AWP < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:17 Sa 05.11.2011 | | Autor: | David90 |
| Aufgabe | Betrachten Sie für beliebig vorgegebene Zahlen [mm] \alpha, \beta \in \IR [/mm] das AWP
[mm] y'=\wurzel{(x+1)(y-1)}, y(\alpha)=\beta
[/mm]
a) Für welche Werte von [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] hat dieses AWP genau eine Lösung?
b) Ermitteln Sie zwei Lösungen für den Fall [mm] \alpha=1, \beta=1 [/mm] zusammen mit den jeweiligen Definitionsbereichen. |
Hallo,
ich komm nich auf den Ansatz bei a). Man kann weder Variation der Konstanten, noch Trennung der Variablen anwenden. Also man muss ja eine Lösung in Abhängigkeit von [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] finden und das AWP hat genau eine Lösung, wenn der Existenz. und Eindeutigkeitssatz (EES) erfüllt ist oder? Hab auch schon die Methode Exponentialansatz versucht, aber dann steht da nur [mm] 0=\wurzel{(x+1)(y-1)} [/mm] -y' mit [mm] y'=\lambda [/mm] * [mm] e^{\lambda*x} [/mm] aber wirklich weiter bringt mich das auch nich :/
Jemand nen Vorschlag?
Danke schon mal
Gruß David
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> Betrachten Sie für beliebig vorgegebene Zahlen [mm]\alpha, \beta \in \IR[/mm]
> das AWP
> [mm]y'=\wurzel{(x+1)(y-1)}, y(\alpha)=\beta[/mm]
>
> a) Für welche Werte von [mm]\alpha[/mm] und [mm]\beta[/mm] hat dieses AWP
> genau eine Lösung?
> b) Ermitteln Sie zwei Lösungen für den Fall [mm]\alpha=1, \beta=1[/mm]
> zusammen mit den jeweiligen Definitionsbereichen.
> Hallo,
> ich komm nich auf den Ansatz bei a). Man kann weder
> Variation der Konstanten, noch Trennung der Variablen
> anwenden. Also man muss ja eine Lösung in Abhängigkeit
> von [mm]\alpha[/mm] und [mm]\beta[/mm] finden und das AWP hat genau eine
> Lösung, wenn der Existenz. und Eindeutigkeitssatz (EES)
> erfüllt ist oder? Hab auch schon die Methode
> Exponentialansatz versucht, aber dann steht da nur
> [mm]0=\wurzel{(x+1)(y-1)}[/mm] -y' mit [mm]y'=\lambda[/mm] * [mm]e^{\lambda*x}[/mm]
> aber wirklich weiter bringt mich das auch nich :/
> Jemand nen Vorschlag?
> Danke schon mal
> Gruß David
Trennung der Variablen klappt doch!
Du bestimmst erst die allgemeine Lösung, wobei du noch eine Fallunterscheidung brauchst (y=1).
Dann schasut du, wie sich die Lösungskurven verhalten und siehst, dass für bestimmte Anfangswerte die Lösung nicht eindeutig ist.
(Die Voraussetzungen für den Eindeutigkeitssatz sind hier nicht erfüllt, da die Wurzelfunktion in 0 nicht differenzierbar ist)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:56 Sa 05.11.2011 | | Autor: | David90 |
ok alles klar...also nach Integration steht da:
[mm] 2(y-1)^{\bruch{1}{2}} [/mm] = [mm] 2(x+1)^{\bruch{1}{2}} [/mm] +c mit y [mm] \ge [/mm] 1, x [mm] \ge [/mm] -1 und c [mm] \in \IR
[/mm]
man kann ja jetzt alles quadrieren dann steht da:
[mm] 4(y-1)=4(x+1)+c^2 [/mm] dann durch 4 teilen und dann +1 dann steht da
[mm] y=x+2+\bruch{c^2}{4} [/mm] is das so richtig?
dann kann man ja eine neue Konstante einführen mit [mm] d=2+\bruch{c^2}{4} [/mm] dann steht da:
y=x+d mit d [mm] \in \IR
[/mm]
Kann man wenn man den AW jetzt einsetzt sehen für welche Werte das AWP genau eine Lösung hat?
