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| Aufgabe | | Betrachte [mm] f=X^4-2X-2\in \IC[X] [/mm] und zeige, dass das Polynom in [mm] \IC [/mm] vier paarweise verschiedene Nullstellen [mm] \{x_1, x_2, x_3, x_4 \} [/mm] hat und berechne [mm] r:=x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2. [/mm] |
Hallo,
ich bin leider schon wieder hilflos und weiss nicht, wie man da vorgehen könnte. Ich hab bisher nur, dass man nach dem Fundamentalsatz der Algebra höchstens 4 verschiedene Nullstellen in [mm] \IC [/mm] bekommt.
Und ich will mal meine bisherigen Gedanken hier zusammensammeln, die ich mir bisher dazu gemacht habe, aber mich nicht so richtig zu was kommen lassen:
Hab jetzt, dass das Polynom irreduzibel über [mm] \IQ[X] [/mm] ist (falls man das braucht) Und in [mm] L=\IQ[X]/(X^4-2X-2) [/mm] ist X eine Nullstelle
Bzw hab ich durch Untersuchung von Monotonie und aus Gradgründen, dass das Polynom zwei verschiedene Nullstellen hat, die sogar in [mm] \IR [/mm] liegen. Liegen die dann beide in L? Nur irgendwie weiss ich nicht, wie ich das ganze algebraisch weiter untersuchen soll.
Wäre über Hilfe sehr dankbar!
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:35 Di 18.12.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Betrachte [mm]f=X^4-2X-2\in \IC[X][/mm] und zeige, dass das Polynom
> in [mm]\IC[/mm] vier paarweise verschiedene Nullstellen [mm]\{x_1, x_2, x_3, x_4 \}[/mm]
> hat und berechne [mm]r:=x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2.[/mm]
>
> ich bin leider schon wieder hilflos und weiss nicht, wie
> man da vorgehen könnte. Ich hab bisher nur, dass man nach
> dem Fundamentalsatz der Algebra höchstens 4 verschiedene
> Nullstellen in [mm]\IC[/mm] bekommt.
> Und ich will mal meine bisherigen Gedanken hier
> zusammensammeln, die ich mir bisher dazu gemacht habe, aber
> mich nicht so richtig zu was kommen lassen:
> Hab jetzt, dass das Polynom irreduzibel über [mm]\IQ[X][/mm] ist
> (falls man das braucht)
Das brauchst du nicht.
> Und in [mm]L=\IQ[X]/(X^4-2X-2)[/mm] ist X
> eine Nullstelle
> Bzw hab ich durch Untersuchung von Monotonie und aus
> Gradgründen, dass das Polynom zwei verschiedene
> Nullstellen hat, die sogar in [mm]\IR[/mm] liegen. Liegen die dann
> beide in L?
Haengt davon ab wie die Galoisgruppe von [mm] $X^4 [/mm] - 2 X - 2$ aussieht :) Aber das brauchst du auch nicht.
> Nur irgendwie weiss ich nicht, wie ich das
> ganze algebraisch weiter untersuchen soll.
Wenn das Polynom nicht vier verschiedene Nullstellen hat, muss es eine mehrfache Nullstelle haben. Weisst du, wie man sowas ausschliesst (hat was mit der Ableitung zu tun)?
Und zum zweiten Teil der Aufgabe: weisst du etwas ueber symmetrische und elementarsymmetrische Polynome und den Satz von Vieta?
LG Felix
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Hallo, danke für deine Hilfe!
Wie meinst du das, also dass es davon abhängt, wie die Galoisgruppe von f aussieht? (Auch wenn ich das nicht brauche)
also erstmal zum 1.Teil: Also dass f mehrfache Nullstelle y hat ist äquivalent dazu, dass f'(y)=0 ist? das wäre dann aber wenn man ausrechnet f'(X)=0 [mm] \gdw X=\frac{1}{\wurzel[3]{2}}. [/mm] Aber in f eingesetzt kommt da etwas [mm] \not= [/mm] 0 raus, kann man dann schon sagen, dass f nur einfache nullstellen haben kann? ... irgendwie kriege ich das nicht hin sorry =( würde das gerne aber mit eurer Hilfe schaffen. Meintest du da denn sowas in der Richtung?
Zum 2.Teil: Satz von Vieta und sowas... nicht so richtig, ich werde mich aber da dann mal informieren drüber. Bin erstmal froh, wenn der 1.Teil geschafft ist.
Lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:17 Do 20.12.2012 | | Autor: | hippias |
> Hallo, danke für deine Hilfe!
