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Hallo,
ich habe mir Picard-Lindelöf auf einem Streifen und auf einem Rechteck noch einmal angeguckt.
Vielleicht kann ja mal jemand drüber schauen, ob es so richtig ist.
Bsp.:
Ein Intervall [mm] [-\alpha,\alpha] [/mm] berechnen, auf dem das AWP y'=sin(xy) , y(0)=1 eine eindeutige Lösung hat.
Da ich ein Intervall berechnen muss, muss ich Picard-Lindelöf auf einem Rechteck nehmen:
a,b kann ich frei wählen. Also a=1, b=2
[mm] \{ -1\le x\le 1 ; -1 \le y \le 3 \}
[/mm]
G=[-1,1]x[-1,3] (mein Rechteck)
f(x,y)=sin(xy)
[mm] f_{y}=x*cos(xy) [/mm] <-- stetig, also Lipschitz-Bedingung auf Rechteck erfüllt
M=max(f(x,y))=max(sin(xy))=1 [mm] (x,y)\in{G} [/mm] (z.B. x=1, [mm] y=\bruch{\pi}{2})
[/mm]
[mm] \alpha=min(a,\bruch{b}{M})=min(1,\bruch{2}{1})=1
[/mm]
Das heißt, es gibt eine eindeutige Lösung des Anfangswertproblems auf dem Intervall [mm] [x_{0}-\alpha,x_{0}+\alpha]=[-1,1]. [/mm] Die Picard-Iterierten konvergieren punktweise gegen die Lösung z(x) (eigentlich y-Dach).
[mm] z(x):[x_{0}-\alpha,x_{0}+\alpha]\to[y_{0}-b,y_{0}+b]
[/mm]
Die Picard-Iterierten lauten: [mm] z_{n+1}(x)=y_{0}+\integral_{x_{0}}^{x}{f(t,z_{n}(t)) dt} [/mm] für [mm] n\ge{0}
[/mm]
Kann man sagen, dass [mm] z_{0}(x) [/mm] immer 0 ist, oder muss man da was beachten?
[mm] y_{0} [/mm] ist hier 1
[mm] z_{1}(x)=1+\integral_{0}^{x}{sin(0)) dt}=1+C
[/mm]
[mm] z_{2}(x)=1+\integral_{0}^{x}{sin(t(1+C)) dt}=...
[/mm]
und so weiter...
Die Funktion, die ich dann rauskriege ist dann die Lösung des AWP.
Eine andere aufgabe:
Man soll zeigen, dass das AWP [mm] y'=e^{-y^2}+x^2 [/mm] , y(0)=0 auf [mm] \IR [/mm] genau eine Lösung hat und das [mm] |y(x)|\le{1} [/mm] f.a. [mm] x\in [-\bruch{1}{2},\bruch{1}{2}]
[/mm]
Hier nehme ich Picard-Lindelöf auf einem Streifen.
[mm] f(x,y)=e^{-y^2}+x^2
[/mm]
[mm] f_{y}=-2ye^{-y^2}
[/mm]
[mm] y\to\pm\infty [/mm] => [mm] -2ye^{-y^2}\to [/mm] 0 Also beschränkt auf jedem Streifen und somit Lipschitz-Bedingung erfüllt.
Zum zweiten Teil: (Hier Picard-Lindelöf auf einem Rechteck)
Hier möchte ich unter den gegebenen Voraussetzungen ein Intervall [mm] [x_{0}-\alpha,x_{0}+\alpha] [/mm] berechnen, welches [mm] [-\bruch{1}{2},\bruch{1}{2}] [/mm] sein sollte, damit die Baheuptung gilt.
Aus [mm] |y(x)|\le{1} [/mm] folgt [mm] y_{0}-1\le y\le y_{0}+1 [/mm] und somit b=1
[mm] G=[x_{0}-a,x_{0}+a]\times[y_{0}-b,y_{0}+b]=[-\bruch{1}{2},\bruch{1}{2}]\times[-1,1] [/mm] => [mm] a=\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] M=max(e^{-y^2}+x^2)=1+\bruch{1}{4}=\bruch{5}{4} [/mm] (x=0, [mm] y=\bruch{1}{2} (x,y)\in{G}
[/mm]
[mm] \alpha=min(a,\bruch{b}{M})=min(\bruch{1}{2},\bruch{1}{1.25})=\bruch{1}{2}
[/mm]
Gruß LordPippin
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Hallo LordPippin,
> Hallo,
> ich habe mir Picard-Lindelöf auf einem Streifen und auf
> einem Rechteck noch einmal angeguckt.
