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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:30 So 20.03.2011 | | Autor: | Lippel |
| Aufgabe | | Zeigen sie, dass die [mm] $A_5$ [/mm] keinen nichttrivialen Normalteiler enthält. |
Hallo,
ich komme mit meinem Beweis leider nicht ganz zum Ende.
Mithilfe der Kommutatorgruppe [mm] $[A_5,A_5]$ [/mm] habe ich gezeigt, dass [mm] $A_5$ [/mm] der kleinste Normalteiler $N [mm] \trianglelefteq A_5$ [/mm] ist, sodass [mm] $A_5/N$ [/mm] abelsch ist.
Edit: Mir ist gerade aufgefallen, dass die folgende Herleitung nicht stimmt. Kann man trotzdem begründen, dass N unter Operation auf [mm] $\{1,2,3,4,5\}$ [/mm] nur eine Bahn hat, wenn $N [mm] \not= \{1\}$?
[/mm]
Edit 2: Ich habe, denke ich, eine Möglichkeit gefunden zu zeigen, dass es nur eine Bahn geben kann:
Angenommen es existieren [mm] $x_i, x_j \in \{1,\ldots,5\}$ [/mm] sodass [mm] $\sigma(x_i) \not [/mm] = [mm] x_j$ [/mm] für alle [mm] $\sigma \in [/mm] N$. Dabei soll [mm] $\tau(x_i) [/mm] = [mm] x_k$ [/mm] gelten für mindestens ein [mm] $\tau \in [/mm] N$ (ein solches [mm] $x_i$ [/mm] existiert, da $N [mm] \not= \{1\}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow (x_i x_j)\tau(x_i x_j)(x_j) [/mm] = [mm] (x_i x_j)\tau(xi) [/mm] = [mm] x_k$
[/mm]
Also können wie Bahnen von [mm] $x_i, x_j$ [/mm] nicht disjunkt sein, wenn [mm] $N\:$ [/mm] Normalteiler ist.
Passt das?
Es existiert also nur eine [mm] $N\:$-Bahn [/mm] in [mm] $\{1,\ldots,5\}$, [/mm] nämlich [mm] $\{1,\ldots,5\}$. [/mm] Es ist also [mm] $\{1\}$ [/mm] ein Vertretersystem der Bahnen und mit der Bahnengleichung folgt:
$5 = ord [mm] \: \{1,\ldots,5\} [/mm] = [mm] (N:N_1) [/mm] = [mm] \frac{ord \: N}{ord \: N_1}$ [/mm] mit dem Stabilisator [mm] $N_1$ [/mm] von 1. Damit gilt $5 [mm] \:|\: [/mm] ord [mm] \:N$
[/mm]
Da ja nun $5 [mm] \:|\: [/mm] ord [mm] \:N \:|\: [/mm] 60$ gilt, ist $ord [mm] \: [/mm] N [mm] \in \{5,10,15,20,30\}$ [/mm] und damit [mm] $ord\: A_5/N \in \{2,3,4,6,12\}$. [/mm] Für 2,3,4 wäre damit [mm] $A_5/N$ [/mm] abelsch, was nicht sein kann. Aber was ist mit 6 und 12? Es gibt ja Gruppen dieser Ordnungen, die nicht abelsch sind. Kann mir hier jemand weiter helfen?
LG Lippel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:49 Mo 21.03.2011 | | Autor: | Tagesschau |
Hallo,
gucke in einem x-beliebigen Algebrabuch nach.
Grüße,
Tagesschau.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:12 Mo 21.03.2011 | | Autor: | Lippel |
Hallo,
das Problem ist, dass in allen Büchern, in denen ich den Beweis gefunden habe, ein vollkommen anderer Ansatz gewählt wurde. Da wurde nicht über die Kommutatorgruppe argumentiert, sondern über die Ordnung von Konjugationsklassen. Ich würde allerdings mit meinem Ansatz gerne zum Ziel kommen. Habe die Aufgabe aus einem Buch und die Stelle, an der die Aufgabe steht, suggeriert, dass man mithilfe der Kommutatorgruppe argumentieren soll.
LG Lippel
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:04 Mo 21.03.2011 | | Autor: | PeterB |
>
> Edit 2: Ich habe, denke ich, eine Möglichkeit gefunden zu
> zeigen, dass es nur eine Bahn geben kann:
> Angenommen es existieren [mm]x_i, x_j \in \{1,\ldots,5\}[/mm]
> sodass [mm]\sigma(x_i) \not = x_j[/mm] für alle [mm]\sigma \in N[/mm]. Dabei
> soll [mm]\tau(x_i) = x_k[/mm] gelten für mindestens ein [mm]\tau \in N[/mm]
> (ein solches [mm]x_i[/mm] existiert, da [mm]N \not= \{1\}[/mm]
> [mm]\Rightarrow (x_i x_j)\tau(x_i x_j)(x_j) = (x_i x_j)\tau(xi) = x_k[/mm]
>
> Also können wie Bahnen von [mm]x_i, x_j[/mm] nicht disjunkt sein,
> wenn [mm]N\:[/mm] Normalteiler ist.
> Passt das?
>
Es passt fast: N ist nur normal in [mm] $A_5$ [/mm] nicht in [mm] $S_5$ [/mm] und Transpositionen wie [mm] $(x_i x_j)$ [/mm] sind nicht gerade. Das kann man aber problemlos flicken, indem man [mm] $(x_i x_j)$ [/mm] durch [mm] $(x_i x_l x_j)$ [/mm] mit geeignetem [mm] $x_l$ [/mm] ersetzt.
>
> Da ja nun [mm]5 \:|\: ord \:N \:|\: 60[/mm] gilt, ist [mm]ord \: N \in \{5,10,15,20,30\}[/mm]
> und damit [mm]ord\: A_5/N \in \{2,3,4,6,12\}[/mm]. Für 2,3,4 wäre
> damit [mm]A_5/N[/mm] abelsch, was nicht sein kann. Aber was ist mit
> 6 und 12? Es gibt ja Gruppen dieser Ordnungen, die nicht
> abelsch sind. Kann mir hier jemand weiter helfen?
Quotienten von perfekten Gruppen (= die Kommutator-Untergruppe ist die ganze Gruppe) sind wieder perfekt. Und alle Gruppen der Ordnung kleiner 60 sind auflösbar (du brauchst es nur für Ordnungen 12 und 6) also folgt das Resultat. Es reicht übrigens zu wissen, dass diese Gruppen einen nicht trivialen Normalteiler haben. Dann folgt die Aussage über die nicht-Existenz eines maximalen Gegenbeispiels.
Gruß
Peter
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:16 Mi 23.03.2011 | | Autor: | Lippel |
Vielen Dank fürs erklären!
LG Lippel
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