Gruß David
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> ok alles klar...also nach Integration steht da:
> [mm]2(y-1)^{\bruch{1}{2}}[/mm] = [mm]2(x+1)^{\bruch{1}{2}}[/mm] +c mit y [mm]\ge[/mm]
> 1, x [mm]\ge[/mm] -1 und c [mm]\in \IR[/mm]
Der Ansatz ist ok, aber die Lösung stimmt nicht ganz, da auf der rechten Seite die zu integrierende Wurzel im Zähler steht.
> man kann ja jetzt alles
> quadrieren dann steht da:
> [mm]4(y-1)=4(x+1)+c^2[/mm] dann durch 4 teilen und dann +1 dann
> steht da
> [mm]y=x+2+\bruch{c^2}{4}[/mm] is das so richtig?
> dann kann man ja eine neue Konstante einführen mit
> [mm]d=2+\bruch{c^2}{4}[/mm] dann steht da:
> y=x+d mit d [mm]\in \IR[/mm]
Wenn du richtig integriert hast, wird's etwas komplizierter, aber zumindest kriegst du einen derartigen Ausdruck.
> Kann man wenn man den AW jetzt
> einsetzt sehen für welche Werte das AWP genau eine Lösung
> hat?
Du setzt [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] für a und y ein und bestimmst daraus die Konstante c (bzw. d).
Zu beachten ist dabei, dass die durch die Trennung der Variablen bestimmten Lösungen nicht immer auf ganz [mm] \IR [/mm] defiert sind und dass du bei der Bestimmung der allgemeinen Lösung den Fall y=1 gesondert betrachten musst.
Dies führt dann zur Nichteindeutigkeit.
> Gruß David
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:57 Sa 05.11.2011 | | Autor: | David90 |
dummer Fehler von mir :/
ok nach der Integration steht:
[mm] y=\bruch{1}{9}*(x+1)^3+\bruch{c^2}{4} [/mm] also
[mm] y=\bruch{1}{9}*(x+1)^3+d [/mm] mit [mm] d=\bruch{c^2}{4}
[/mm]
Jetzt wird der AW eingesetzt und es steht da
[mm] \beta=\bruch{1}{9}*(\alpha+1)^3+d [/mm] und nach d umgestellt
[mm] d=\bruch{1}{9}*(\alpha+1)^3-\beta [/mm] So wegen der Trennung der Variablen, muss y [mm] \not= [/mm] 1 sein, da sonst durch 0 geteilt wird.
Setzen wir jetzt für [mm] \beta=1 [/mm] ein, dann kriegt man die Konstante d in Abhängigkeit von [mm] \alpha [/mm] und was macht man dann? Setzt man d in die allgemeine Lösung wieder ein?
Gruß David
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> dummer Fehler von mir :/
> ok nach der Integration steht:
> [mm]y=\bruch{1}{9}*(x+1)^3+\bruch{c^2}{4}[/mm] also
> [mm]y=\bruch{1}{9}*(x+1)^3+d[/mm] mit [mm]d=\bruch{c^2}{4}[/mm]
> Jetzt wird der AW eingesetzt und es steht da
> [mm]\beta=\bruch{1}{9}*(\alpha+1)^3+d[/mm] und nach d umgestellt
> [mm]d=\bruch{1}{9}*(\alpha+1)^3-\beta[/mm] So wegen der Trennung
> der Variablen, muss y [mm]\not=[/mm] 1 sein, da sonst durch 0
> geteilt wird.
> Setzen wir jetzt für [mm]\beta=1[/mm] ein, dann kriegt man die
> Konstante d in Abhängigkeit von [mm]\alpha[/mm] und was macht man
> dann? Setzt man d in die allgemeine Lösung wieder ein?
> Gruß David
Ich hab's jetzt mal grob durchgerechnet und komme auf
y = 1 + [mm] (\frac{1}{3}(x+1)^{3/2}+c)^2 [/mm] (nicht auszuschließen, dass ich mich irgendwo verrechnet habe, aber in etwa muss die Lösung so aussehen)
Solange y>1 ist, gibt es kein Problem mit der Eindeutigkeit.
Da aber [mm] y\equiv [/mm] 1 ebenfalls Lösung ist (Beweis durch einsetzen), gibt es Lösungen, die zwischen der konstanten und der nichtkonstanten Lösungskurve "wechseln".
