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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:12 Di 01.11.2011 | | Autor: | Sandy90 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie alle Lösungen der DGL.
y' [mm] =y^{\bruch{2}{7}} [/mm] mit der AWA y(0)=1 |
als Lösung erhalte ich, nach einsetzen des AWA
y= [mm] (\bruch{5}{7} \cdot [/mm] x [mm] +1)^{\bruch{7}{5}} [/mm] )
ja... und für mich wäre die Aufgabe hier beendet, aber es kommt noch einiges an Lösung hinzu, die ich leider nicht verstehe. In der Musterlösung ist gegeben
y= [mm] (\bruch{5}{7} \cdot [/mm] x [mm] +1)^{\bruch{7}{5}} [/mm] ) (immerhin)
y= [mm] =\begin{cases} (\bruch{5}{7} \cdot x +1)^{\bruch{7}{5}}, & \mbox{für } x \ge -\bruch{7}{5} \\ 0, & \mbox{für } x < \bruch{7}{5} \end{cases}
[/mm]
Für c>1: y [mm] =\begin{cases} (\bruch{5}{7} \cdot x +1)^{\bruch{7}{5}}, & \mbox{für } x \ge -\bruch{7}{5} \\ 0, & \mbox{für } -\bruch{7}{5} \cdot C \le- \bruch{7}{5} \\ (\bruch{5}{7} \cdot x +c)^{\bruch{7}{5}}, & \mbox{für } x< -\bruch{7}{5} \cdot C \end{cases}
[/mm]
Ich verstehe ab der Lösung die ich raus habe nicht mehr wie vorgegangen wurde... Hier wurde eine Fallunterscheidung gemacht für c>1.... warum? und warum y=0 für x< -7/5 ???
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Bestimmen Sie alle Lösungen der DGL.
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> [mm]y´=y^{\bruch{2}{7}}[/mm] mit der AWA y(0)=1
Du scheinst für den Ableitungsstrich ein seltsames Symbol
zu verwenden, das hier unsichtbar bleibt !
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:37 Di 01.11.2011 | | Autor: | Sandy90 |
Danke, habe es korrigiert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:55 Di 01.11.2011 | | Autor: | hippias |
Die DGL (ohne die AW-Bedingung) hat auch die Loesung [mm] $y_{0}= [/mm] 0$. Zusammen mit der Loesung, die Du bereits gefunden hast, werden weitere Loesungen zusammeegesetzt. Die Ergebnisfunktionen muessen ja differenzierbar sein, sodass sich and den Raendern gewisse Bedingungen ergeben, ist z.B. $r$ eine Randstelle, so muss [mm] $y_{0}'(r)= [/mm] 0= y'(r)$ gelten. Daraus ergibt sich der Wert $r= [mm] -\bruch{-7}{5}$.
[/mm]
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> Bestimmen Sie alle Lösungen der DGL.
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> y' [mm]=y^{\bruch{2}{7}}[/mm] mit der AWA y(0)=1
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> als Lösung erhalte ich, nach einsetzen des AWA
>
> y= [mm](\bruch{5}{7} \cdot[/mm] x [mm]+1)^{\bruch{7}{5}}[/mm] )
>
> ja... und für mich wäre die Aufgabe hier beendet, aber es
> kommt noch einiges an Lösung hinzu, die ich leider nicht
> verstehe. In der Musterlösung ist gegeben
>
> y= [mm](\bruch{5}{7} \cdot[/mm] x [mm]+1)^{\bruch{7}{5}}[/mm] ) (immerhin)
>
> y= [mm]=\begin{cases} (\bruch{5}{7} \cdot x +1)^{\bruch{7}{5}}, & \mbox{für } x \ge -\bruch{7}{5} \\ 0, & \mbox{für } x < \bruch{7}{5} \end{cases}[/mm]
>
> Für c>1: y [mm]=\begin{cases} (\bruch{5}{7} \cdot x +1)^{\bruch{7}{5}}, & \mbox{für } x \ge -\bruch{7}{5} \\ 0, & \mbox{für } -\bruch{7}{5} \cdot C \le- \bruch{7}{5} \\ (\bruch{5}{7} \cdot x +c)^{\bruch{7}{5}}, & \mbox{für } x< -\bruch{7}{5} \cdot C \end{cases}[/mm]
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> Ich verstehe ab der Lösung die ich raus habe nicht mehr
> wie vorgegangen wurde... Hier wurde eine Fallunterscheidung
> gemacht für c>1.... warum? und warum y=0 für x< -7/5 ???
