A^{-1/2} berechnen ? < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:45 Fr 24.04.2009 | | Autor: | Tobus |
| Aufgabe | Gegeben sind die Vektoren [mm] b1=\vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0}, b2=\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ -1}, b3=\vektor{0 \\ -1 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
a) Bestimmen sie [mm] A^{-0,5} [/mm] für die Matrix A, deren Elemente durch [mm] A_{ij}=bi*bj [/mm] i,j [mm] \in [/mm] {1,2,3} gegeben sind
b) Zeige dass die Vektoren [mm] b_{i}=\summe_{j=1}^{3} (A^{-0,5}_{ij} [/mm] * [mm] b_{j} [/mm] i [mm] \in [/mm] {1,2,3} |
Hallo,
das erste Problem ist ich hab keine Ahnung wie ich [mm] A^{-0,5} [/mm] berechnen kann.
Vllt könnt ihr mir ja da helfen ?
DANKE
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:23 Fr 24.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Gegeben sind die Vektoren [mm]b1=\vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0}, b2=\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ -1}, b3=\vektor{0 \\ -1 \\ 0 \\ 1}[/mm]
>
> a) Bestimmen sie [mm]A^{-0,5}[/mm] für die Matrix A, deren Elemente
> durch [mm]A_{ij}=bi*bj[/mm] i,j [mm]\in[/mm] {1,2,3} gegeben sind
>
> b) Zeige dass die Vektoren [mm]b_{i}=\summe_{j=1}^{3} (A^{-0,5}_{ij}[/mm]
> * [mm]b_{j}[/mm] i [mm]\in[/mm] {1,2,3}
>
> Hallo,
> das erste Problem ist ich hab keine Ahnung wie ich
> [mm]A^{-0,5}[/mm] berechnen kann.
> Vllt könnt ihr mir ja da helfen ?
Nun:
1) Matrix $A$ berechnen
2) Eigenwerte und Eigenvektoren berechnen
3) Matrix diagonalisieren
4) Ist $D$ die Diagonalmatrix, dann berechne [mm] $D^{-0.5}$ [/mm] -- weisst du wie das geht?
5) Transformiere das Ergebnis zurueck mit der Transformationsmatrix vom Diagonalisieren
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:18 So 26.04.2009 | | Autor: | Tobus |
Hallo,
vielen Dank schonmal für die Antwort, hat mir ziemlich geholfen.
Nun habe ich noch ne Frage, laut Lösung ist die Matrix A eine 3x3. Wie komme ich auf die ?
DANKE
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:27 So 26.04.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
die [mm] a_{ij} [/mm] sind doch in der aufgabe gegeben, du musst nur ein paar skalarprodukte ausrechnen.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:52 So 26.04.2009 | | Autor: | Tobus |
Ahh ok dann hier mal was:
1) Matrix A berechnen
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 2 }
[/mm]
2) Eigenwerte und Eigenvektoren berechnen
Eigenwerte: (1, 1, 3)
3) Matrix diagonalisieren
Die Diagonalmatrix ist doch die Einheitsmatrix mit den Eigenwerten, richtig ?
D = [mm] \pmat{1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3}
[/mm]
4) Ist D die Diagonalmatrix, dann berechne $ [mm] D^{-0.5} [/mm] $ -- weisst du wie das geht?
Hier weiß ich nicht mehr weiter
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:35 Mo 27.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> 3) Matrix diagonalisieren
> Die Diagonalmatrix ist doch die Einheitsmatrix mit den
> Eigenwerten, richtig ?
> D = [mm]\pmat{1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3}[/mm]
>
> 4) Ist D die Diagonalmatrix, dann berechne [mm]D^{-0.5}[/mm] --
> weisst du wie das geht?
Hast du dir mal Angelas Antwort durchgelesen? Versuche erstmal eine Matrix $B$ zu finden mit [mm] $B^2 [/mm] = D$. Und dann bestimme [mm] $B^{-1}$.
[/mm]
Tipp: nimm an dass $B$ eine Diagonalmatrix ist.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:54 Mo 27.04.2009 | | Autor: | Tobus |
Danke habs ;)
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> a) Bestimmen sie [mm]A^{-0,5}[/mm] für die Matrix A, deren Elemente
> durch [mm]A_{ij}=bi*bj[/mm] i,j [mm]\in[/mm] {1,2,3} gegeben sind
> das erste Problem ist ich hab keine Ahnung wie ich
> [mm]A^{-0,5}[/mm] berechnen kann.
Hallo,
zunächst einmal muß man sich klarmachen, was mit [mm] A^{-0,5} [/mm] gemeint ist:
das Inverse von [mm] A^{0,5}. [/mm] Man kann das also nur berechnen, wenn [mm] A^{0.5} [/mm] ein inverses hat.
Dann muß man drüber nachdenken, was [mm] A^{0,5} [/mm] sein soll: das ist die Matrix, die mit sich selbst multipliziert A ergibt.
Wire man sie findet, hat Dir Felix erklärt.
Gruß v. Angela
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