Bei den gegebenen Anfangswerten folgt c=-1/3. Dann ist zum einen [mm] y\equiv [/mm] 1 Lösung des AWP, zum anderen aber auch
y = 1 + [mm] (\frac{1}{3}(x+1)^{3/2}-\frac{1}{3})^2
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:53 So 06.11.2011 | | Autor: | David90 |
Also so richtig versteh ich das ganze nicht. Hattest dich verrechnet, weil die Konstante c muss auch durch 2 geteilt werden.
Jedenfalls sieht die allgemeine Lösung folgendermaßen aus:
[mm] y=\bruch{1}{9}(x+1)^3 [/mm] + [mm] \bruch{c^2}{4}+1 [/mm] bzw. [mm] y=\bruch{1}{9}(x+1)^3+d [/mm] (was ich bevorzuge) mit d [mm] \in \IR [/mm] und y > 1.
Soweit sind wir uns einig hoffe ich:)
Jetzt gehts los, also als erstes muss man überprüfen, ob der Grenzfall also y=1 teil der Lösung ist, also setzt ich y=1 in die Ausgangsgleichung ein:
[mm] 0=\wurzel{(x+1)(1-1)} [/mm] und das ist wahr, also ist y=1 teil der Lösungsmenge.
Wir haben also den Fall y > 1 und y=1 richtig? Jetzt muss man die Konstante d bestimmen, indem man den AW einnsetzt:
[mm] \beta=\bruch{1}{9}(\alpha+1)^3+d [/mm] Aber wie kommst du denn auf die Konstante...wir wissen zwar, dass [mm] \beta [/mm] einmal >1 und einmal =1 ist, aber was ist denn [mm] \alpha [/mm] dann? Man kriegt doch dann nur d in Abhängigkeit von [mm] \alpha [/mm] aber was bringt das?
Gruß David
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Hallo David90,
> Also so richtig versteh ich das ganze nicht. Hattest dich
> verrechnet, weil die Konstante c muss auch durch 2 geteilt
> werden.
> Jedenfalls sieht die allgemeine Lösung folgendermaßen
> aus:
> [mm]y=\bruch{1}{9}(x+1)^3[/mm] + [mm]\bruch{c^2}{4}+1[/mm] bzw.
> [mm]y=\bruch{1}{9}(x+1)^3+d[/mm] (was ich bevorzuge) mit d [mm]\in \IR[/mm]
> und y > 1.
> Soweit sind wir uns einig hoffe ich:)
Mein Vorredner hat Dir doch die allgemeine Lösung
für [mm]y > 1, \ x \ge -1[/mm] aufgeschrieben:
[mm]y = 1 + (\frac{1}{3}(x+1)^{3/2}+c)^2 [/mm]
Für die Anfangsbedingung y(1)=1 ist noch die Konstante c zu ermitteln.
> Jetzt gehts los, also als erstes muss man überprüfen, ob
> der Grenzfall also y=1 teil der Lösung ist, also setzt ich
> y=1 in die Ausgangsgleichung ein:
> [mm]0=\wurzel{(x+1)(1-1)}[/mm] und das ist wahr, also ist y=1 teil
> der Lösungsmenge.
> Wir haben also den Fall y > 1 und y=1 richtig? Jetzt muss
> man die Konstante d bestimmen, indem man den AW einnsetzt:
> [mm]\beta=\bruch{1}{9}(\alpha+1)^3+d[/mm] Aber wie kommst du denn
> auf die Konstante...wir wissen zwar, dass [mm]\beta[/mm] einmal >1
> und einmal =1 ist, aber was ist denn [mm]\alpha[/mm] dann? Man
> kriegt doch dann nur d in Abhängigkeit von [mm]\alpha[/mm] aber was
> bringt das?
> Gruß David
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:35 So 06.11.2011 | | Autor: | David90 |
Ich schreib mal meine Rechnung auf:
also die zu lösende Gleichung sieht ja so aus:
[mm] \integral_{}^{}{(y-1)^{-\bruch{1}{2}} dy}=\integral_{}^{}{(x+1)^{\bruch{1}{2}} dx}
[/mm]
nach der Integration steht da:
[mm] 2(y-1)^{\bruch{1}{2}}=\bruch{2}{3}*(x+1)^{\bruch{3}{2}}+c
[/mm]
dann teilt man durch 2:
[mm] (y-1)^{\bruch{1}{2}}=\bruch{1}{3}*(x+1)^{\bruch{3}{2}}+\bruch{c}{2}
[/mm]
dann werden beide Seiten quadriert:
[mm] y-1=\bruch{1}{9}*(x+1)^3+\bruch{c^2}{4}
[/mm]
und +1 gerechnet:
[mm] y=\bruch{1}{9}*(x+1)^3+\bruch{c^2}{4}+1
[/mm]
und dann hab ich lediglich eine neue Konstante eingeführt: [mm] d=\bruch{c^2}{4}+1 [/mm] denn egal ob man eine Konstante zu einer Konstanten dazuaddiert oder die Konstante quadriert, es bleibt ja trotzdem eine Konstante, also steht da:
[mm] y=\bruch{1}{9}*(x+1)^3+d
[/mm]
Wo ist mein Fehler?:/
Und wieso kann man denn die AW y(1)=1 einsetzen man hat doch nur die AW [mm] y(\alpha)=\beta...
