile b und c aufteile, aber die gleiche
> Anzahl an Möglichkeiten erhalte ich auch, wenn alle drei
> Kerne in einem Stück sind.
>
> Angenommen die Kerne wären unterscheidbar und man
> bezeichnet sie mit 1,2,3. Dann kann man analog für alle
> drei Kerne in einem Stück schreiben:
> [mm],[/mm] aber auch [mm][/mm] wäre denkbar, oder
> jede beliebige andere Permutation.
>
> Da die Kerne aber nicht unterscheidbar sind, sind diese
> Permutationen genauso wenig unterscheidbar, wie die
> genannten Permutationen bei denen alle drei Kerne auf die
> Teile a,b,c verteilt sind. Die Anzahl dieser Permutationen
> ist aber die gleiche, weshalb auch die Wahrscheinlichkeit
> dafür, daß alle drei Kerne im gleichen Kuchenstück sind,
> genauso groß sein müsste, wie die Wahrscheinlichkeit, daß
> sie sich in drei unterschiedlichen Stücken aufhalten.
>
>
> Hat er damit nicht recht?
Ja ! Er hat damit nicht recht !
Das Beispiel ist analog zum Beispiel der Familie mit zwei
Kindern. Die Wahrscheinlichkeit, dass es zwei Mädchen sind,
ist auch nicht gleich gross wie die Wahrscheinlichkeit, dass
es zwei Kinder unterschiedlichen Geschlechts sind.
LG
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Irgendwie erscheint mir deine Ansatz und die Formel zu kompliziert für so eine "einfache" Aufgabe.
> a) alle Kerne befinden sich in einem bestimmten Stück
Die Wahrscheinlichkeit, dass sich Kern 1 in diesem Stück befindet, ist 1:4
Die Wahrscheinlichkeit, dass sich Kern 2 in diesem Stück befindet, ist 1:4
Die Wahrscheinlichkeit, dass sich Kern 3 in diesem Stück befindet, ist 1:4
Die Gesamtwahrscheinlichkeit ist also [mm] \bruch{1}{4}*\bruch{1}{4}*\bruch{1}{4}
[/mm]
> b) alle Kerne konzentrieren sich in einem Stück
Es ist egal, in welchem Stück sich der Kern 1 befindet
Die Wahrscheinlichkeit, dass sich Kern 2 im selben Stück befindet, ist 1:4
Die Wahrscheinlichkeit, dass sich Kern 3 im selben Stück befindet, ist 1:4
Die Gesamtwahrscheinlichkeit ist also [mm] \bruch{1}{4}*\bruch{1}{4} [/mm]
> c) die Kerne verteilen sich in verschiedenen Stücken
Es ist egal, in welchem Stück sich der Kern 1 befindet
Die Wahrscheinlichkeit, dass sich Kern 2 in einem anderen Stück befindet, ist 3:4
Die Wahrscheinlichkeit, dass sich Kern 3 in einem noch freien Stück befindet, ist 2:4 (=1:2)
Die Gesamtwahrscheinlichkeit ist also [mm] \bruch{3}{4}*\bruch{1}{2}
[/mm]
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