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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:46 Fr 01.01.2010 | | Autor: | Lyrone |
| Aufgabe | Lösen Sie das folgende Anfangswertproblem:
[mm]\begin{matrix}
y_1' &=& 5y_1 && && \\
y_2' &=& && 2y_2 &+& y_3 \\
y_2' &=& -2y_1 &+& 3y_2 &+& 4y_3
\end{matrix}[/mm]
[mm]y_1(0) = 4, \ \ \ y_2(0) = 1, \ \ \ y_3(0) = 5[/mm] |
Hallo,
ich habe die Aufgabenstellung in eine Matrix gesetzt und habe die Eigenwarte
[mm]\lambda_1 = 1[/mm] und [mm]\lambda_{2/3} = 5[/mm] raus.
Mir ist klar das ich die Eigenvektoren ermitteln muss. Und diese werden dann nachher in [mm]y_i = e^{\lambda x} \cdot C_i[/mm] eingesetzt.
Allerdings habe ich mit doppelten, oder dreifachen gleichen Eigenwerten Probleme.
Habe mehrere Aufgaben, alle mit Musterlösung und jedesmal wird hier ein anderer Weg bestritten. Ich erkenne das System dahinter nicht.
z.B bei dieser Aufgabe wird [mm]y_2 = e^{5 x} \cdot C_2[/mm] gesetzt. Dann wird die 3te Vektorlösung mit [mm](A - 5E_3)^2 \cdot x = 0[/mm] ermittelt. Bei manch anderen Aufgaben, allerdings nicht. Da wird die 3te Vektorlösung, genauso wie die 2te aus [mm](A - 5E_3) \cdot x = 0[/mm] ermittelt.
Desweiteren wird dann meistens die 3te Vektorlösung nochmal bearbeitet mit:
[mm]y_3 = e^{\lambda x} \cdot (E_3 + x \cdot (A - 5E_3)) C_3[/mm]
auch hier habe ich schon gesehen, das folgende Variante genommen wird?
[mm]y_3 = e^{\lambda x} \cdot (C_3 + x \cdot (A - 5E_3)) C_3[/mm]
Wie erkenne ich, wie ich ansetzen muss? Habe gegoogelt, aber nichts passendes gefunden. Wäre dankbar wenn mir jemand das System dahinter erklären könnte. Bitte keine Wikipedia Links, habe ich zwar auch schon gesucht, aber den Text verstehe ich dort meistens nicht.
Frohes neues Jahr übrigens!
Schönen Gruß
Lyrone.
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Hallo Lyrone,
> Lösen Sie das folgende Anfangswertproblem:
>
> [mm]\begin{matrix}
y_1' &=& 5y_1 && && \\
y_2' &=& && 2y_2 &+& y_3 \\
y_2' &=& -2y_1 &+& 3y_2 &+& 4y_3
\end{matrix}[/mm]
>
> [mm]y_1(0) = 4, \ \ \ y_2(0) = 1, \ \ \ y_3(0) = 5[/mm]
> Hallo,
>
> ich habe die Aufgabenstellung in eine Matrix gesetzt und
> habe die Eigenwarte
>
> [mm]\lambda_1 = 1[/mm] und [mm]\lambda_{2/3} = 5[/mm] raus.
Stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Mir ist klar das ich die Eigenvektoren ermitteln muss. Und
> diese werden dann nachher in [mm]y_i = e^{\lambda x} \cdot C_i[/mm]
> eingesetzt.
> Allerdings habe ich mit doppelten, oder dreifachen gleichen
> Eigenwerten Probleme.
> Habe mehrere Aufgaben, alle mit Musterlösung und jedesmal
> wird hier ein anderer Weg bestritten. Ich erkenne das
> System dahinter nicht.
>
> z.B bei dieser Aufgabe wird [mm]y_2 = e^{5 x} \cdot C_2[/mm]
> gesetzt. Dann wird die 3te Vektorlösung mit [mm](A - 5E_3)^2 \cdot x = 0[/mm]
> ermittelt. Bei manch anderen Aufgaben, allerdings nicht. Da
> wird die 3te Vektorlösung, genauso wie die 2te aus [mm](A - 5E_3) \cdot x = 0[/mm]
> ermittelt.
>
> Desweiteren wird dann meistens die 3te Vektorlösung
> nochmal bearbeitet mit:
>
> [mm]y_3 = e^{\lambda x} \cdot (E_3 + x \cdot (A - 5E_3)) C_3[/mm]
>
> auch hier habe ich schon gesehen, das folgende Variante
> genommen wird?
>
> [mm]y_3 = e^{\lambda x} \cdot (C_3 + x \cdot (A - 5E_3)) C_3[/mm]
>
> Wie erkenne ich, wie ich ansetzen muss? Habe gegoogelt,
Der Ansatz wird bestimmt durch die jeweiligen Eigenräume zu den Eigenwerten.