[/mm]
y(1)=1 können wir doch erst in der Teilaufgabe b) benutzen...
Sorry, dass ichs nich versteh :/
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Hallo David90,
> Ich schreib mal meine Rechnung auf:
> also die zu lösende Gleichung sieht ja so aus:
> [mm]\integral_{}^{}{(y-1)^{-\bruch{1}{2}} dy}=\integral_{}^{}{(x+1)^{\bruch{1}{2}} dx}[/mm]
>
> nach der Integration steht da:
> [mm]2(y-1)^{\bruch{1}{2}}=\bruch{2}{3}*(x+1)^{\bruch{3}{2}}+c[/mm]
> dann teilt man durch 2:
>
> [mm](y-1)^{\bruch{1}{2}}=\bruch{1}{3}*(x+1)^{\bruch{3}{2}}+\bruch{c}{2}[/mm]
> dann werden beide Seiten quadriert:
> [mm]y-1=\bruch{1}{9}*(x+1)^3+\bruch{c^2}{4}[/mm]
Das stimmt schon nicht, denn:
[mm]\left( \ \bruch{1}{3}*(x+1)^{\bruch{3}{2}}+\bruch{c}{2} \ \right)^{2} \not=\left( \ \bruch{1}{3}*(x+1)^{\bruch{3}{2}} \ \right)^{2}+\left( \ \bruch{c}{2} \ \right)^{2}[/mm]
In Worten:
Das Quadrat einer Summe ist nicht gleich
der Summe der Quadrate der einzelnen Summanden.
> und +1 gerechnet:
> [mm]y=\bruch{1}{9}*(x+1)^3+\bruch{c^2}{4}+1[/mm]
> und dann hab ich lediglich eine neue Konstante
> eingeführt: [mm]d=\bruch{c^2}{4}+1[/mm] denn egal ob man eine
> Konstante zu einer Konstanten dazuaddiert oder die
> Konstante quadriert, es bleibt ja trotzdem eine Konstante,
> also steht da:
> [mm]y=\bruch{1}{9}*(x+1)^3+d[/mm]
> Wo ist mein Fehler?:/
> Und wieso kann man denn die AW y(1)=1 einsetzen man hat
> doch nur die AW [mm]y(\alpha)=\beta...[/mm]
> y(1)=1 können wir doch erst in der Teilaufgabe b)
> benutzen...
> Sorry, dass ichs nich versteh :/
>
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:18 So 06.11.2011 | | Autor: | David90 |
ok stimmt v.v
also die allgemeine Lösung ist
[mm] y=(\bruch{1}{3}*(x+1)^{\bruch{3}{2}}+\bruch{c}{2})^2+1 [/mm] für y>1 und [mm] x\ge [/mm] -1
und y=1 ist auch eine Lösung.
Aber was ist mit meiner anderen Frage: wieso kann man denn die AW y(1)=1 einsetzen man hat doch nur die AW [mm] y(\alpha)=\beta... [/mm]
y(1)=1 können wir doch erst in der Teilaufgabe b) benutzen...
Was heißt denn Eindeutigkeit?Wann ist eine Lösung eindeutig?
Gruß David
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:22 So 06.11.2011 | | Autor: | David90 |
ok die letzte Frage könnt ihr streichen, eindeutig bedeutet, dass es nur eine Lösung gibt xD also wie bestimmt man die Konstante c, wenn man nur [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] als AW vorgegeben hat?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:46 So 06.11.2011 | | Autor: | David90 |
ok wir sind ja noch nicht fertig.
