AWP lösen, Wronski Matrix < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:35 So 11.12.2011 | | Autor: | Calculu |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Lösung des Anfangswertproblems
y' = [mm] \pmat{ 0 & 1 & -1 \\ -2 & 3 &-1 \\ -1 & 1 & 1} [/mm] *y y(0)= [mm] \vektor{-1 \\ 0 \\ 3} [/mm] |
Hallo.
Ich muss auf meinem aktuellen Blatt diese Aufgabe lösen.
Zu meinem Vorgehen:
Ich habe bereits die Eigenwerte und Eigenvektoren bestimmt.
Nun möchte ich die Wronski Matrix aufstellen und dann die homogene DGl mit Anfangswert lösen.
Ist das soweit ok? Oder ist mein Ansatz schon falsch? Wenn nicht, dann brauche ich Hilfe beim Aufstellen der Wronski Matrix.
Meine Eigenwerte lauten:
[mm] \lambda_{1} [/mm] = 2 und
[mm] \lambda_{2} [/mm] = 1 (doppelt)
Somit erhalte ich folgende Eigenvektoren:
[mm] c_{1} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 1} [/mm] sowie
[mm] c_{2} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
Ok, ab hier brächte ich dann einen Tipp zum Aufstellen der Wronski-Matrix.
Vielen Dank!
|
|
| |
|
Hallo Calculu,
> Bestimmen Sie die Lösung des Anfangswertproblems
>
> y' = [mm]\pmat{ 0 & 1 & -1 \\ -2 & 3 &-1 \\ -1 & 1 & 1}[/mm] *y
> y(0)= [mm]\vektor{-1 \\ 0 \\ 3}[/mm]
> Hallo.
>
> Ich muss auf meinem aktuellen Blatt diese Aufgabe lösen.
> Zu meinem Vorgehen:
> Ich habe bereits die Eigenwerte und Eigenvektoren
> bestimmt.
> Nun möchte ich die Wronski Matrix aufstellen und dann die
> homogene DGl mit Anfangswert lösen.
> Ist das soweit ok? Oder ist mein Ansatz schon falsch? Wenn
> nicht, dann brauche ich Hilfe beim Aufstellen der Wronski
> Matrix.
>
> Meine Eigenwerte lauten:
>
> [mm]\lambda_{1}[/mm] = 2 und
> [mm]\lambda_{2}[/mm] = 1 (doppelt)
>
> Somit erhalte ich folgende Eigenvektoren:
>
> [mm]c_{1}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 1}[/mm] sowie
>
> [mm]c_{2}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 0}[/mm]
>
> Ok, ab hier brächte ich dann einen Tipp zum Aufstellen der
> Wronski-Matrix.
>
Da Du nur einen Eigenvektor zum Eigenwert 2 bekommst,
und somit auch nur eine Lösung, benötigst Du eine zweite
linear unabhängige Lösung.
Dazu wird der Ansatz
[mm]\left(\vec{a}+t*\vec{b}\right)*e^{2*t}[/mm]
gemacht.
Diesen setzt Du jetzt in das obige DGL-System ein,
und führst dann einen Koeffizientenvergleich durch.
> Vielen Dank!
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:13 So 11.12.2011 | | Autor: | Calculu |
Vielen Danke MathePower, dass du mir hilfst!
Aber ich weiß nicht genau wo ich den Ansatz einsetzen soll und woher kenne ich die Vektoren [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] ? Oder sind das meine beiden Eigenvektoren?
Ich muss doch nach dem Aufstellen der Wronski Matrix so etwas in dieser Form da stehen haben:
WronskiMatrix * [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ 0 \\ 3}
[/mm]
Oder nicht?
|
|
|
| |
|
Hallo Calculu,
> Vielen Danke MathePower, dass du mir hilfst!
> Aber ich weiß nicht genau wo ich den Ansatz einsetzen
Den Ansatz setzt Du in das DGL-System ein.
