3 Vektoren lin. abh. machen < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:09 Mi 16.05.2012 | | Autor: | Jack159 |
| Aufgabe | Gegeben sei folgende Menge von Vektoren:
M={ [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3} [/mm] , [mm] \vektor{0 \\ 2 \\ 1}, \vektor{1 \\ 0 \\ a} [/mm] }
Bestimmen Sie alle Zahlen für a so, dass die Vektoren linear abhängig werden. |
Hallo,
Offensichtlich ist schonmal a=2 eine Lösung. Denn dann erhält man
M={ [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3} [/mm] , [mm] \vektor{0 \\ 2 \\ 1}, \vektor{1 \\ 0 \\ 2} [/mm] }
Und man kann den ersten Vektor durch Linearkombination des zweiten und dritten Vektors ausdrücken mit 1 [mm] *\vektor{0 \\ 2 \\ 1}+1* \vektor{1 \\ 0 \\ 2}=\vektor{1 \\ 2 \\ 3}
[/mm]
Die Lösung a=2 habe ich aber nur durch bloßes hingucken "erraten". Rechnerisch habe ich zwar gezeigt, dass a=2 eine Lösung ist, aber woher weiß ich, dass a=2 die einzige Lösung ist? Bzw. wie würde ich a bestimmen können, wenn ich das jetzt nicht durch bloßes hingucken gewusst hätte? Dann müsste ich a ja irgendwie rechnerisch bestimmen können, aber wie?
Mein erster Gedanke wäre jetzt ein Gleichungssystem aufzustellen. Dann hätten wir 3 Gleichungen mit jedoch 4 Unbekannten.....
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:27 Mi 16.05.2012 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Für eine Linearkombination der drei Vektoren muss es Parameter [mm] \lambda, \mu [/mm] un [mm] \nu [/mm] geben, so dass.
[mm] \lambda\cdot\vektor{1\\
2\\
3}+\mu\cdot\vektor{0\\
2\\
1}+\nu\cdot\vektor{1\\
0\\
a}=\vec{0} [/mm]
Ich habe bewisst griechische Buchstaben für die Parameter gewählt, da diese eine andere Rolle als das a spielen.
Sicherlich ist [mm] \lambda=\mu=\nu=0 [/mm] eine Lösung, aber evtl nicht die einzige.
Stellen wir mal das GLS auf.
Damit bekommst du:
[mm] \begin{vmatrix}\lambda+\nu=0\\
2\lambda+2\mu=0\\
3\lambda+\mu+a\cdot\nu=0\end{vmatrix} [/mm]
[mm] \stackrel{0,5\cdot II}{\Leftrightarrow}\begin{vmatrix}\lambda+\nu=0\\
\lambda+\mu=0\\
3\lambda+\mu+a\cdot\nu=0\end{vmatrix} [/mm]
[mm]\stackrel{3\cdotI-III;I-II}{\Leftrightarrow}\begin{vmatrix}\lambda+\nu=0\\
-\mu+\nu=0\\
-\mu+(3-a)\cdot\nu=0\end{vmatrix} [/mm]
[mm] $\stackrel{II-III}{\Leftrightarrow}\begin{vmatrix}\lambda+\nu=0\\ -\mu+\nu=0\\ (2+a)\cdot\nu=0\end{vmatrix} [/mm] $
Jetzt haben wir den eigentlich interessanten Fall in der letzten Gleichung stehen.
Die Gleichung $ [mm] (2+a)\cdot\nu=0 [/mm] $ ist fur a=2 unabhängig von [mm] \nu [/mm] erfüllt, also ist a=2 schonmal ein Sonderfall.
Für [mm] a\ne2 [/mm] folgt aus $ [mm] (2+a)\cdot\nu=0 [/mm] $, dass [mm] \nu=0. [/mm] Damit gilt dann (Gleichung 2) auch [mm] \mu=0 [/mm] und damit nach Gleichung 1 auch [mm] \lambda=0
[/mm]
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:40 Mi 16.05.2012 | | Autor: | fred97 |
Stelle die 3 Vektoren in eine 3x3 - Matrix M
Die 3 Voktoren sind l.a. [mm] \gdw [/mm] det(M)=0
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:57 Mi 16.05.2012 | | Autor: | Jack159 |
Ok, danke euch beiden ;)
|
|
|
|