> Wie meinst du das, also dass es davon abhängt, wie die
> Galoisgruppe von f aussieht? (Auch wenn ich das nicht
> brauche)
> also erstmal zum 1.Teil: Also dass f mehrfache Nullstelle
> y hat ist äquivalent dazu, dass f'(y)=0 ist? das wäre
> dann aber wenn man ausrechnet f'(X)=0 [mm]\gdw X=\frac{1}{\wurzel[3]{2}}.[/mm]
> Aber in f eingesetzt kommt da etwas [mm]\not=[/mm] 0 raus, kann man
> dann schon sagen, dass f nur einfache nullstellen haben
> kann?
Ja, das ist bereits ausreichend.
> ... irgendwie kriege ich das nicht hin sorry =(
> würde das gerne aber mit eurer Hilfe schaffen. Meintest du
> da denn sowas in der Richtung?
> Zum 2.Teil: Satz von Vieta und sowas... nicht so richtig,
> ich werde mich aber da dann mal informieren drüber. Bin
> erstmal froh, wenn der 1.Teil geschafft ist.
> Lg
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Gut, danke. Ich hoffe, dass jemand noch was zu dem Punkt mit der Galoisgruppe von f sagen könnte.
Und zum 2.Teil: jetzt weiss man ja garnicht, wie die Nullstellen genau aussehen, wie funktioniert das denn dann da? Das ist eine alte Klausuraufgabe, die ich aus dem Internet gefischt habe, ich weiss nicht, ob das mit dem 2.Teil auch so bei uns abgefragt werden könnte. Aber ich wäre sehr froh, wenn man das trotzdem klären könnte, wie das geht.
Lieben Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:30 Do 20.12.2012 | | Autor: | hippias |
Mein Tip: Du weisst, dass $f= [mm] (X-x_{1})(X-x_{2})(X-x_{3})(X-x_{4})$. [/mm] Durch Ausmultiplizieren und Koeffizentenvergleich erhaelst Du ein paar Gleichungen, mit deren Hilfe Du die Summe ermitteln kannst.
Wenn Du Lust hast, kannst Du natuerlich auch die Galoisgruppe bestimmen - es ist eine sinnvolle Uebung - aber notwendig ist es nicht.
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Hallo, danke für eure Hilfe. Habe jetzt wegen den ganzen Feiertagen die da kamen nicht mehr an Mathe setzen können. Die Aufgabe habe ich aber nicht vergessen.
Ich würde es gerne mit beiden Methoden schaffen, wir hatten sogar noch in der letzten Vorlesung elementarsymmetrische Polynome kennengelernt. Galoisgruppen bestimmen ist jetzt auch neu für mich, kommt jetzt erst dran und hab das noch nie gemacht, würde ich aber auch gern über diesen Weg machen. Nur erstmal, was bringt einem denn hier die Galoisgruppe, also wieso kann man an der den hier im Bezug auf der Aufgabe alles erkennen? Was hilft einem das, r zu berechnen?
Erstmal mit der 1. Methode: ich habs ausgeklammert
[mm] (X-x_1)(X-x_2)(X-x_3)(X-x_4)=X^4-(x_1+x_2+x_3+x_4)X^3+(x_3x_4+x_2x_4+x_2x_3+x_1x_4+x_1x_3+x_1x_2)X^2-(x_2x_3x_4+x_1x_3x_4+x_1x_2x_4+x_1x_2x_3)X+x_1x_2x_3x_4 [/mm] und jetzt Koeffizientenvergleich:
[mm] 0=-(x_1+x_2+x_3+x_4), [/mm]
[mm] 0=x_3x_4+x_2x_4+x_2x_3+x_1x_4+x_1x_3+x_1x_2
[/mm]
[mm] -2=-(x_2x_3x_4+x_1x_3x_4+x_1x_2x_4+x_1x_2x_3)
[/mm]
[mm] -2=x_1x_2x_3x_4
[/mm]
Dh. meine 4 Gleichungen
1. [mm] 0=x_1+x_2+x_3+x_4
[/mm]
2. [mm] 0=x_3x_4+x_2x_4+x_2x_3+x_1x_4+x_1x_3+x_1x_2
[/mm]
3. [mm] 2=x_2x_3x_4+x_1x_3x_4+x_1x_2x_4+x_1x_2x_3
[/mm]
4. [mm] -2=x_1x_2x_3x_4
[/mm]
War das so gemeint? Aber wie kann man jetzt sinnvoll daraus r berechnen, bzw. weiterrechnen?