Hier steht doch y'=A*y
mit [mm]A=\pmat{ 0 & 1 & -1 \\ -2 & 3 &-1 \\ -1 & 1 & 1}[/mm]
Setzt Du den Ansatz ein, so ergibt sich:
[mm]\left( \ \left(\vec{a}+t\cdot{}\vec{b}\right)\cdot{}e^{2\cdot{}t} \ \right)'=A \left(\vec{a}+t\cdot{}\vec{b}\right)\cdot{}e^{2\cdot{}t} [/mm]
Durch Koeffizientenvergleich werden die Vektoren [mm]\vec{a}, \ \vec{b}[/mm] bestimmt.
> soll und woher kenne ich die Vektoren [mm]\vec{a}[/mm] und [mm]\vec{b}[/mm] ?
> Oder sind das meine beiden Eigenvektoren?
>
Das sind Vektoren, die zu bestimmen sind.
> Ich muss doch nach dem Aufstellen der Wronski Matrix so
> etwas in dieser Form da stehen haben:
>
Um die Wronski-Matrix bilden zu können,
benötigst Du erst einmal noch eine 3. Lösung.
> WronskiMatrix * [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{-1 \\ 0 \\ 3}[/mm]
>
> Oder nicht?
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:28 So 11.12.2011 | | Autor: | Calculu |
Ok, ich hab abgeleitet, zusammengefasst, gekürzt und bin nun hier gelandet:
[mm] \vektor{2a_{1} + b_{1} + 2tb_{1} \\ 2a_{2} + b_{2} + 2tb_{2} \\ 2a_{3} + b_{3} + 2tb_{3}} [/mm] = [mm] \vektor{a_{2} + tb_{2} - a_{3} - tb_{3} \\ -2a_{1} - 2tb_{1} + 3a_{2} + 3tb_{2} - a_{3} - tb_{3} \\ -a_{1} - tb_{1} + a_{2} + tb_{2} + a_{3} + tb_{3}}
[/mm]
Und nun muss ich für die einzelnen Gleichungen einen Koeffizientenvergleich machen?
|
|
|
| |
|
Hallo Calculu,
> Ok, ich hab abgeleitet, zusammengefasst, gekürzt und bin
> nun hier gelandet:
>
> [mm]\vektor{2a_{1} + b_{1} + 2tb_{1} \\ 2a_{2} + b_{2} + 2tb_{2} \\ 2a_{3} + b_{3} + 2tb_{3}}[/mm]
> = [mm]\vektor{a_{2} + tb_{2} - a_{3} - tb_{3} \\ -2a_{1} - 2tb_{1} + 3a_{2} + 3tb_{2} - a_{3} - tb_{3} \\ -a_{1} - tb_{1} + a_{2} + tb_{2} + a_{3} + tb_{3}}[/mm]
>
Ich meinte nicht vektoriell aufdröseln.
So ist das jetzt vektoriell zusammenzufassen.
> Und nun muss ich für die einzelnen Gleichungen einen
> Koeffizientenvergleich machen?
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:29 So 11.12.2011 | | Autor: | Calculu |
Ok, ich komme dann auf diese drei Gleichungen:
[mm] \vektor{2 \\ -1 \\ 1}*\vec{a} [/mm] = [mm] t*\vektor{-2 \\ 1 \\ -1}*\vec{b} [/mm] - [mm] b_{1}
[/mm]
[mm] \vektor{2 \\ -1 \\ 1}*\vec{a} [/mm] = [mm] t*\vektor{-2 \\ 1 \\ -1}*\vec{b} [/mm] - [mm] b_{2}
[/mm]
[mm] \vektor{1 \\ -1 \\ 1}*\vec{a} [/mm] = [mm] t*\vektor{-1 \\ 1 \\ -1}*\vec{b} [/mm] - [mm] b_{3}
[/mm]
Nach 1 und 2 wäre ja dann [mm] b_{1} [/mm] = [mm] b_{2} [/mm] aber wie ermittele ich die anderen Werte?