> Vielleicht kann ja mal jemand drüber schauen, ob es so
> richtig ist.
>
> Bsp.:
> Ein Intervall [mm][-\alpha,\alpha][/mm] berechnen, auf dem das AWP
> y'=sin(xy) , y(0)=1 eine eindeutige Lösung hat.
>
> Da ich ein Intervall berechnen muss, muss ich
> Picard-Lindelöf auf einem Rechteck nehmen:
> a,b kann ich frei wählen. Also a=1, b=2
> [mm]\{ -1\le x\le 1 ; -1 \le y \le 3 \}[/mm]
> G=[-1,1]x[-1,3]
> (mein Rechteck)
> f(x,y)=sin(xy)
> [mm]f_{y}=x*cos(xy)[/mm] <-- stetig, also Lipschitz-Bedingung auf
> Rechteck erfüllt
> M=max(f(x,y))=max(sin(xy))=1 [mm](x,y)\in{G}[/mm] (z.B. x=1,
> [mm]y=\bruch{\pi}{2})[/mm]
> [mm]\alpha=min(a,\bruch{b}{M})=min(1,\bruch{2}{1})=1[/mm]
> Das heißt, es gibt eine eindeutige Lösung des
> Anfangswertproblems auf dem Intervall
> [mm][x_{0}-\alpha,x_{0}+\alpha]=[-1,1].[/mm] Die Picard-Iterierten
> konvergieren punktweise gegen die Lösung z(x) (eigentlich
> y-Dach).
> [mm]z(x):[x_{0}-\alpha,x_{0}+\alpha]\to[y_{0}-b,y_{0}+b][/mm]
>
> Die Picard-Iterierten lauten:
> [mm]z_{n+1}(x)=y_{0}+\integral_{x_{0}}^{x}{f(t,z_{n}(t)) dt}[/mm]
> für [mm]n\ge{0}[/mm]
> Kann man sagen, dass [mm]z_{0}(x)[/mm] immer 0 ist, oder muss man
> da was beachten?
Es ist immer [mm]z_{0}\left(x\right)=y_{0}[/mm]
> [mm]y_{0}[/mm] ist hier 1
> [mm]z_{1}(x)=1+\integral_{0}^{x}{sin(0)) dt}=1+C[/mm]
>
> [mm]z_{2}(x)=1+\integral_{0}^{x}{sin(t(1+C)) dt}=...[/mm]
> und so
> weiter...
> Die Funktion, die ich dann rauskriege ist dann die Lösung
> des AWP.
>
>
> Eine andere aufgabe:
> Man soll zeigen, dass das AWP [mm]y'=e^{-y^2}+x^2[/mm] , y(0)=0
> auf [mm]\IR[/mm] genau eine Lösung hat und das [mm]|y(x)|\le{1}[/mm] f.a.
> [mm]x\in [-\bruch{1}{2},\bruch{1}{2}][/mm]
>
> Hier nehme ich Picard-Lindelöf auf einem Streifen.
> [mm]f(x,y)=e^{-y^2}+x^2[/mm]
> [mm]f_{y}=-2ye^{-y^2}[/mm]
> [mm]y\to\pm\infty[/mm] => [mm]-2ye^{-y^2}\to[/mm] 0 Also beschränkt auf
> jedem Streifen und somit Lipschitz-Bedingung erfüllt.
>
> Zum zweiten Teil: (Hier Picard-Lindelöf auf einem
> Rechteck)
> Hier möchte ich unter den gegebenen Voraussetzungen ein
> Intervall [mm][x_{0}-\alpha,x_{0}+\alpha][/mm] berechnen, welches
> [mm][-\bruch{1}{2},\bruch{1}{2}][/mm] sein sollte, damit die
> Baheuptung gilt.
> Aus [mm]|y(x)|\le{1}[/mm] folgt [mm]y_{0}-1\le y\le y_{0}+1[/mm] und somit
> b=1
>
> [mm]G=[x_{0}-a,x_{0}+a]\times[y_{0}-b,y_{0}+b]=[-\bruch{1}{2},\bruch{1}{2}]\times[-1,1][/mm]
> => [mm]a=\bruch{1}{2}[/mm]
> [mm]M=max(e^{-y^2}+x^2)=1+\bruch{1}{4}=\bruch{5}{4}[/mm] (x=0,
> [mm]y=\bruch{1}{2} (x,y)\in{G}[/mm]
>
> [mm]\alpha=min(a,\bruch{b}{M})=min(\bruch{1}{2},\bruch{1}{1.25})=\bruch{1}{2}[/mm]
>
Das ist so richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
>
> Gruß LordPippin
Gruss
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