Würde mich sehr über Hilfe freuen! Lg
habe noch ergänzt: habe jetzt gelesen, dass Automorphismen aus der Galoisgruppe Nullstellen auf Nullstellen abbilden, d.h. [mm] x_i [/mm] wird auf [mm] x_j [/mm] abgebildet. Aber welche Körpererweiterung betrachtet man hier überhaupt?
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Hallo Schachtel,
r zu bestimmen, ist jetzt nicht mehr schwierig.
> Hallo, danke für eure Hilfe. Habe jetzt wegen den ganzen
> Feiertagen die da kamen nicht mehr an Mathe setzen können.
Was macht dann den Feiertag zum Feiertag? 
> Die Aufgabe habe ich aber nicht vergessen.
> Ich würde es gerne mit beiden Methoden schaffen, wir
> hatten sogar noch in der letzten Vorlesung
> elementarsymmetrische Polynome kennengelernt. Galoisgruppen
> bestimmen ist jetzt auch neu für mich, kommt jetzt erst
> dran und hab das noch nie gemacht, würde ich aber auch
> gern über diesen Weg machen. Nur erstmal, was bringt einem
> denn hier die Galoisgruppe, also wieso kann man an der den
> hier im Bezug auf der Aufgabe alles erkennen? Was hilft
> einem das, r zu berechnen?
Keine Ahnung. Ich lasse die Frage daher halboffen.
> Erstmal mit der 1. Methode: ich habs ausgeklammert
> [mm](X-x_1)(X-x_2)(X-x_3)(X-x_4)=X^4-(x_1+x_2+x_3+x_4)X^3+(x_3x_4+x_2x_4+x_2x_3+x_1x_4+x_1x_3+x_1x_2)X^2-(x_2x_3x_4+x_1x_3x_4+x_1x_2x_4+x_1x_2x_3)X+x_1x_2x_3x_4[/mm]
> und jetzt Koeffizientenvergleich:
> [mm]0=-(x_1+x_2+x_3+x_4),[/mm]
> [mm]0=x_3x_4+x_2x_4+x_2x_3+x_1x_4+x_1x_3+x_1x_2[/mm]
Bis hier reicht das doch.
[mm] (x_1+x_2+x_3+x_4)^2=(x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2)+2(x_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4+x_3x_4)
[/mm]
Grüße
reverend
> [mm]-2=-(x_2x_3x_4+x_1x_3x_4+x_1x_2x_4+x_1x_2x_3)[/mm]
> [mm]-2=x_1x_2x_3x_4[/mm]
> Dh. meine 4 Gleichungen
> 1. [mm]0=x_1+x_2+x_3+x_4[/mm]
> 2. [mm]0=x_3x_4+x_2x_4+x_2x_3+x_1x_4+x_1x_3+x_1x_2[/mm]
> 3. [mm]2=x_2x_3x_4+x_1x_3x_4+x_1x_2x_4+x_1x_2x_3[/mm]
> 4. [mm]-2=x_1x_2x_3x_4[/mm]
> War das so gemeint? Aber wie kann man jetzt sinnvoll
> daraus r berechnen, bzw. weiterrechnen?
> Würde mich sehr über Hilfe freuen! Lg
> habe noch ergänzt: habe jetzt gelesen, dass
> Automorphismen aus der Galoisgruppe Nullstellen auf
> Nullstellen abbilden, d.h. [mm]x_i[/mm] wird auf [mm]x_j[/mm] abgebildet.
> Aber welche Körpererweiterung betrachtet man hier
> überhaupt?
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ah okay, danke. Hmm naja die ganzen Weihnachtstage die Familientreffen und an Silvester das gefeiere ist bei uns immer Tradition^^.
Oh, da steht dann ja jetzt schon r mit in der Gleichung. Muss ich dann da noch das ganze da einsetzen und ist r=0?
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Hallo nochmal,
> ah okay, danke. Hmm naja die ganzen Weihnachtstage die
> Familientreffen und an Silvester das gefeiere ist bei uns
> immer Tradition^^.
Echt? Sowas habe ich ja noch nie gehört...
> Oh, da steht dann ja jetzt schon r mit in der Gleichung.
> Muss ich dann da noch das ganze da einsetzen und ist r=0?
Naja, aus [mm] (-0)^2=r+2*0 [/mm] kann ich nichts anderes folgern.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:34 So 06.01.2013 | | Autor: | Schachtel5 |
Hihi:)
ok super, danke dir!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Sa 12.01.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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