|
|
|
| |
|
Hallo Calculu,
> Ok, ich komme dann auf diese drei Gleichungen:
>
> [mm]\vektor{2 \\ -1 \\ 1}*\vec{a}[/mm] = [mm]t*\vektor{-2 \\ 1 \\ -1}*\vec{b}[/mm]
> - [mm]b_{1}[/mm]
>
>
>
> [mm]\vektor{2 \\ -1 \\ 1}*\vec{a}[/mm] = [mm]t*\vektor{-2 \\ 1 \\ -1}*\vec{b}[/mm]
> - [mm]b_{2}[/mm]
>
>
>
> [mm]\vektor{1 \\ -1 \\ 1}*\vec{a}[/mm] = [mm]t*\vektor{-1 \\ 1 \\ -1}*\vec{b}[/mm]
> - [mm]b_{3}[/mm]
>
> Nach 1 und 2 wäre ja dann [mm]b_{1}[/mm] = [mm]b_{2}[/mm] aber wie ermittele
> ich die anderen Werte?
>
Sorry für den falschen Ansatz, der Eigenwert 1 ist doppelt.
Demnach lautet der Ansatz
[mm]\left( \ \left(\vec{a}+t\cdot{}\vec{b}\right)\cdot{}e^{t} \ \right)'=A \left(\vec{a}+t\cdot{}\vec{b}\right)\cdot{}e^{t} [/mm]
Ausgeschrieben sieht das so aus:
[mm]\left(\vec{b}+\vec{a}+\vec{b}*t\right)*e^{t}=A\vec{a}e^{t}+A\vec{b}te^{t}[/mm]
Damit liefert ein Koeffientenvergleich:
[mm]\vec{b}+\vec{a}=A\vec{a}[/mm]
[mm]\vec{b}=A\vec{b}[/mm]
Unschwer zu erkennen ist, daß [mm]\vec{b}[/mm] ein Eigenvektor zum Eigenwert 1 ist.
Gesuche ist daher ein [mm]\vec{a}[/mm], das der Gleichung
[mm]\vec{b}+\vec{a}=A\vec{a}[/mm]
genügt.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:35 Mo 12.12.2011 | | Autor: | Calculu |
So,ich hab jetzt
[mm] \vec{a} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ -1}
[/mm]
und
[mm] \vec{b} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
raus.
Und jetzt stell ich die Wronski Matrix auf ??
|
|
|
| |
|
Hallo Calculu,
> So,ich hab jetzt
>
> [mm]\vec{a}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ -1}[/mm]
>
> und
>
> [mm]\vec{b}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 0}[/mm]
>
> raus.
>
> Und jetzt stell ich die Wronski Matrix auf ??
Ja.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:26 Mo 12.12.2011 | | Autor: | Calculu |
Ok, die hat doch dann diese Form:
W(t) = ( [mm] c_{1}*e^{\lambda_{1}*t}, c_{2}*e^{\lambda_{2}*t}, c_{3}*e^{\lambda_{3}*t} [/mm] )
Aber woher kenne ich die "Stellung der Eigenvektoren"? Also woher weiß ich was [mm] c_{1}..... [/mm] ist?
|
|
|
| |
|
Hallo Calculu,
> Ok, die hat doch dann diese Form:
>
> W(t) = ( [mm]c_{1}*e^{\lambda_{1}*t}, c_{2}*e^{\lambda_{2}*t}, c_{3}*e^{\lambda_{3}*t}[/mm]
> )
>
Die 3. Lösung sieht jetzt so aus: [mm]\left(\vec{a}+t*\vec{b}\right)*e^{t}[/mm]
Dann sieht W(t) so aus:
[mm]W(t) = ( c_{1}*e^{2*t}, c_{2}*e^{t}, \left(\vec{a}+t*\vec{b}\right)*e^{t})[/mm]
>
> Aber woher kenne ich die "Stellung der Eigenvektoren"? Also
> woher weiß ich was [mm]c_{1}.....[/mm] ist?