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Das ist hier ein Beispiel einer AWA mit nicht eindeutiger Lösung (geht natürlich nur, da hier die Voraussetzungen für den Satz von Picard-Lindelöf nicht erfüllt sind).
Deine Lösung ist schonmal eine mögliche Lösung. Durch Einsetzen sieht man leicht, dass auch y=0 Lösung der DGL ist. Da es bei deiner Lösung ein x (=-7/5) gibt mit y(x)=0, bedeutet das, dass sich zwei Lösungskurven kreuzen (was bei einer "anständigen" DGL nicht passiert). Damit ist es möglich, dass in diesem Kreuzungspunkt die Lösung "von einer Lösungskurve zur anderen wechselt", was die Lösungen mit y=0 für [mm] x\le [/mm] -7/5 zur Folge hat.
Die Lösungen mit dem C entstehen dadurch, dass der linke zweig der ursprünglichen Lösung (dort wo y<0) ein Stück nach links verschoben wird und die dann entstehende Lösungskurve auf dem "Zwischenstück" eine Weile 0 bleibt.
Du solltest dir die Graphen der Funktionen y(x) mal aufmalen, um zu verstehen, was da genau passiert.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:25 Di 01.11.2011 | | Autor: | Sandy90 |
Das ist hier ein Beispiel einer AWA mit nicht eindeutiger Lösung (geht natürlich nur, da hier die Voraussetzungen für den Satz von Picard-Lindelöf nicht erfüllt sind).
Heißt das ich muss immer, wenn nach "ALLE Lösungen" gefragt ist, Existenz und eindeutigkeit Prüfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:53 Di 01.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ja mußt du eigentlich, aber der häufigst fall ist der, bei dem y?0 oder y=konst eine weitere Lösung der Dgl ist. die geht insbesondere verloren, wenn man mit Trennung der Variablen arbeitet, also durch f(y) dividiert und nicht dazuschreibt [mm] f(y)\ne [/mm] 0
Beispiel [mm] y'=(y^2-1)*g(x) [/mm] y=1 und y=-1 y'=0 lösen die Dgl zusätzlich zu der "allgemeinen Lösung", die du mit Trennung der V. findest
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:07 Di 01.11.2011 | | Autor: | Sandy90 |
Hm... genügt es wenn ich schaue für welche Zahlen die Ausgangs DGL 0 wird :) dann brauch ich nicht mit picard-L. arbeiten. Ich habe das Prinzip wohl nicht ganz verstanden von Existenz und Eindeutigkeitssatz... Dazu muss ich gleich ein neuen thread eröfnnen mit eine neue Frage.... :(
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> Hm... genügt es wenn ich schaue für welche Zahlen die
> Ausgangs DGL 0 wird :) dann brauch ich nicht mit picard-L.
> arbeiten. Ich habe das Prinzip wohl nicht ganz verstanden
> von Existenz und Eindeutigkeitssatz... Dazu muss ich gleich
> ein neuen thread eröfnnen mit eine neue Frage.... :(
Naja, der "Normalfall" ist, dass die rechte Seite einer DGL differenzierbar ist, dann sind Anfangswertaufgaben immer eindeutig lösbar.
Und Nullstellen der Lösungen bringen nur dann Nicht-Eindeutigkeiten, wenn auch wie in der obigen Aufgabe die konstante Nullfunktion Lösung ist.
Dieser Typ Aufgabe dürfte aber nicht allzu oft vorkommen. Aber wenn explizit nach der "allgemeinen Lösung" gefragt ist, sollte man sich schon Gedanken machen, ob es neben der gefundenen noch weitere Lösungen geben kann.
Etwas anderes sind Aufgaben, wo nach der allgemeinen Lösung gefragt wird, ohne dass ein Anfangswert gegeben ist. In diesem Fall enthält die allgemeine Lösung typischerweise einen frei wählbaren Parameter c.
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