A. Geometrie -Inkugel Pyramide < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:08 Di 29.07.2008 | | Autor: | Brummsel |
| Aufgabe | Dem Würfel ABCDEFGH der Kantenlänge k ist das Tetraeder BDEG einbeschrieben.
Betrachten Sie die Pyramide ABDE. Begründen Sie, dass für die Koordinaten des Mittelpunkts der Inkugel dieser Pyramide gilt: M = (m|m|m). Ermitteln Sie die Koordinaten von M in Abhängigkeit von k. |
Vorab: Ich hoffe, ihr versteht die Frage auch ohne die Skizze des Würfels (im Ursprung liegt A, auf der x1-Achse liegt der Punkt B, auf x2-Achse der Punkt D, E liegt über A im Abstand k)
Frage: Wie ermittle ich M?
Lösungsansatz: Ich denke, dass man die Ebenengleichung der 4 Flächen der Pyramide aufstellen muss, dann über die Hess'sche Normalengleichung den Abstand M von den Ebenen berechnen muss (durch Gleichsetzung).
Der Mittelpunkt der Umkugel muss auf der Raumdiagonalen g:x= r [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] liegen, dies ist mir klar. D.h. ich habe einen Geradenpunkt, der von allen Ebenen den gleichen Abstand in Abhängigkeit von k besitzen muss.
An dieser Stelle fehlt mir leider der weiterführende Gedanke - ich hoffe ihr könnt mir helfen 
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:18 Di 29.07.2008 | | Autor: | abakus |
> Dem Würfel ABCDEFGH der Kantenlänge k ist das Tetraeder
> BDEG einbeschrieben.
>
> Betrachten Sie die Pyramide ABDE. Begründen Sie, dass für
> die Koordinaten des Mittelpunkts der Inkugel dieser
> Pyramide gilt: M = (m|m|m). Ermitteln Sie die Koordinaten
> von M in Abhängigkeit von k.
> Vorab: Ich hoffe, ihr versteht die Frage auch ohne die
> Skizze des Würfels (im Ursprung liegt A, auf der x1-Achse
> liegt der Punkt B, auf x2-Achse der Punkt D, E liegt über A
> im Abstand k)
> Frage: Wie ermittle ich M?
> Lösungsansatz: Ich denke, dass man die Ebenengleichung der
> 4 Flächen der Pyramide aufstellen muss, dann über die
> Hess'sche Normalengleichung den Abstand M von den Ebenen
> berechnen muss (durch Gleichsetzung).
> Der Mittelpunkt der Umkugel muss auf der Raumdiagonalen
> g:x= r [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm] liegen, dies ist mir klar. D.h.
> ich habe einen Geradenpunkt, der von allen Ebenen den
> gleichen Abstand in Abhängigkeit von k besitzen muss.
> An dieser Stelle fehlt mir leider der weiterführende
> Gedanke - ich hoffe ihr könnt mir helfen
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Hallo,
die drei im Koordinatenursprung A aneinanderstoßenden Seitenfächen liegen ja in der x1-x2-Ebene bzw. x2-x3-Ebene bzw. in der x1-x3-Ebene.
Der Inkugel-Mittelpunkt muss also von allen 3 Koordinatenebenen den gleichen Abstand r haben. Seine Koordinaten sind deshalb (r,r,r).
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:48 Di 29.07.2008 | | Autor: | Brummsel |
> Hallo,
> die drei im Koordinatenursprung A aneinanderstoßenden
> Seitenfächen liegen ja in der x1-x2-Ebene bzw. x2-x3-Ebene
> bzw. in der x1-x3-Ebene.
> Der Inkugel-Mittelpunkt muss also von allen 3
> Koordinatenebenen den gleichen Abstand r haben. Seine
> Koordinaten sind deshalb (r,r,r).
> Gruß Abakus
Dass der Mittepunkt (m|m|m) ist, steht so ja schon in der Aufgabenstellung. Gesucht werden aber die genauen Koordinaten des Mittelpunkts in Abhängigkeit von k, und an dieser Stelle habe ich noch keinen Lösungsansatz.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:58 Di 29.07.2008 | | Autor: | abakus |
> > Hallo,
> > die drei im Koordinatenursprung A aneinanderstoßenden
> > Seitenfächen liegen ja in der x1-x2-Ebene bzw. x2-x3-Ebene
> > bzw. in der x1-x3-Ebene.
> > Der Inkugel-Mittelpunkt muss also von allen 3
> > Koordinatenebenen den gleichen Abstand r haben. Seine
> > Koordinaten sind deshalb (r,r,r).
> > Gruß Abakus
>
>
> Dass der Mittepunkt (m|m|m) ist, steht so ja schon in der
> Aufgabenstellung. Gesucht werden aber die genauen
> Koordinaten des Mittelpunkts in Abhängigkeit von k, und an
> dieser Stelle habe ich noch keinen Lösungsansatz.
Die vierte Dreiecksfläche ist ein gleichseitiges Dreieck und wird von der Geraden durch A und den Inkugelmittelpunkt M senkrecht im Punkt S durchstoßen (und von der Kugel im Punkt S berührt.
Ermittle diesen Durchstoßpunkt S (Aufgabentyp: Schnittpunkt Gerade-Ebene ermitteln).
Der Abstand von S zu M(r,r,r) ist ebenfalls r.
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(Ansatz dann also [mm] |\overrightarrow{MS}|=r)
[/mm]
Gruß Abakus
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