[mm]c_{1}, \ c_{2}, \ \vec{a}, \ \vec{b}[/mm] sind die ermittelten Eigenvektoren.
[mm]c_{1}[/mm] ist Eigenvektor zum Eigenwert 2.
[mm]c_{2}, \vec{a}, \ \vec{b}[/mm] sind die Eigen- und Hauptvektoren zum Eigenwert 1
Da [mm]\vec{b}[/mm] ebenso wie [mm]c_{2}[/mm] ein Eigenvektor zum Eigenwert 1 ist, ergibt sich:
[mm]c_{2}[/mm] ist Eigenvektor zum Eigenwert 1,
[mm]\vec{a}[/mm] ist Hauptvektor zum Eigenwert 1.
Damit erhältst Du folgende Matrix:
[mm]\pmat{ c_{1}, \ c_{2}, \ \vec{a}}[/mm]
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:33 Mo 12.12.2011 | | Autor: | Calculu |
Ok, ich löse dann folgende Gleichung:
[mm] \pmat{ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 } [/mm] * [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ 0 \\ 3}
[/mm]
und erhalte:
[mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ -2}
[/mm]
Anschließend bestimme ich meine homogene Lösung indem ich die Wronski Matrix mit [mm] \vec{x} [/mm] multipliziere. Also so:
[mm] \pmat{ 0 & e^{t} & (1+t)*e^{t} \\ e^{2t} & e^{t} & (1+t)*e^{t} \\ e^{2t} & 0 & -e^{t}} [/mm] * [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ -2} [/mm] = [mm] \vektor{ e^{t} - 2*(1+t)*e^{t} \\ e^{2t} + e^{t} - 2*(1+t)*e^{t} \\ e^{2t} + 2*e^{t}}
[/mm]
Also müsste das doch meine Lösung sein.
Stimmt das soweit?
|
|
|
| |
|
Hallo Calculu,
> Ok, ich löse dann folgende Gleichung:
>
> [mm]\pmat{ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 }[/mm] * [mm]\vec{x}[/mm] =
> [mm]\vektor{-1 \\ 0 \\ 3}[/mm]
>
Sicher hast Du Dich hier verschrieben.
Hier muss doch die Wronki-Matrix an der Stelle t=0 stehen.
> und erhalte:
>
> [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ -2}[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Anschließend bestimme ich meine homogene Lösung indem ich
> die Wronski Matrix mit [mm]\vec{x}[/mm] multipliziere. Also so:
>
> [mm]\pmat{ 0 & e^{t} & (1+t)*e^{t} \\ e^{2t} & e^{t} & (1+t)*e^{t} \\ e^{2t} & 0 & -e^{t}}[/mm]
> * [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ -2}[/mm] = [mm]\vektor{ e^{t} - 2*(1+t)*e^{t} \\ e^{2t} + e^{t} - 2*(1+t)*e^{t} \\ e^{2t} + 2*e^{t}}[/mm]
>
> Also müsste das doch meine Lösung sein.
> Stimmt das soweit?
Ja, das stimmt.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:16 Di 13.12.2011 | | Autor: | Calculu |
Also, die Matrix hab ich da schon ausgewertet. (Zwischenschritte hab ich nicht hingeschrieben)
Vielen Dank, dass du mir so viel geholfen hast!
Aber eine Frage hab ich noch:
Woher weiß ich in welcher Reihenfolge ich die Eigenvektoren verwenden muss um die Wronski Matrix aufzustellen? Also ich meine, dann wären unter Umständen die Spalten vertauscht und somit würde auch ein anderes Ergebnis raus kommen. Weißt du was ich meine?
|
|
|
| |
|
Hallo Calculu,
> Also, die Matrix hab ich da schon ausgewertet.
