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| Aufgabe | Sei [mm] A\in\IR^{3,3} [/mm] symmetrisch mit den Eigenwerten [mm] \lambda_{1}=1,\lambda_{2}=\lambda_{3}=0.5.
[/mm]
Bewerten Sie unter diesen Gegebenheiten die folgenden Aussagen:
1: [mm] f(A):=2A^{2}-3A+E [/mm] ist singulär
2: [mm] 3E-2A=A^{-1}
[/mm]
3: [mm] g(A):=3A^{2}-4A+3E [/mm] ist normal |
hallo !
alle 3 aussagen sind WAHR, ich hab aber keinen plan, wie ich aus den Eigenwerten und der Symmetrie diese Aussagen schlussfolgern soll. Kann hier auch deswegen keinen Ansatz präsentieren. wäre schön wenn trotzdem jemand helfen kann.
danke
mfg
CheMohandas
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> Sei [mm]A\in\IR^{3,3}[/mm] symmetrisch mit den Eigenwerten
> [mm]\lambda_{1}=1,\lambda_{2}=\lambda_{3}=0.5.[/mm]
> Bewerten Sie unter diesen Gegebenheiten die folgenden
> Aussagen:
>
> 1: [mm]f(A):=2A^{2}-3A+E[/mm] ist singulär
Hallo,
zu 1. fällt mir etwas ein:
Das charakteristische Polynom von A ist [mm] p_A(x)=(x-1)(x-0.5)^2,
[/mm]
das Minimalpolynom [mm] m_A(x)=(x-1)(x-0.5),
[/mm]
also [mm] p_A(x)=m_A(x)(x-0.5).
[/mm]
Nach dem Satz v. Hamilton_Cayley ist [mm] p_A(A)=0,
[/mm]
also [mm] 0=m_A(A)(A-0.5E).
[/mm]
Wenn Du genau guckst, siehst Du [mm] f(A)=m_A(A).
[/mm]
Angenommen, f(A) wäre invertierbar.
Dann wäre (A-0.5E)=0, also A=0.5E.
Das kann nicht sein, denn???
Gruß v. Angela
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danke erstmal für die antwort zu 1.
3. hab ich rausbekommen. (A ist symmetrisch -> [mm] 3A^{2}-4A+3E [/mm] ebenfalls symmetrisch. Symmetrische Matrizen sind normal)
kann man für 1. irgendwie nutzen, dass A normal und damit diagonalisierbar ist; es also die Ähnlichkeitstransformation
[mm] A=X*\Lambda*X^{-1} [/mm] gibt. Wobei [mm] \Lambda\hat=Diagonalmatrix [/mm] mit gleichen EW (und Vielfachheiten) wie A.
Außerdem: det(A)=0 -> A singulär
komme trotz der möglichen Ansätze zu keinem ordentlichen Ergebis :(
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:51 Mo 19.02.2007 | | Autor: | andreas |
hi
bei 1. und 2. bietet es sich an, linear unabhängige eigenvektoren [mm] $v_1, v_2$ [/mm] und [mm] $v_3$ [/mm] zu den eigenwerten herzunehmen und sich zu überlegen, was man erhält, wenn man diese auf $f(A)$ respektive auf $A(3E - 2A)$ draufmultipliziert.
ich hoffe das hilft als ansatz schon einmal.
grüße
andreas
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