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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - AWP
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AWP: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:39 Di 28.06.2011
Autor: pyw

Aufgabe
[mm] y'=1-y^2 [/mm] mit y(0)=1

Hallo,

das geht soweit mit Trennung der Variablen:

[mm] \int \frac{dy}{1-y^2}=\frac{1}{2}\int \frac{1}{1+y}+\frac{1}{1-y}dy=\frac{1}{2}(\ln|1+y|-\ln|1-y|)=\int{ x dx}=x+C [/mm]

Wie könnte ich an dieser Stelle allgemein auflösen nach y?

Ich kann ja y=1 nicht einfach einsetzen, weil dann [mm] \ln|1-y| [/mm] nicht definiert ist.
Oder hab ich mich irgendwo verrechnet?

Bitte um Hilfe.

Gruß,
pyw

        
Bezug
AWP: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:44 Di 28.06.2011
Autor: MathePower

Hallo pyw,

> [mm]y'=1-y^2[/mm] mit y(0)=1
>  Hallo,
>  
> das geht soweit mit Trennung der Variablen:
>  
> [mm]\int \frac{dy}{1-y^2}=\frac{1}{2}\int \frac{1}{1+y}+\frac{1}{1-y}dy=\frac{1}{2}(\ln|1+y|-\ln|1-y|)=\int{ x dx}=x+C[/mm]
>  
> Wie könnte ich an dieser Stelle allgemein auflösen nach
> y?


Wende hier die Logarithmengesetze an.


>  
> Ich kann ja y=1 nicht einfach einsetzen, weil dann [mm]\ln|1-y|[/mm]
> nicht definiert ist.
>  Oder hab ich mich irgendwo verrechnet?


Nein, verrechnet hast Du Dich nicht.


>  
> Bitte um Hilfe.
>  
> Gruß,
>  pyw


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
AWP: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:51 Di 28.06.2011
Autor: pyw

Hallo,
danke für deine Antwort.

> > [mm]y'=1-y^2[/mm] mit y(0)=1
>  >  Hallo,
>  >  
> > das geht soweit mit Trennung der Variablen:
>  >  
> > [mm]\int \frac{dy}{1-y^2}=\frac{1}{2}\int \frac{1}{1+y}+\frac{1}{1-y}dy=\frac{1}{2}(\ln|1+y|-\ln|1-y|)=\int{ x dx}=x+C[/mm]
>  
> >  

> > Wie könnte ich an dieser Stelle allgemein auflösen nach
> > y?
>  
>
> Wende hier die
> Logarithmengesetze an.

[mm] \ln|1+y|-\ln|1-y|=\ln\frac{|1+y|}{|1-y|} [/mm]

Aber dann kann ich doch genausowenig y=1 einsetzen (Division durch 0)?
Oder wie meinst du das?

EDIT:Kann es sein, dass das AWP keine Lösung hat?

Gruß

>
> Gruss
>  MathePower


Bezug
                        
Bezug
AWP: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:06 Di 28.06.2011
Autor: schachuzipus

Hallo pyw,


> Hallo,
> danke für deine Antwort.
>  > > [mm]y'=1-y^2[/mm] mit y(0)=1

>  >  >  Hallo,
>  >  >  
> > > das geht soweit mit Trennung der Variablen:
>  >  >  
> > > [mm]\int \frac{dy}{1-y^2}=\frac{1}{2}\int \frac{1}{1+y}+\frac{1}{1-y}dy=\frac{1}{2}(\ln|1+y|-\ln|1-y|)=\int{ x dx}=x+C[/mm]
>  
> >  

> > >  

> > > Wie könnte ich an dieser Stelle allgemein auflösen nach
> > > y?
>  >  
> >
> > Wende hier die
> > Logarithmengesetze
> an.
>  
> [mm]\ln|1+y|-\ln|1-y|=\ln\frac{|1+y|}{|1-y|}[/mm]

Jo, also weiter: [mm]\frac{1+y}{1-y}=C_1\cdot{}e^{2x}[/mm] mit [mm]C_1\in\IR[/mm]

Nun nach [mm]y[/mm] auflösen ...

>  
> Aber dann kann ich doch genausowenig y=1 einsetzen
> (Division durch 0)?

Naja, [mm]y\not\equiv 1[/mm] ist klar, aber du sollst ja auch [mm]x=0[/mm] einsetzen, also [mm]y(0)=1[/mm] benutzen, um [mm]C_1[/mm] zu berechnen ...