> (Zwischenschritte hab ich nicht hingeschrieben)
>
> Vielen Dank, dass du mir so viel geholfen hast!
>
> Aber eine Frage hab ich noch:
> Woher weiß ich in welcher Reihenfolge ich die
> Eigenvektoren verwenden muss um die Wronski Matrix
> aufzustellen? Also ich meine, dann wären unter Umständen
> die Spalten vertauscht und somit würde auch ein anderes
> Ergebnis raus kommen. Weißt du was ich meine?
>
Die Wronski-Matrix wird doch aus den Lösungen des DGL-Systems aufgebaut.
Da ist es egal in welcher Reihenfolge die Lösungen drin stehen.
Wenn Du eine Transfomationsmatrix benötigst,
dann ist die Reihenfolge der Eigenvektoren wichtig.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:33 Di 13.12.2011 | | Autor: | Calculu |
> Hallo Calculu,
>
> > Ok, die hat doch dann diese Form:
> >
> > W(t) = ( [mm]c_{1}*e^{\lambda_{1}*t}, c_{2}*e^{\lambda_{2}*t}, c_{3}*e^{\lambda_{3}*t}[/mm]
> > )
> >
>
>
> Die 3. Lösung sieht jetzt so aus:
> [mm]\left(\vec{a}+t*\vec{b}\right)*e^{t}[/mm]
>
> Dann sieht W(t) so aus:
>
> [mm]W(t) = ( c_{1}*e^{2*t}, c_{2}*e^{t}, \left(\vec{a}+t*\vec{b}\right)*e^{t})[/mm]
>
>
> >
> > Aber woher kenne ich die "Stellung der Eigenvektoren"? Also
> > woher weiß ich was [mm]c_{1}.....[/mm] ist?
>
>
> [mm]c_{1}, \ c_{2}, \ \vec{a}, \ \vec{b}[/mm] sind die ermittelten
> Eigenvektoren.
>
>
> [mm]c_{1}[/mm] ist Eigenvektor zum Eigenwert 2.
Aber ich hätte doch auch sagen können, dass [mm] c_{1} [/mm] Eigenvektor zum Eigenwert 1 ist. Und dann wäre ja auch die Wrinski Matrix anders. Oder?
>
> [mm]c_{2}, \vec{a}, \ \vec{b}[/mm] sind die Eigen- und Hauptvektoren
> zum Eigenwert 1
>
>
> Da [mm]\vec{b}[/mm] ebenso wie [mm]c_{2}[/mm] ein Eigenvektor zum Eigenwert 1
> ist, ergibt sich:
>
> [mm]c_{2}[/mm] ist Eigenvektor zum Eigenwert 1,
> [mm]\vec{a}[/mm] ist Hauptvektor zum Eigenwert 1.
>
> Damit erhältst Du folgende Matrix:
>
> [mm]\pmat{ c_{1}, \ c_{2}, \ \vec{a}}[/mm]
>
>
> Gruss
> MathePower
>
|
|
|
| |
|
Hallo Calculu,
> > Hallo Calculu,
> >
> > > Ok, die hat doch dann diese Form:
> > >
> > > W(t) = ( [mm]c_{1}*e^{\lambda_{1}*t}, c_{2}*e^{\lambda_{2}*t}, c_{3}*e^{\lambda_{3}*t}[/mm]
> > > )
> > >
> >
> >
> > Die 3. Lösung sieht jetzt so aus:
> > [mm]\left(\vec{a}+t*\vec{b}\right)*e^{t}[/mm]
> >
> > Dann sieht W(t) so aus:
> >
> > [mm]W(t) = ( c_{1}*e^{2*t}, c_{2}*e^{t}, \left(\vec{a}+t*\vec{b}\right)*e^{t})[/mm]
> >
> >
> > >
> > > Aber woher kenne ich die "Stellung der Eigenvektoren"? Also
> > > woher weiß ich was [mm]c_{1}.....[/mm] ist?