Ist die geometrische Vielfachheit kleiner als die algebraische Vielfachheit eines Eigenwertes, so müssen Eigenvektoren höherer
Stufe berechnet werden.
> aber nichts passendes gefunden. Wäre dankbar wenn mir
> jemand das System dahinter erklären könnte. Bitte keine
> Wikipedia Links, habe ich zwar auch schon gesucht, aber den
> Text verstehe ich dort meistens nicht.
>
> Frohes neues Jahr übrigens!
>
> Schönen Gruß
> Lyrone.
>
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:48 Sa 02.01.2010 | | Autor: | Lyrone |
Hallo MathePower,
danke für deine Antwort.
>
> Ist die geometrische Vielfachheit kleiner als die
> algebraische Vielfachheit eines Eigenwertes, so müssen
> Eigenvektoren höherer
> Stufe berechnet werden.
>
Ist mir leider nicht ganz klar geworden, ich gebe das mal mit meinen Worten wieder, so wie ich es verstanden habe:
Sollte man bei doppelten Eigenwerten aus der Gleichung $ (A - [mm] \lambda E_3) \cdot [/mm] x = 0 $ zwei verschiedene unabhängig voneinander Eigenvektoren ermitteln, kann man sich das $ (A - [mm] \lambda E_3)^2 \cdot [/mm] x = 0 $ sparen. Also hängt es indirekt vom Rang der $ (A - [mm] \lambda E_3) [/mm] $ Matrix ab, ob ich nachher über den $ (A - [mm] \lambda E_3)^2 \cdot [/mm] x = 0 $ Weg gehen muss?
Wenn dem so ist, und ich gehe über den $ (A - [mm] \lambda E_3)^2 \cdot [/mm] x = 0 $ Weg, woher weiß ich nachher ob ich
$ [mm] y_3 [/mm] = [mm] e^{\lambda x} \cdot (E_3 [/mm] + x [mm] \cdot [/mm] (A - [mm] \lambda E_3)) C_3 [/mm] $
oder
$ [mm] y_3 [/mm] = [mm] e^{\lambda x} \cdot (C_3 [/mm] + x [mm] \cdot [/mm] (A - [mm] \lambda E_3)) C_3 [/mm] $
berechnen muss?
Schönen Gruß
Lyrone.
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Hallo Lyrone,
> Hallo MathePower,
>
> danke für deine Antwort.
>
> >
> > Ist die geometrische Vielfachheit kleiner als die
> > algebraische Vielfachheit eines Eigenwertes, so müssen
> > Eigenvektoren höherer
> > Stufe berechnet werden.
> >
>
> Ist mir leider nicht ganz klar geworden, ich gebe das mal
> mit meinen Worten wieder, so wie ich es verstanden habe:
>
> Sollte man bei doppelten Eigenwerten aus der Gleichung [mm](A - \lambda E_3) \cdot x = 0[/mm]
> zwei verschiedene unabhängig voneinander Eigenvektoren
> ermitteln, kann man sich das [mm](A - \lambda E_3)^2 \cdot x = 0[/mm]
> sparen. Also hängt es indirekt vom Rang der [mm](A - \lambda E_3)[/mm]
> Matrix ab, ob ich nachher über den [mm](A - \lambda E_3)^2 \cdot x = 0[/mm]
> Weg gehen muss?
Ja, das ist so.
>
> Wenn dem so ist, und ich gehe über den [mm](A - \lambda E_3)^2 \cdot x = 0[/mm]
> Weg, woher weiß ich nachher ob ich
>
> [mm]y_3 = e^{\lambda x} \cdot (E_3 + x \cdot (A - \lambda E_3)) C_3[/mm]
>
> oder
>
> [mm]y_3 = e^{\lambda x} \cdot (C_3 + x \cdot (A - \lambda E_3)) C_3[/mm]
Hier muss es doch lauten:
[mm]y_3 = e^{\lambda x} \cdot (C_3 + x \cdot (A - \lambda E_3) \blue{*C_3})[/mm]
Dann ist das nämlich identisch mit der Lösung
[mm]y_3 = e^{\lambda x} \cdot (E_3 + x \cdot (A - \lambda E_3)) C_3[/mm]
, wobei [mm]E_{3}[/mm] die Einheitsmatrix im [mm]\IR^{3}[/mm] ist.
>
> berechnen muss?
>
>
> Schönen Gruß
> Lyrone.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:38 So 03.01.2010 | | Autor: | Lyrone |
Hallo MathePower,
danke für deine Antwort, alle Unklarheiten beseitigt :)
Schönen Gruß
Lyrone.
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