Aber erstmal nach [mm]y[/mm] auflösen ...

>  Oder wie meinst du das?
>  
> EDIT:Kann es sein, dass das AWP keine Lösung hat?

Rechne es doch nach ...

>  
> Gruß
>  >

LG

schachuzipus


Bezug
                                
Bezug
AWP: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:18 Di 28.06.2011
Autor: schachuzipus

Noch eine Bemerkung:

du hast ja im Laufe deiner Rechnung mit dem Log-gedöhns irgendwann [mm] $y\neq [/mm] 1$ gebraucht.

Schaue dir die Ausgangsgdl nochmal genau an:

[mm] $y'=1-y^2$ [/mm]

Das hat als konstante Lösung doch sicher [mm] $y\equiv [/mm] 1$, also [mm] $y:\IR\to\IR, x\mapsto [/mm] 1$

Und die AB $y(0)=1$ erfüllt es auch ...

Gruß
schachuzipus


Bezug
                                
Bezug
AWP: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:37 Di 28.06.2011
Autor: pyw

Hallo,

> > [mm]\ln|1+y|-\ln|1-y|=\ln\frac{|1+y|}{|1-y|}[/mm]
>  
> Jo, also weiter: [mm]\frac{1+y}{1-y}=C_1\cdot{}e^{2x}[/mm] mit
> [mm]C_1\in\IR[/mm]

Warum genau darf man hier die Betragsstriche weglassen (wenn man allgemein umstellt)?
Liegt das daran, dass man eigentlich eine Fallunterscheidung machen muss und dann für [mm] C_1 [/mm] einmal positive und einmal negative Werte aus [mm] \IR [/mm] bekommt und dann zusammensetzt?

>  
> Nun nach [mm]y[/mm] auflösen ...

[mm] (1+y)=C_1*e^{2x}(1-y) \gdw y(1+C_1*e^{2x})=C_1*e^{2x}-1\gdw y=\frac{C_1*e^{2x}-1}{1+C_1*e^{2x}} [/mm]

>  
> >  

> > Aber dann kann ich doch genausowenig y=1 einsetzen
> > (Division durch 0)?
>  
> Naja, [mm]y\not\equiv 1[/mm] ist klar, aber du sollst ja auch [mm]x=0[/mm]

Ja, das ist nun auch die Lösung. Klar, hatte hat den Sondernfall bei der Division durch [mm] (1-y^2) [/mm] nicht gedacht...

Gruß


Bezug
                                        
Bezug
AWP: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:06 Di 28.06.2011
Autor: MathePower

Hallo pyw,

> Hallo,
>  
> > > [mm]\ln|1+y|-\ln|1-y|=\ln\frac{|1+y|}{|1-y|}[/mm]
>  >  
> > Jo, also weiter: [mm]\frac{1+y}{1-y}=C_1\cdot{}e^{2x}[/mm] mit
> > [mm]C_1\in\IR[/mm]
>  Warum genau darf man hier die Betragsstriche weglassen
> (wenn man allgemein umstellt)?
>  Liegt das daran, dass man eigentlich eine
> Fallunterscheidung machen muss und dann für [mm]C_1[/mm] einmal
> positive und einmal negative Werte aus [mm]\IR[/mm] bekommt und dann
> zusammensetzt?


Genau, daran liegt das.


>  >  
> > Nun nach [mm]y[/mm] auflösen ...
>  [mm](1+y)=C_1*e^{2x}(1-y) \gdw y(1+C_1*e^{2x})=C_1*e^{2x}-1\gdw y=\frac{C_1*e^{2x}-1}{1+C_1*e^{2x}}[/mm]
>  


[ok]


> >  

> > >  

> > > Aber dann kann ich doch genausowenig y=1 einsetzen
> > > (Division durch 0)?
>  >  
> > Naja, [mm]y\not\equiv 1[/mm] ist klar, aber du sollst ja auch [mm]x=0[/mm]
> Ja, das ist nun auch die Lösung. Klar, hatte hat den
> Sondernfall bei der Division durch [mm](1-y^2)[/mm] nicht
> gedacht...
>  
> Gruß

>


Gruss
MathePower  

Bezug
                                                
Bezug
AWP: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:16 Di 28.06.2011
Autor: pyw

ok, danke!

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