> >
> >
> > [mm]c_{1}, \ c_{2}, \ \vec{a}, \ \vec{b}[/mm] sind die ermittelten
> > Eigenvektoren.
> >
> >
> > [mm]c_{1}[/mm] ist Eigenvektor zum Eigenwert 2.
>
> Aber ich hätte doch auch sagen können, dass [mm]c_{1}[/mm]
> Eigenvektor zum Eigenwert 1 ist. Und dann wäre ja auch die
> Wrinski Matrix anders. Oder?
>
Ja, die sähe dann so aus:
[mm]W(t) = ( c_{1}*e^{t}, c_{2}*e^{2t}, \left(\vec{a}+t*\vec{b}\right)*e^{t})[/mm]
> >
> > [mm]c_{2}, \vec{a}, \ \vec{b}[/mm] sind die Eigen- und Hauptvektoren
> > zum Eigenwert 1
> >
> >
> > Da [mm]\vec{b}[/mm] ebenso wie [mm]c_{2}[/mm] ein Eigenvektor zum Eigenwert 1
> > ist, ergibt sich:
> >
> > [mm]c_{2}[/mm] ist Eigenvektor zum Eigenwert 1,
> > [mm]\vec{a}[/mm] ist Hauptvektor zum Eigenwert 1.
> >
> > Damit erhältst Du folgende Matrix:
> >
> > [mm]\pmat{ c_{1}, \ c_{2}, \ \vec{a}}[/mm]
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
> >
>
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:40 Di 13.12.2011 | | Autor: | Calculu |
> Hallo Calculu,
>
> > > Hallo Calculu,
> > >
> > > > Ok, die hat doch dann diese Form:
> > > >
> > > > W(t) = ( [mm]c_{1}*e^{\lambda_{1}*t}, c_{2}*e^{\lambda_{2}*t}, c_{3}*e^{\lambda_{3}*t}[/mm]
> > > > )
> > > >
> > >
> > >
> > > Die 3. Lösung sieht jetzt so aus:
> > > [mm]\left(\vec{a}+t*\vec{b}\right)*e^{t}[/mm]
> > >
> > > Dann sieht W(t) so aus:
> > >
> > > [mm]W(t) = ( c_{1}*e^{2*t}, c_{2}*e^{t}, \left(\vec{a}+t*\vec{b}\right)*e^{t})[/mm]
> > >
> > >
> > > >
> > > > Aber woher kenne ich die "Stellung der Eigenvektoren"? Also
> > > > woher weiß ich was [mm]c_{1}.....[/mm] ist?
> > >
> > >
> > > [mm]c_{1}, \ c_{2}, \ \vec{a}, \ \vec{b}[/mm] sind die ermittelten
> > > Eigenvektoren.
> > >
> > >
> > > [mm]c_{1}[/mm] ist Eigenvektor zum Eigenwert 2.
> >
> > Aber ich hätte doch auch sagen können, dass [mm]c_{1}[/mm]
> > Eigenvektor zum Eigenwert 1 ist. Und dann wäre ja auch die
> > Wrinski Matrix anders. Oder?
> >
>
>
> Ja, die sähe dann so aus:
>
> [mm]W(t) = ( c_{1}*e^{t}, c_{2}*e^{2t}, \left(\vec{a}+t*\vec{b}\right)*e^{t})[/mm]
>
Aber dann ändert sich doch mein Ergebnis... Oder?
> > >
> > > [mm]c_{2}, \vec{a}, \ \vec{b}[/mm] sind die Eigen- und Hauptvektoren
> > > zum Eigenwert 1
> > >
> > >
> > > Da [mm]\vec{b}[/mm] ebenso wie [mm]c_{2}[/mm] ein Eigenvektor zum Eigenwert 1
> > > ist, ergibt sich:
> > >
> > > [mm]c_{2}[/mm] ist Eigenvektor zum Eigenwert 1,
> > > [mm]\vec{a}[/mm] ist Hauptvektor zum Eigenwert 1.
