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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:23 Do 29.10.2015 | | Autor: | capri |
| Aufgabe | a) Berechnen Sie die Lösungen der folgenden Anfangswertprobleme
$ (x+y)y'=y-x $ wobei $y(1)=-1$
und
b) Weisen Sie nach, dass das AWP $ (x+y)y'=y-x $ wobei $y(0)=0$
keine Lösung besitzt. |
Hallo, ich hatte diese Aufgabe schon vor einigen Tagen gestellt.
Es gab natürlich einige Antworten, aber bei z.B a) gab es zwei verschiedene Meinungen.
bei a) wurde einmal gesagt es gibt keine Lösung und dann einmal es gibt eine Lösung.
bei b) weiß ich nicht wie ich anfangen soll.
(http://matheforum.net/read?t=1064968) hier ist der Link dazu.
Es war leicht verwirrend deswegen stelle ich es mal nochmal. Hoffe das man mir helfen kann :)
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:06 Fr 30.10.2015 | | Autor: | fred97 |
> a) Berechnen Sie die Lösungen der folgenden
> Anfangswertprobleme
>
> [mm](x+y)y'=y-x[/mm] wobei [mm]y(1)=-1[/mm]
>
> und
>
> b) Weisen Sie nach, dass das AWP [mm](x+y)y'=y-x[/mm] wobei [mm]y(0)=0[/mm]
> keine Lösung besitzt.
> Hallo, ich hatte diese Aufgabe schon vor einigen Tagen
> gestellt.
>
> Es gab natürlich einige Antworten, aber bei z.B a) gab es
> zwei verschiedene Meinungen.
>
> bei a) wurde einmal gesagt es gibt keine Lösung und dann
> einmal es gibt eine Lösung.
>
> bei b) weiß ich nicht wie ich anfangen soll.
>
> (http://matheforum.net/read?t=1064968) hier ist der Link
> dazu.
>
> Es war leicht verwirrend deswegen stelle ich es mal
> nochmal. Hoffe das man mir helfen kann :)
>
> LG
>
>
Bei a) gibts doch nix mehr zu diskutieren. Ich wiederhole mich:
Das Anfangswertproblem
$ (x+y)y'=y-x $,
$ y(1)=-1 $
hat keine Lösung ! Denn wäre $ y:I [mm] \to \IR [/mm] $ eine Lösung dieser Aufgabe, wobei $ I $ ein Intervall in $ [mm] \IR [/mm] $ mit $ 1 [mm] \in [/mm] I $ ist, so hätten wir
$ (1+y(1))y'(1)=y(1)-1 $.
Nun ist aber $ 1+y(1)=0 $ und $ y(1)-1=-2 $.
Das hätte $ 0=-2 $ zur Folge !
Was ist daran unklar ????
Zu b):
Wir nehmen an, das AWP
$ (x+y)y'=y-x $,
$ y(0)=0 $
hätte eine Lösung $y:I [mm] \to \IR$, [/mm] wobei $0 [mm] \in [/mm] I$ und I ein Intervall in [mm] \IR [/mm] ist.
Für alle x [mm] \in [/mm] I haben wir also
$ (x+y(x))y'(x)=y(x)-x $.
Für $x [mm] \in [/mm] I [mm] \setminus \{0\}$ [/mm] ergibt sich
(*) $ [mm] (1+\bruch{y(x)}{x})y'(x)=\bruch{y(x)}{x}-1 [/mm] $.
Wegen y(0)=0 können wir den Grenzwert [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{y(x)}{x} [/mm] wie folgt berechnen:
[mm] $\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{y(x)}{x} =\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{y(x)-y(0)}{x-0} [/mm] =y'(0)$.
In (*) lassen wir nun $x [mm] \to [/mm] 0$ gehen und bekommen:
$(1+y'(0))y'(0)=y'(0)-1$.
Das hat aber [mm] y'(0)^2=-1 [/mm]
zur Folge.
Damit sollte klar sein, das das AWP
$ (x+y)y'=y-x $,
$ y(0)=0$
keine Lösung hat.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:06 Fr 30.10.2015 | | Autor: | capri |
ok danke, ja weil zu a) kam ja noch das:
Das kann passieren, denn die Forderung y(0)=0 kann zu einem Widerspruch führen, während die Forderung y(1)=-1 tatsächlich zu einer speziellen Integrationskonstante C führt. von M.Rex
Damit meinte doch M.Rex dass es ein AWP für a) existiert.
das hat mich halt verwirrt...
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:09 Fr 30.10.2015 | | Autor: | fred97 |
> ok danke, ja weil zu a) kam ja noch das:
>
> Das kann passieren, denn die Forderung y(0)=0 kann zu einem
> Widerspruch führen, während die Forderung y(1)=-1
> tatsächlich zu einer speziellen Integrationskonstante C
> führt. von M.Rex
>
> Damit meinte doch M.Rex dass es ein AWP für a) existiert.
M:Rex irrt sich, wenn er meint, dass das AWP in a) eine Lösung hätte.
FRED
> das hat mich halt verwirrt...
>
> LG
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