Haben jetzt die allgemeine Lösung und müssen die Konstante c bestimmen, in Abhängigkeit von [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] oder?
Weil du erst geschrieben hast, wir setzen die AW y(1)=1 ein, aber woher wissen wir denn, dass [mm] \alpha [/mm] =1 und [mm] \beta=1 [/mm] die einzige Lösung ist?
Gruß David
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Hallo David90,
> ok wir sind ja noch nicht fertig.
> Haben jetzt die allgemeine Lösung und müssen die
> Konstante c bestimmen, in Abhängigkeit von [mm]\alpha[/mm] und
> [mm]\beta[/mm] oder?
Es ist doch zu bestimmen, für welche [mm]\alpha, \beta[/mm]
es eindeutige Lösung gibt.
> Weil du erst geschrieben hast, wir setzen die AW y(1)=1
> ein, aber woher wissen wir denn, dass [mm]\alpha[/mm] =1 und [mm]\beta=1[/mm]
> die einzige Lösung ist?
Da hab ich mich an dem, was donquijote schrieb, orientiert.
> Gruß David
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:20 So 06.11.2011 | | Autor: | David90 |
Ja aber wie mach ich das, [mm] \alpha und\beta [/mm] bestimmen? Wahrscheinlich von der allgemeinen Lösung erstmal die Konstante c bestimmen oder? Aber ohne eine konkrete AW kann man das doch garnicht :/
Gruß David
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Hallo David90,
> Ja aber wie mach ich das, [mm]\alpha und\beta[/mm] bestimmen?
> Wahrscheinlich von der allgemeinen Lösung erstmal die
> Konstante c bestimmen oder? Aber ohne eine konkrete AW kann
> man das doch garnicht :/
Nun, wir haben zwei Lösungen mit
unterschiedlichen Definitions- bzw. Wertebereichen.
Anhand dieser Bereiche kannst Du bestimmen, für welche [mm]\alpha, \beta[/mm]
es eine eindeutige Lösung gibt.
Nebenbei bemerkt es gibt noch eine 3. Lösung.
> Gruß David
Gruss
MathePower
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 23:07 So 06.11.2011 | | Autor: | David90 |
ok also man kreigt eine Lösung wenn man y=1 und x=-1 einsetzt oder?
Gruß David
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:40 Mo 07.11.2011 | | Autor: | David90 |
ok also ich glaub Aufgabe a) muss man folgendermaßen lösen:
wir haben im Tutorium vorher den Existenz-und Eindeutigkeitssatz kennengelernt und ich schätze mal a) kann man auch damit lösen.
Der EES gilt aber nur für stetig diffbare Funktionen im Anfangswert:
d.h. wir haben die Funktion:
[mm] g(x,y)=\wurzel{(x+1)(y-1)} [/mm] und den AW [mm] y(\alpha)=\beta [/mm] und wir müssen jetzt nur angeben für welche [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] die Wurzel diffbar ist und das ist für [mm] \alpha \ge [/mm] -1 und für [mm] \beta \ge [/mm] 1 der Fall. Für diese Werte hat das AWP eine eindeutige Lösung.
Fertig ist a) oder?
Gruß David
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> ok also ich glaub Aufgabe a) muss man folgendermaßen
> lösen:
> wir haben im Tutorium vorher den Existenz-und
> Eindeutigkeitssatz kennengelernt und ich schätze mal a)
> kann man auch damit lösen.
> Der EES gilt aber nur für stetig diffbare Funktionen im
> Anfangswert:
> d.h. wir haben die Funktion:
> [mm]g(x,y)=\wurzel{(x+1)(y-1)}[/mm] und den AW [mm]y(\alpha)=\beta[/mm] und
> wir müssen jetzt nur angeben für welche [mm]\alpha[/mm] und [mm]\beta[/mm]
> die Wurzel diffbar ist und das ist für [mm]\alpha \ge[/mm] -1 und
> für [mm]\beta \ge[/mm] 1 der Fall. Für diese Werte hat das AWP
> eine eindeutige Lösung.
> Fertig ist a) oder?
>
> Gruß David
nein. diese aufgabe ist ein beispiel für eine dgl, wo ein awp nicht immer eindeutig lösbar ist. das hängt damit zusammen, dass die wurzelfunktion in 0 nicht differenzierbar ist. und wie die lösungen aussehen, habe ich schon weiter oben geschrieben.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Di 08.11.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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