> > >
> > > Damit erhältst Du folgende Matrix:
> > >
> > > [mm]\pmat{ c_{1}, \ c_{2}, \ \vec{a}}[/mm]
> > >
> > >
> > > Gruss
> > > MathePower
> > >
> >
>
>
> Gruss
> MathePower
|
|
|
| |
|
Hallo Calculu,
> > Hallo Calculu,
> >
> > > > Hallo Calculu,
> > > >
> > > > > Ok, die hat doch dann diese Form:
> > > > >
> > > > > W(t) = ( [mm]c_{1}*e^{\lambda_{1}*t}, c_{2}*e^{\lambda_{2}*t}, c_{3}*e^{\lambda_{3}*t}[/mm]
> > > > > )
> > > > >
> > > >
> > > >
> > > > Die 3. Lösung sieht jetzt so aus:
> > > > [mm]\left(\vec{a}+t*\vec{b}\right)*e^{t}[/mm]
> > > >
> > > > Dann sieht W(t) so aus:
> > > >
> > > > [mm]W(t) = ( c_{1}*e^{2*t}, c_{2}*e^{t}, \left(\vec{a}+t*\vec{b}\right)*e^{t})[/mm]
> > > >
> > > >
> > > > >
> > > > > Aber woher kenne ich die "Stellung der Eigenvektoren"? Also
> > > > > woher weiß ich was [mm]c_{1}.....[/mm] ist?
> > > >
> > > >
> > > > [mm]c_{1}, \ c_{2}, \ \vec{a}, \ \vec{b}[/mm] sind die ermittelten
> > > > Eigenvektoren.
> > > >
> > > >
> > > > [mm]c_{1}[/mm] ist Eigenvektor zum Eigenwert 2.
> > >
> > > Aber ich hätte doch auch sagen können, dass [mm]c_{1}[/mm]
> > > Eigenvektor zum Eigenwert 1 ist. Und dann wäre ja auch die
> > > Wrinski Matrix anders. Oder?
> > >
> >
> >
> > Ja, die sähe dann so aus:
> >
> > [mm]W(t) = ( c_{1}*e^{t}, c_{2}*e^{2t}, \left(\vec{a}+t*\vec{b}\right)*e^{t})[/mm]
> >
>
> Aber dann ändert sich doch mein Ergebnis... Oder?
Es ändern sich dann die Konstanten bei dem AWP.
Die Lösung bleibt aber dieselbe.
> > > >
> > > > [mm]c_{2}, \vec{a}, \ \vec{b}[/mm] sind die Eigen- und Hauptvektoren
> > > > zum Eigenwert 1
> > > >
> > > >
> > > > Da [mm]\vec{b}[/mm] ebenso wie [mm]c_{2}[/mm] ein Eigenvektor zum Eigenwert 1
> > > > ist, ergibt sich:
> > > >
> > > > [mm]c_{2}[/mm] ist Eigenvektor zum Eigenwert 1,
> > > > [mm]\vec{a}[/mm] ist Hauptvektor zum Eigenwert 1.
> > > >
> > > > Damit erhältst Du folgende Matrix:
> > > >
> > > > [mm]\pmat{ c_{1}, \ c_{2}, \ \vec{a}}[/mm]
> > > >
> > > >
> > > > Gruss
> > > > MathePower
> > > >
> > >
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:55 Di 13.12.2011 | | Autor: | Calculu |
Hm, ok. Ich glaube ich habe es verstanden. Da ich aber eh nun noch alles sauber aufschreiben muss spiel ich den Fall mal durch und kucke dann ob es so ist wie ich es mir klar gemacht habe. Falls nicht melde ich mich wieder.
Aber auf jeden Fall mal ein herzliches Dankeschön an dich!
|
|
|
|
